2020-2021学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括　　

A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆锥 

C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥

2．（5分）在中，，， ，则 　　

A． B． C． D．1

3．（5分）　　

A． B． C． D．

4．（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

6．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知向量，满足，，，则，　　

A． B． C． D．

8．（5分）在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为　　

A． B． C． D．0

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错得0分）

9．（5分）已知复数，则以下说法正确的是　　

A．复数的虚部为 

B．的共轭复数 

C． 

D．在复平面内与对应的点在第三象限

10．（5分）下列各式中值为的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

11．（5分）下列关于向量，，的运算，一定成立的有　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）在锐角中，，，分别是角，，的对边，已知，若，则下列说法正确的是　　

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知点，是角的终边与单位圆的交点，则　　．

14．（5分）已知，则的最大值是　 　．

15．（5分）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是　　．

16．（5分）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知、、是中、、的对边，，，．

（1）求；

（2）求的值．

18．（12分）已知复数，为虚数单位

（1）求和；

（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．

19．（12分）已知向量，，在同一平面上，且．

（1）若，且，求向量的坐标；

（2）若，且与垂直，求的值．

20．（12分）设函数．

（Ⅰ）求函数的最大值及取得最大值时的集合；

（Ⅱ）若，，且，求．

21．（12分）在①；②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，____，？

22．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足．

（1）求的值；

（2）已知，，，，若的

最小值记为，求表达式，并求的最大值．

2020-2021学年江苏省徐州市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

1．【分析】由等腰梯形的结构特点，我们可得等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰，分类讨论后，根据旋转体的定义，我们可以得到两种情况下旋转后得到结合体的组成，分析四个答案，易得到结论．

【解答】解：等腰梯形较长的边可能是下底也可能是腰

当较长的边是下底时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆柱、两个圆锥

当较长的边是腰时，等腰梯形线旋转一周所得的几何体包括，一个圆锥，一个圆台再挖掉一个圆锥

故选：．

2．【分析】直接利用正弦定理即可求解．

【解答】解：，， ，

由正弦定理：

则 ，

故选：．

3．【分析】由已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．

【解答】解：

．

故选：．

4．【分析】利用欧拉公式，化简求解复平面内对应的点所在象限即可．

【解答】解：欧拉公式：，

可得，

复数对应点所在的象限为第二象限．

故选：．

5．【分析】由条件利用正弦定理可得，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得，可得，由此可得的形状．

【解答】解：的内角，，所对的边分别为，，，

，则由正弦定理可得，

即，可得，故，故三角形为直角三角形，

故选：．

6．【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

7．【分析】通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．

【解答】解：，．

故选：．

8．【分析】解法Ⅰ，由题意判断，且，

再利用余弦定理求出和的余弦值，计算即可．

解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形是平行四边形，

由题意求得的值．

【解答】解：解法Ⅰ，由题意，，，

，，且，

又，

；

，

，

．

解题Ⅱ：不妨设四边形是平行四边形，

由，，，，，

知，

．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错得0分）

9．【分析】根据题意，可得，再对选项进行逐一判断即可．

【解答】解：，

所以复数的虚部为，选项正确；

的共轭复数，选项错误；

，选项正确；

在复平面内与对应的点在第二象限，选项错误，

故选：．

10．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故正确；

对于：由于，

整理得，故错误；

故选：．

11．【分析】根据向量基本概念和基本性质判断即可．

【解答】解：对于，由向量数量积对加法满足分配律知等式成立，所以对；对于，左边为的共线向量，右边为的共线向量，所以等式未必成立，所以错；

对于，由向量数量积定义知不等式成立，所以对；

对于，由向量三角不等式知，不等式成立，所以对；

故选：．

12．【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理求出和的值，判断正确；

由三角形内角和定理，结合题意求出、的取值范围，判断正确，错误；

由正弦定理求出的取值范围，判断正确．

【解答】解：锐角中，，

由正弦定理可得：，

所以；

由余弦定理可得，

又，所以，选项正确；

由三角形内角和定理知，，所以；

又，所以，解得，所以，，选项正确；

同理，，，所以选项错误；

由正弦定理得

，

由，，得，，

所以，，选项正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求的值，进而根据二倍角的余弦公式即可求解的值．

【解答】解：因为点，是角的终边与单位圆的交点，

所以，

所以．

故答案为：．

14．【分析】满足的复数，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，表示复数在复平面内对应点到点的距离，由，利用点圆的位置关系求出最大值即可．

【解答】解：满足的复数，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，

而表示复数在复平面内对应点到点的距离，，

的最大值是，

故答案为：3．

15．【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．

【解答】解：，

，

，，

，

故答案为：

16．【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求出，再利用直角三角形求出的值．

【解答】解：在中，，，所以；

在中，，，从而，

由正弦定理得，，

因此；

在中，，，

由，

得．

故答案为：750．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】（1）由余弦定理即可求得的值；

（2）先由同角三角函数的平方关系求得的值，再由正弦定理求出的值，最后根据，得解．

【解答】解：（1）由余弦定理知，，即，

整理得，，

解得或（舍负），

故．

（2），且，

，

由正弦定理知，，即，

，

．

18．【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．

（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．

【解答】解：（1）复数

，

，

．

（2）复数是关于的方程的一个根，

，

，，

，

解得，．

19．【分析】（1）根据向量平行设出，利用坐标表示向量的模进行求解；

（2）求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算，结合两向量垂直数量积等于0，进而求解．

【解答】解：（1），设，

，即，，或；

（2），，

，，

，

，

即，

即，则．

20．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简的解析式，由条件根据正弦函数的值域求得函数最大值及取得最大值时的集合．

（Ⅱ）又题意可求得，可求，，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值．

【解答】解：（Ⅰ）函数

，

函数的最大值为，此时，，，解得：，．

故函数最大值为2，取得最大值时的集合为，．

（Ⅱ）因为，，可得，，

又，可得，

可得，，，

所以．

21．【分析】选择①②，先由结合余弦定理进行化简可求，然后结合和差角公式展开化简可求，利用正弦定理可求，

选择①③，先由结合余弦定理进行化简可求，再由，结合诱导公式及二倍角公式进行化简可求，进而可求；

选②③，由利用和差角公式化简可求，，然后结合诱导公式及二倍角公式可求，进而可求．

【解答】解：选择①②，

因为，

所以，

由余弦定理，得，

因为，所有，

因为，

所以，

即，

所以，即，

因为，

所以，

中，由正弦定理得，，

即，

所以，

选择①③，

所以，

由余弦定理，得，

因为，所有，

因为，

又，

所以，

因为为三角形内角，，

所以，

所以，则，

中，，

选②③，

因为，

所以，

所以，

所以或，

因为，为三角形内角，

所以或

因为，且，

所以，

因为为三角形内角，，

所以，

所以，则，

中，，

所以．

22．【分析】（1）由向量的加减运算，推得，即可得到所求值；

（2）运用向量数量积的坐标表示和三角换元法、结合二次函数的最值求法，计算可得所求最大值．

【解答】解：（1）由题意可得，，三点满足，

可得，所以，即，

即，则，

所以；

（2）由题意可得，，，

，，

，

，

令，因为，，所以，，

令，，，

当时，在，递增，的最小值为，即；

当时，的最小值为，即；

当时，在，递减，的最小值为（1），即．

综上可得，，

可得的最大值为1．

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日期：2022/3/11 19:12:08；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367