一轮复习大题专练33—数列（结构不良型问题）-2022届高三数学一轮复习

一轮复习大题专练33—数列（结构不良型问题）

1．在①；②；③．

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

已知数列的前项和为，若，且满足____，设数列的前项和为，求，并证明．

解：选①；

当时，，又，

两式相减可得，

即，

又，满足上式，

可得，；

，

，

证明：，，所以．

选②；

当时，，

两式相除可得，

当时，满足上式，

所以，；

，

，

证明：，，所以．

选③．

当时，，又，

两式相减可得，

化为，

又，所以，所以，

即是以1为首项，3为公比的等比数列，

故，

，

，

证明：，，所以．

2．在①，②，，成等比数列，③这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．

问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足 _____．

（1）求；

（2）若，且，求数列的前项和．

解：（1）①，

②，，成等比数列，

③，

选①②，解得，，；

选①③，解得，，；

选②③，解得，，；

（2）由，，可得，

由，，

可得，

上式对也成立，所以，

则．

3．在数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分．

①设，数列的前项和为，证明：．

②设，求数列的前项和．

解：（1）由，

设，

则，

可得是首项为2，公比为2的等比数列，可得，

则，

所以；

（2）选①设，数列的前项和为．

证明：，

所以．

选②设，求数列的前项和．

解：，

则，

，

上面两式相减可得，

，

化简可得．

4．在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．

设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且_______．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：（1）选①，（1）可得，

则数列是首项为2，公差为1的等差数列，则，

可得；

选②，可得时，，成立；

当时，，又，

两式相减可得，

化为，则；

选③，可得，

即有，

即，

则；

（2），

当为偶数时，数列的前项和为

；

当为奇数时，数列的前项和为．

所以．

5．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的所有取值组成的集合；若不存在，说明理由．

问题：已知数列的前项和为，，且对任意正整数，都有，数列满足，，成等差数列．

若数列满足____，且的前项和为，是否存在正整数，使得？

解：由，且对任意正整数，都有，

可令，则，

则，所以，

数列满足，，成等差数列，

可得，

选①，，

则，

由，即，解得；

选②，，

则，由，可得，解得，且；

选③，，

则，

由，即，解得．

所以选①，；选②，，且；选③，．

声明：试题解析著作权优网所有，未经书面同意，不6得复制日期：2026．在①，；②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题．

问题：设等差数列的前项和为，若 _____，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，说明理由．

解：若选①，，；

设等差数列的公差为，

则，解得，；

所以前项和为，

所以，即或8时，取得最大值．

若选②，，

由，解得；

由，所以，

所以等差数列的公差，

所以时，，时，，

所以时，取得最大值．

若选③，，

由，得；

由，

得，所以；

所以等差数列的公差，

所以当时，，时，，

所以时，取得最大值．