2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）在平行四边形中，　　

A． B． C． D．

2．（5分）在中，若，，则的值为　　

A． B． C．4 D．2

3．（5分）已知向量，，若，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为　　

A．2800 B．3000 C．3200 D．3400

5．（5分）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．在复平面内，复数是虚数单位，是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为　　

A． B．1 C． D．2

6．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为　　

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）有一道解三角形的题，因为纸张破损，在括号地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角，，所对的边长分别为，，，已知角，，　　，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．

A． B． C． D．

8．（5分）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为　　

A．18 B．24 C．36 D．48

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　

A． 

B．复数在复平面内对应的点在第二象限 

C． 

D．

10．（5分）下列结论正确的是　　

A．在中，若，则 

B．在锐角三角形中，不等式恒成立 

C．在中，若，，则为等腰直角三角形 

D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为

11．（5分）某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：

则下列说法正确的是　　

A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差 

B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数 

C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 

D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

12．（5分）下列命题正确的是　　

A．已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且垂直，则实数 

B．非零向量和不共线，若，，，则、、三点共线 

C．若平行四边形满足，，则该四边形一定是正方形 

D．点在所在的平面内，若，则点为的垂心

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）设复数，其中为虚数单位，则　　．

14．（5分）平面向量两两夹角都相等，且，则　　．

15．（5分）古希腊数学家海伦著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为、、，则其面积，这里，已知在中，，．当面积最大时　　．

16．（5分）已知内接于以为圆心，1为半径的圆，且，则　　．

四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

已知向量，．

（1）若______，求实数的值；

（2）若，且，求．

18．（12分）已知复数，（其中为虚数单位）

（1）求复数；

（2）若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

19．（12分）已知，，是平面上不共线的三点，直线上有一点，满足，

（1）用，表示；

（2）若点是的中点，用向量方法证明四边形是梯形．

20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若点为边上一点，且满足，，，求的面积．

21．（12分）已知灯塔与海洋观测站的距离为，灯塔在观测站的北偏东方向，灯塔在观测站的正西方向，灯塔在灯塔的南偏东方向．在观测站与灯塔，构成的三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．

（1）求灯塔与灯塔的距离；

（2）求的面积．

22．（12分）中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀刀张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如表所示：

在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为元．

（Ⅰ）试估计该公司的年利润；

（Ⅱ）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示：

其中为质量指标的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区梅村高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1．【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出，从而得出正确选项．

【解答】解：是平行四边形，

．

故选：．

2．【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．

【解答】解：，，

由正弦定理得，

则．

故选：．

3．【分析】根据即可得出，然后解出的值即可．

【解答】解：，且，

，解得．

故选：．

4．【分析】计算高三所占的扇形圆心角度数，再根据比例关系求得高三年级的交稿数．

【解答】解：根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为，

且高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为

（份．

故选：．

5．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得，可得，再由几何意义求解．

【解答】解：，

为纯虚数，，即．

，则，为曲线上的动点，

其轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，

则与之间的最小距离为．

故选：．

6．【分析】利用平均数、方差的性质直接求解．

【解答】解：共享单车使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，

扫码支付使用的人数分别为，，，，，

它们的平均数为，方差为，

则，．

故选：．

7．【分析】若给出的是角，求角用不到边，若给出，使用正弦定理求出的角不唯一，由得到，得到的角不是，使用所有已知条件才能解得此三角形，由于正确答案为，故，根据正弦定理，解得，此时由算得．

【解答】解：由于正确答案为，故，

根据正弦定理，解得．

故一个符合要求的已知条件可以是．

而选项中没有该选项，但由，即，

得．

也就是给出，使用所有已知条件能解出正确答案为．

故选：．

8．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【解答】解：据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：

则，，．

圆的方程为，可设，

所以，．

故

．

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

9．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：因为，

所以，其对应的点在第一象限，错误，

又，正确，

所以，错误，

，正确．

故选：．

10．【分析】①直接利用正弦定理求出结果．

②直接利用余弦定理求出结果．

③直接利用余弦定理和关系式的变换求出结果．

④直接利用三角形的面积公式的应用和三角形的边角关系的应用求出结果．

【解答】解：对于选项：在中，若，根据大边对大角，所以，

利用正弦定理，所以，

则，故选项正确．

对于选项，故不等式恒成立，故选项正确．

对于选项：在中，，，整理得：，

可得，所以，

由于，所以，所以，

所以，所以，故正确．

对于选项：在中，若，，三角形面积

所以，解得，

所以，

由正弦定理，故选项错误．

故选：．

11．【分析】分别求出甲、乙运动员得分的极差、中位数、平均数，能判断，，的正误，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，得到甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．

【解答】解：在中，甲运动员得分的极差为：，

乙运动员得分的极差为：，

甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故错误；

在中，甲运动员得分的中位数为：，

乙运动员得分的中位数为：，

甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故正确；

在中，甲运动员得分的平均数为：，

乙运动员得分的平均数为：，

甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故错误；

在中，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，

甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故正确．

故选：．

12．【分析】直接利用单位向量，向量的垂直和向量共线的充要条件，向量的加法和向量的减法运算判断、、、的结论．

【解答】解：对于：已知和是两个互相垂直的单位向量，，，且，解得，故正确；

对于：非零向量和不共线，若，，，则，所以、、三点共线，故正确；

对于：平行四边形满足，，则该四边形可能是菱形或正方形，故错误；

对于：点在所在的平面内，若，则点为的内心，故错误；

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．【分析】由已知结合复数的四则运算即可直接求解．

【解答】解：因为，

所以，，

则．

故答案为：1．

14．【分析】由于三个平面向量两两夹角相等可得任意两向量的夹角是或，由于三个向量的模已知，可采取平方的方法求三个向量的和向量的模．

【解答】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，

可得任意两向量的夹角是或，

因为，

当夹角为时；

则，

；

当夹角为时，；

故答案为：1或5．

15．【分析】由已知三角形面积公式可表示，然后结合二次函数的性质可求取得最大值时，，，然后结合余弦定理可求．

【解答】解：设，则，，

所以，

当，即时，取得最大值，此时，，，

，

故答案为：．

16．【分析】先根据向量的数量积运算得到和，然后以为原点，，为，轴建立平面直角坐标系，设出的坐标，表示出、、，进而可求出的坐标，最后根据可求出答案．

【解答】解：．

则：，．

以为原点，，为，轴建立平面直角坐标系，设坐标为

，，，．

，．

故答案为：．

四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．【分析】（1）结合向量的坐标表示及向量平行，垂直及向量数量积性质分别建立关于的方程，可求；

（2）结合向量相等的条件可建立关系，的方程，求出，，结合向量模长公式可求．

【解答】解（1）因为，，

所以，，

若选①；

则，

解得；

若选②；

则，

解得；

若选③，

所以，

解得或；

（2）且，

所以，

所以，

则．

18．【分析】（1）由复数，，则，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数可求；

（2）直接把代入进行化简，再由复数所对应的点在第四象限，列出不等式组，求解即可得答案．

【解答】解：（1）复数，，

；

（2）

，

复数所对应的点在第四象限，

，

解得．

实数的取值范围是．

19．【分析】（1）利用平面向量的加法法则即可用，表示；

（2）由，可证明为的中点，点是的中点，利用向量关系证明向量与向量成倍数关系即可得，那么四边形是梯形．

【解答】解：（1）由题意：直线上有一点，

，

，

所以为的中点；

由：①，

②，

代入①可得：③

由②③消去可得：．

（2）点是的中点，则．

由：④

⑤，

由①④⑤可得：，

所以，

故得四边形是梯形．

20．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出的值，

（Ⅱ）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．

【解答】解：（Ⅰ）向量，，且，

，

由正弦定理可得，

，

，

，

，

，

，

（Ⅱ），，，

，

，

两边平方得，（1），

，（2），

由（1），（2）可得，

．

21．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用和基本不等式的应用求出结果．

（2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．

【解答】解：（1）在中，利用余弦定理，由于且满足．

所以，化简为，

由于，所以，即，

当时，，且．

所以，故灯塔和灯塔之间的距离为．

（2）由题意知：，，，

所以利用正弦定理：，解得．

．

所以的面积为．

22．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌张，有副牌张，有废品张，由此能估计该公司的年利润．

（Ⅱ）由频率分布直方图能求出，从而得到这种机器生产的宣纸的质量指标的频率分布表，从而一刀宣纸中有正牌的张数估计为，废品的张数估计为：，副牌的张数为：，由此得到公司改进后该公司的利润为：万元，从而建议该公司购买这种机器．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：

一刀宣纸有正牌张，有副牌张，

有废品张，

该公司一刀宣纸的利润的估计值为：

元，

估计该公司的年利润为520万元．

（Ⅱ）由频率分布直方图得：

．

这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：

一刀宣纸中有正牌的张数估计为，

废品的张数估计为：，

副牌的张数为：，

一刀宣纸的利润为：

元，

公司改进后该公司的利润为：万元，

万元万元，

建议该公司购买这种机器．

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日期：2022/3/11 19:14:02；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367