2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，0，1，，，则　　

A．，0， B．，1， C．，1， D．，

2．（5分）设，，则是成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）下列各等式中成立的是　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

5．（5分）设，则（4）的值为　　

A．62 B．64 C．65 D．67

6．（5分）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A． B．， C． D．

7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是　　

A．， B． 

C． D．

二、选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知，，，下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．的一个必要不充分条件是 

B．若集合中只有一个元素，则 

C．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 

D．已知集合，，则满足条件的集合的个数为4

12．（5分）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是　　

A．（1） 

B．函数在上单调递减 

C． 

D．满足不等式的的取值范围为

三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知集合，，则是的充分不必要条件，则的取值范围为 　　．

14．（5分）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 　　．

15．（5分）已知函数，对于，都有成立，且任取，，，，若（1），则的取值范围是 　　．

16．（5分）已知函数，若，则的值域是 　　；若的值域为，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题.本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）化简下列各式：

（1）；

（2）．

18．（12分）已知．且，求下列代数式的值．

（1）；

（2）；

（3）．

19．（12分）已知函数．

（1）求解不等式的解集；

（2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值．

20．（12分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解．若____，求实数的取值范围．

21．（12分）已知定义在上的函数．

（1）当时，判断的单调性并证明你的结论；

（2）当时，解关于的不等式．

22．（12分）若函数同时满足：

①函数在整个定义域是增函数或减函数；

②存在区间，，使得函数在区间，上的值域为，，则称函数是该定义域上的“闭函数”．

（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间，；若不是，说明理由；

（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；

（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件．

2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，0，1，，，则　　

A．，0， B．，1， C．，1， D．，

【解答】解：集合，0，1，，，

，1，．

故选：．

2．（5分）设，，则是成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由得，

故由，能推出，故是的充分条件，

由，不能推出，故是的不必要条件，

综上是的充分不必要条件，

故选：．

3．（5分）下列各等式中成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，，故错误；

对于，，故正确；

对于，故错误；

对于，故错误．

故选：．

4．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“，”的否定为，．

故选：．

5．（5分）设，则（4）的值为　　

A．62 B．64 C．65 D．67

【解答】解：根据题意，，

（4）（8）；

故选：．

6．（5分）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　

A． B．， C． D．

【解答】解：的定义域为，，由，得，

即的定义域为，又，，

可得函数的定义域为．

故选：．

7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图形可知：，，

在中，由勾股定理可得：

，

，

，．

故选：．

8．（5分）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是　　

A．， B． 

C． D．

【解答】解：一元二次方程的两根都在内，令，

求得，

则实数的取值范围为，，

故选：．

二、选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知，，，下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于：若，则：，故错误；

对于：当时，选项错误，

对于：由于，则，故正确；

对于：由于，则，故正确．

故选：．

10．（5分）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：因为函数是上的减函数，

所以函数在，上单调递减，在上单调递减，且，

则，解得，

所以实数的取值范围为，．

故选：．

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．的一个必要不充分条件是 

B．若集合中只有一个元素，则 

C．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 

D．已知集合，，则满足条件的集合的个数为4

【解答】解：对于：当时，则，反之不成立，故的充分不必要条件为，故错误；

对于：若集合中只有一个元素，当时，集合也只有一个元素，当时，利用△时，解得，故错误；

对于：命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题，所以，整理得，故正确；

对于：已知集合，，则满足条件的集合的个数为，，，，，故集合的个数为4，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是　　

A．（1） 

B．函数在上单调递减 

C． 

D．满足不等式的的取值范围为

【解答】解：对于，，令，则（1）（1），所以（1），故选项正确；

对于，令，可得，

所以，

令，

则，

因为，所以，

则，

所以函数在上单调递增，故选项错误；

对于，（1）（1）（1），故选项正确；

对于，因为，

由，则，

所以（9）（3）（3），

则不等式，等价于（9），

即，

因为在上单调递增，

所以，解得，

则满足不等式的的取值范围为，故选项正确．

故选：．

三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知集合，，则是的充分不必要条件，则的取值范围为 　，　．

【解答】解：若是的充分不必要条件，则，

，解得．

的取值范围是，．

故答案为：，．

14．（5分）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 　　．

【解答】解：因为，，且，所以，

则，

当且仅当，即，时，取得最小值为4，

因为不等式恒成立，

则只需即可，

所以，即，解得，

故答案为：．

15．（5分）已知函数，对于，都有成立，且任取，，，，若（1），则的取值范围是 　，，　．

【解答】解：任取，，，，

则在，上单调递减，

又对于，都有成立，

则函数图象关于直线对称，

故在上单调递增，

因为（1），

所以或．

故实数的取值范围为，，．

故答案为：，，．

16．（5分）已知函数，若，则的值域是 　，　；若的值域为，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：若，则，

当时，递增，可得；

当时，在，递减，在，递增，

可得，（2），即，，

所以时，的值域为，；

由的值域为，当时，由，解得；

当时，，解得，，

当时，的最大值将大于3，；

当时，最大值为（2），最小值为满足条件；

当时，此时的最大值将大于3；

当时，由上面可得，的值域为，，不符题意；

当时，的最小值将变为，不符题意．

所以的范围是，．

故答案为：，；，．

四、解答题.本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）化简下列各式：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

18．（12分）已知．且，求下列代数式的值．

（1）；

（2）；

（3）．

【解答】解：（1），且，

．

（2）

．

（3）

．

法二：

．

19．（12分）已知函数．

（1）求解不等式的解集；

（2）当时，求函数的最大值，以及取得最大值时的值．

【解答】解：（1）令，解得，

所以不等式的解集为；

（2）当时，函数

，

当且仅当，即时，函数取得最大值为．

20．（12分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解．若____，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

；

（2）由于，，

选择①，

则，

当时，，解得，此时满足，

当时，，解得，

综上所述的取值范围为，，．

选择②，

，

，

或，

当时，，解得，此时满足，

当时，或，

解得或，

综上所述的取值范围为，，；

选择③，

当时，，解得，此时满足，

当时，或，

解得或，

综上所述的取值范围为，，．

21．（12分）已知定义在上的函数．

（1）当时，判断的单调性并证明你的结论；

（2）当时，解关于的不等式．

【解答】解：（1）当时，函数在上单调递减，

当时，函数在上单调递增．

证明如下：设，

则，

因为，

则，，，

当时，，此时函数在上单调递减，

当时，，此时函数在上单调递增．

（2）当时，函数在上单调递减，

不等式，即且，解得，

所以不等式的解集为．

22．（12分）若函数同时满足：

①函数在整个定义域是增函数或减函数；

②存在区间，，使得函数在区间，上的值域为，，则称函数是该定义域上的“闭函数”．

（1）判断是不是上的“闭函数”？若是，求出区间，；若不是，说明理由；

（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；

（3）若在上的最小值是“闭函数”，求、满足的条件．

【解答】解：（1）是上的增函数，

若函数为“闭函数”，则存在，，使得函数在，上的值域为，，

所以，

所以关于的至少有两个不相等的实数根，

因为△，

所以方程无解，

故函数不是“闭函数”；

（2）因为是上的增函数，

若是“闭函数”，

则存在，，使得函数在，上的值域为，，

所以，

则关于的方程在上有两个不相等的实数根，

令，

则，

所以函数在，上有两个零点，

则，解得，

所以实数的取值范围为；

（3）因为，

当时，函数在上单调递增，

所以；

当时，，

综上所述，，

所以函数在上为减函数，在上也为减函数，

①当时，则，

上式作差可得，，

因为，

所以，

又，则，故舍去；

②当时，则，

消去可得，，解得，不合题意，故舍去；

③当时，则，可得．

综上所述，，满足的条件为且．

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