2020-2021学年江苏省苏州中学高一（下）期中数学试卷

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2．则圆锥的表面积为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，其中，若，则的值是　　

A．4 B．8 C．0 D．2

3．（5分）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　

A． B． C． D．

4．（5分）设是复数的共轭复数，若，则　　

A．2 B． C．2或 D．2或

5．（5分）已知函数（其中是实数），若对恒成立，且，则的单调递增区间是　　

A． B．， 

C． D．

6．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）三角形中，、、所对的边分别为，，；若，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值，记某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：，为时间（单位：，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是　　

A． B．收缩压为 

C．舒张压为 D．每分钟心跳80次

10．（5分）在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则为等腰三角形 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，则

11．（5分）称，为两个向量，间的“距离”．若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是　　

A．多面体有12个顶点，14个面 

B．多面体的表面积为3 

C．多面体的体积为 

D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为 　　．

14．（5分）若是关于的实系数方程的一个复数根，则　　．

15．（5分）在中，若，则的最小值是　　．

16．（5分）已知和分别为的外心和重心，且，若，则面积的最大值为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）若虚数满足的实部与虚部互为相反数且______，求复数．

在下列条件中任选一个填在横线上补全条件，并求解问题．

①是实数；②．

18．（12分）已知函数．

（1）将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．若，，求的值域；

（2）若，求的值．

19．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，．

（1）若，且，求角的值；

（2）若，求的值．

20．（12分）如图，中，为边上一点，，．

（Ⅰ）若的面积为，求的长；

（Ⅱ）若，，求的值．

21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形．其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，（路的宽度忽略不计），设，，．

（1）当时，求小路的长度；

（2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．

22．（12分）在中，周长为20，面积为，且．

（1）求边的长度；

（2）若动点是内切圆上的一点．且．

①求的值；

②求的取值范围．

2020-2021学年江苏省苏州中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【解答】解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，

底面周长是：，

侧面积是：，

底面积是：，

圆锥的全面积为．

故选：．

2．【解答】解：向量，，

，

，

即

又因

故选：．

3．【解答】解：由题意及图，，

又，，所以，，

又，所以，解得，，

故选：．

4．【解答】解：设，，为实数），

因为，

所以，

即，

所以，

所以，或，

当，时，，

当，时，．

故选：．

5．【解答】解：由题意得

，

，

，

因此，

从而，

其单调增区间为，

即，也即，

故选：．

6．【解答】解：，，

则，

故选：．

7．【解答】解：由正弦定理可得：，

．

故选：．

8．【解答】解：，

所以，

由正弦定理得，

因为锐角三角形中，，，

所以，

所以，即，，

所以，解得，

所以．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【解答】解：由图象可知，，，

可得，，

，

由五点作图法可知，，解得，故错误；

因为函数的最大值，最小值，就是该人的收缩压，舒张压，

所以收缩压为，舒张压为，故，正确；

又该函数的周期，

所以每分钟心跳的次数为次，故正确．

故选：．

10．【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若，则，由正弦定理可得，即，则为等腰三角形，正确；

对于，若，即，由正弦定理可得，即或，

则为等腰三角形或直角三角形，错误；

对于，若，

则，

必有、、中必有一个小于0，即、、三个角中有一个钝角，正确，

对于，若，则有，

在中，，

又，

故，则有．

在中，，则，即，

又，则，正确；

故选：．

11．【解答】解：，，，，

对任意的，恒有，，，即对于恒成立，所以△，

整理得，所以，

对于，因为以，所以不成立，所以错；

对于，由上述知对；

对于，因为，所以，所以对；

对于，假设对，即，于是，

即，又因为，所以，所以，与矛盾，所以错．

故选：．

12．【解答】解：由图形可得该半正多面体共有12个顶点，14个面，故正确；

半正多面体的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，可得该半正多面体所有顶点都为正方体的棱的中点，

该半正多面体的棱长为，故半正多面体的表面积为，故错误；

半正多面体的体积为，故正确；

正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，多面体有外接球，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解答】解：还原直观图为原图形如图，

因为，所以，还原回原图形后，

，．

所以原图形的面积为．

故答案为：．

14．【解答】解：若是关于的实系数方程的一个复数根，

则另一个复数根为，

，，

即，，

则，

故答案为：1．

15．【解答】解：中，，

．

利用正弦定理可得，，即．

则，

当且仅当时，取等号，

故的最小值为，

故答案为：．

16．【解答】解：因为，是三角形的外心和重心，设为的中点，．

，，．

①，

，

将上式代入①式得，

，所以，点在以的中点为圆心，半径为的圆上．

故当时，面积的最大为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：设，为实数，，

若的实部与虚部互为相反数，则，即（1），

若选①是实数；

则为实数，

所以，

因为，

所以（2），

（1）（2）联立得，或，，

所以或；

若选②，

则，

整理得（2），

（1）（2）联立得，或，，

所以或．

18．【解答】解：（1）将函数的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）

得到的图象，

则．

若，，，，故，，

即的值域为，．

（2）若，则，

，

，

．

19．【解答】解：（1）根据题意得，，，

，

，

又，

．

（2），

，

，

，

，

原式．

20．【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ），，，．．（1分）

可得：，．（2分）

可得：，（3分）

在中，由余弦定理得：，．（4分）

，（5分）

．（6分）

（Ⅱ）在中，由正弦定理得：，（7分）

，（8分）

在中，由正弦定理得：．（9分）

，（10分）

．．（12分）

21．【解答】（本题满分为14分）

解：（1）在中，由，

得，

又，

．（2分）

，，

，

由，

得：，解得：，

是以为直角顶点的等腰直角三角形，

，且，

，（5分）

在中，，

解得：．（7分）

（2）由（1）得：，

，此时，，，且，（10分）

当时，四边形的面积最大，即，此时，，

，即．（13分）

答：（1）当时，小路的长度为百米；

（2）草坪的面积最大时，小路的长度为百米．（14分）

22．【解答】解：（1）由，解得，

所以，

所以，

由题得，，

解方程组，

解得，，或，，，

所以．

（2）①由题意得内切圆的半径，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

如果，，

所以，

所以，

所以，

解得，，，

当，时，，

所以．

②以点为坐标原点建立直角坐标系，

则圆的方程为，

设，不妨设，，

所以，，，

所以，，，，

所以，．

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日期：2021/8/3 15:57:32；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394