2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．

2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为　　

A．6 B．6.5 C．7 D．5.5

3．（5分）设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　

A．2 B．1 C． D．

4．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　

A． B． C． D．

5．（5分）设函数在区间，内有零点，则的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

6．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵” ，其中，，当“阳马”（即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列有关复数的说法正确的是　　

A．若复数，则 

B．若，则是纯虚数 

C．若是复数，则一定有 

D．若，，则

10．（5分）已知，是不同的平面，，是不同的直线，则使得成立的充分条件是　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列说法正确的是　　

A．若有两解 

B．若，有两解 

C．若为锐角三角形，则的取值范围是 

D．若为钝角三角形，则的取值范围是

12．（5分）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　

A． 

B．直线过边的中点 

C． 

D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。

13．（5分）　　．

14．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 　　．

15．（5分）在平面直角坐标系中，点、、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 　　．

16．（5分）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是 　　，此时外接圆的半径为 　　．

四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．

（1）求实数；

（2）定义复数的一种运算“”： ，求．

18．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在，内，将笔试成绩按照，，，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．

19．（12分）已知，为锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）在中，，，分别为角，，的对边，，，且，．

（1）求角大小；

（2）为边上一点，，且 ______，求的面积．

（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．

21．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．

（1）求证：；

（2）当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．

22．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，，，为边上两点，，．

（1）求的长；

（2）过线段中点作一条直线，分别交边，于，两点，设，，求的最小值．

2021-2022学年江苏省南京市江宁区高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为　　

A．6 B．6.5 C．7 D．5.5

【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为，即在第6位和第7位上的数字和的平均数．

故选：．

3．（5分）设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是　　

A．2 B．1 C． D．

【解答】解：，，，

，

，，三点共线，

，，

，，

故选：．

4．（5分）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，

侧面展开图是一个半圆，，

圆锥的表面积为，，，

故圆锥的底面半径为．

故选：．

5．（5分）设函数在区间，内有零点，则的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：由，可得在上单调递增，由（1），（2），可得在内存在零点，则．

故选：．

6．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

 则，

故选：．

7．（5分）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵” ，其中，，当“阳马”（即四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知可得，平面，

则，

解得．

此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径，

三棱柱的外接球的体积为．

故选：．

8．（5分）在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设，，根据题意得，解得，，，，

，，又、、三点共线，，

，当且仅当，

即时，等号成立．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列有关复数的说法正确的是　　

A．若复数，则 

B．若，则是纯虚数 

C．若是复数，则一定有 

D．若，，则

【解答】解：对于，设，，则，

若，则，，故正确；

对于，设时，，而不是纯虚数，故错误；

对于，当时，则，，

，故错误；

对于，令，，

则，

，

，，

，

若，，则，故正确．

故选：．

10．（5分）已知，是不同的平面，，是不同的直线，则使得成立的充分条件是　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

【解答】解：若，，则，平行，相交，异面，错误，

若，，，根据线面平行的性质，则，正确，

若，，根据线面垂直的性质，则，正确，

若，，，根据线面，面面平行的性质，则，平行，异面，相交，错误．

故选：．

11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，下列说法正确的是　　

A．若有两解 

B．若，有两解 

C．若为锐角三角形，则的取值范围是 

D．若为钝角三角形，则的取值范围是

【解答】解：选项，，有两解，故正确；

选项，，是锐角，是确定的，至多有一解，故错误；

选项，为锐角三角形，，所以，即，

，，，，故正确；

选项，事实上，当时，恰好有，；当时，必有，故错误．

故选：．

12．（5分）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　

A． 

B．直线过边的中点 

C． 

D．若，则

【解答】解：对于，，，

，故正确；

对于，若直线必过边的中点，则与矛盾，故错误；

对于，由奔驰定理得：，

，故正确；

对于，，，

，，

，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空3分，第二空2分，共20分。

13．（5分）　　．

【解答】解：．

故答案为：．

14．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为 　　．

【解答】解，是直线与所成的角（或所成角的补角），

设正方体的棱长为2，

则，，，

，

，

直线与所成的角为，

故答案为：．

15．（5分）在平面直角坐标系中，点、、，以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为 　　．

【解答】解：在平面直角坐标系中，点、、，

，，

，，

，，

以线段，为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为．

故答案为：．

16．（5分）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，，，为三角形的三边）．在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是 　　，此时外接圆的半径为 　　．

【解答】解：因为，

由正弦定理得，

所以，

即，

因为，

所以，

由正弦定理得，

由题意可得，

当时，三角形的面积最大，此时，，，

解得，

设外接圆的半径为，，可得，可得．

故答案为：；3．

四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．

（1）求实数；

（2）定义复数的一种运算“”： ，求．

【解答】解：（1）复数，，，

，

是“理想复数”， ，

．

（2）由（1）知，，则，

，

由，

得．

18．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在，内，将笔试成绩按照，，，，，，分组，得到如图所示频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；

（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．

【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：

，

解得．

（2）应聘者笔试成绩的众数为：，

应聘者笔试成绩的平均数为：

．

（3）由频率分布直方图可知：

，中有：，

，中有：，

，中有：，

，中有：，

设分数线定为，则，，

，

解得．

故分数线为65．

19．（12分）已知，为锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1），．

（2），为锐角，则，而，则，

于是，．

．

20．（12分）在中，，，分别为角，，的对边，，，且，．

（1）求角大小；

（2）为边上一点，，且 ______，求的面积．

（从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．

【解答】解：（1），，且，

，

，

，

在三角形中，，

，故；

（2）选①：因为为的平分线，所以，

又因为，所以，

即，则，

又由余弦定理可得，即，

所以，即，解得或（舍去）．

所以；

选②：因为为的中点，则，，则，

故有，即，

又由余弦定理可得，解得，

所以．

21．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．

（1）求证：；

（2）当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）在三棱锥中，面面，面面，又，面，

面，又面，

；

（2）取中点，连接，，如图，

因，于是得平面，是与平面所成角，即，

令，则，因，即有，由（1）知，则有，

过作于，在平面内过作交于点，从而得是二面角的平面角，

中，，，

中，由余弦定理得．

，，显然是斜边中点，则，

中，由余弦定理得．

二面角的余弦值为．

22．（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，，，为边上两点，，．

（1）求的长；

（2）过线段中点作一条直线，分别交边，于，两点，设，，求的最小值．

【解答】解：（1）在与中分别有正弦定理可得：和，

两式相除可得：

又因为，所以可得，

因为，，

所以，

因为，所以，，

又，在中，由余弦定理可得，可得，

在和中由余弦定理可得：

，即，

可得，

所以；

（2）因为，所以，得，

得，

所以，

同理：设，，得，

因为为中点，所以，

所以可得：，

可得：，

，

当且仅当：时取等号，即，，

所以的最小值．

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