2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）设为实数，已知集合，，，，满足，则的取值集合为　　

A． B．，， C． D．，

2．（5分）设为实数，函数的最小正周期为，则的值为　　

A．2 B． C． D．

3．（5分）设，为正实数，已知，则的值为　　

A．7 B． C．3 D．

4．（5分）设为实数，已知函数的两个零点在区间内，则的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，

5．（5分）　　

A． B． C． D．

6．（5分）定义在上的偶函数在区间，上单调递增，若（1），则的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，，

7．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的周期为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的的得0分）

9．（5分）下列命题是真命题的有　　

A．若，则 

B．若，，则 

C．若，则有最小值 

D．若，则

10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　

A． 

B．若，则的最小值为 

C．的图象关于，对称 

D．的单调减区间为，

11．（5分）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有　　

A．是的必要条件 

B．是的充分条件 

C．是的充分必要条件 

D．是的既不充分也不必要条件

12．（5分）设函数，则　　

A．为偶函数 

B．为周期函数，其中一个周期为 

C． 

D．的值域为，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）命题“，”的否定为 　　．

14．（5分）已知，，则的值为 　　．

15．（5分）设，，满足，则的值为 　　．

16．（5分）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知的周长为9，，则的面积的最大值为 　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

17．（10分）设全集，集合，．

（1）求；

（2）设为实数，集合．若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

18．（12分）已知．

（1）若，且，求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）设定义在上的函数、奇函数和偶函数，满足，若函数．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最小值．

20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点开始计算时间．

（1）将点距离水面的距离（单位：．在水面下，为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；

（2）已知盛水筒与盛水筒相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间．

21．（12分）已知定义在上的函数．

（1）求证：是奇函数；

（2）求证：在上单调递增；

（3）求不等式的解集．

22．（12分）设函数定义域为，对任意实数，，有，且，．

（1）求

（2）求证：；

（3）求的周期；

（4）（理科）若时，，求证：在，上单调递减．

2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．（5分）设为实数，已知集合，，，，满足，则的取值集合为　　

A． B．，， C． D．，

【解答】解：集合，，1，，

，，满足，

，由，，

的取值集合为，．

故选：．

2．（5分）设为实数，函数的最小正周期为，则的值为　　

A．2 B． C． D．

【解答】解：（1）由题意，

，．

故选：．

3．（5分）设，为正实数，已知，则的值为　　

A．7 B． C．3 D．

【解答】解：，为正实数，，

，

，，，

解得．

故选：．

4．（5分）设为实数，已知函数的两个零点在区间内，则的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，

【解答】解：根据题意不妨设函数 的两个零点为，，

要满足题意，则△，，，

解得，

故选：．

5．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：

．

故选：．

6．（5分）定义在上的偶函数在区间，上单调递增，若（1），则的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，，

【解答】解：因为是偶函数，则不等式（1）可化为（1），

又在区间，上单调递增，

所以，即或，

解得或，

即的取值范围是，，．

故选：．

7．（5分）将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得到的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到的图象；

故选：．

8．（5分）已知定义在上的非常数函数满足：对于每一个实数，都有，则的周期为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，，则有，

变形可得，

则有，

联立可得：，

又由，故，

则有，即，

即的周期为，

故选：．

二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的的得0分）

9．（5分）下列命题是真命题的有　　

A．若，则 

B．若，，则 

C．若，则有最小值 

D．若，则

【解答】解：对于：由于，则，故正确；

对于：若，，则，故错误；

对于：若，所以，则，当时，取得最小值为，故正确；

对于：若，根据三角函数线，

如图所示：

则，故正确；

故选：．

10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　

A． 

B．若，则的最小值为 

C．的图象关于，对称 

D．的单调减区间为，

【解答】解：函数解析式，即，故正确，

的周期为，时，是的整数倍，故错误，

当时，，函数图象关于点，对称，故正确，

由，得，，

函数的一个单调递减区间是，，，故正确．

故选：．

11．（5分）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有　　

A．是的必要条件 

B．是的充分条件 

C．是的充分必要条件 

D．是的既不充分也不必要条件

【解答】解：是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，

，，，，

，

是的充分条件，故错误；

是的充分条件，故正确；

是的充分必要条件，故正确；

是的充分不必要条件，故错误．

故选：．

12．（5分）设函数，则　　

A．为偶函数 

B．为周期函数，其中一个周期为 

C． 

D．的值域为，

【解答】解：对于，，是偶函数，故正确；

对于，因为，故是的一个周期，故正确；

对于，当时取等号，故错误；

对于，当，时，，，且当，时，，，由函数的周期性可知，的值域为，，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）命题“，”的否定为 　，　．

【解答】解：命题“，”的否定为“，”．

故答案为：，．

14．（5分）已知，，则的值为 　　．

【解答】解：，，

，，，

代入，得，

解得，，

则．

故答案为：．

15．（5分）设，，满足，则的值为 　1　．

【解答】解：，，满足，

，

，，

，，，，

或，

或（舍，

则．

故答案为：1．

16．（5分）若一个三角形的三边长分别为，，，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知的周长为9，，则的面积的最大值为 　　．

【解答】解：由题意，

由，

则时取等号，

则．

故答案为：．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

17．（10分）设全集，集合，．

（1）求；

（2）设为实数，集合．若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

【解答】解：（1）全集，集合，

，

，

；

（2）设为实数，集合，

“”是“”的充分条件，，

，

的取值范围是，．

18．（12分）已知．

（1）若，且，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1），

由题意，且，则．

（2）由，可知，

令，则，

所以．

19．（12分）设定义在上的函数、奇函数和偶函数，满足，若函数．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最小值．

【解答】解：（1）由，可知，

由为奇函数，为偶函数，可知，，

则，

则，．

（2），时，，则，当且仅当即时等号成立，

则在上的最小值为1．

20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了12个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时（图中点开始计算时间．

（1）将点距离水面的距离（单位：．在水面下，为负数）表示为时间（单位：分钟）的函数；

（2）已知盛水筒与盛水筒相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间．

【解答】解：（1）以为原点，平行于水面向右作为轴正方向建立平面直角坐标系，

设，则距离水面的距离，，为为始边，为终边的角，

由到水面距离为2，半径，可得，

由该筒车逆时针匀速旋转，2分钟转动一圈，可知，

则，则，

故．

（2）筒车上均匀分布了12个盛水筒，

所以，

设，，

则，，

由点纵坐标，和在水面上方，且距离水面的高度相等可得，，

则或，解得，

由盛水筒和在水面上方，

则，即，

故，

则，

由得，．

21．（12分）已知定义在上的函数．

（1）求证：是奇函数；

（2）求证：在上单调递增；

（3）求不等式的解集．

【解答】（1）证明：函数定义域为，关于原点对称，

，

所以函数是奇函数．

（2）证明：任取，，且，

则，

因为，所以，，

所以，即，

所以在上单调递增．

（3）解：不等式可化为，

因为在上单调递增，

所以不等式可化为，即，

解得或，

即不等式的解集为，，．

22．（12分）设函数定义域为，对任意实数，，有，且，．

（1）求

（2）求证：；

（3）求的周期；

（4）（理科）若时，，求证：在，上单调递减．

【解答】解：（1）由题意，令，可得，即，

．；

（2）证明：令，，可得，

；

令，，可得，

，

故得；

（3）由（2）可知，即，

故得的周期

（4）任取，，且

则

，，

，

题意：时，，

故得，

在，上单调递减．

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