2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若是虚数单位，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知的内角，，所对边分别为，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  飞机的线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知复数，，，，并且，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  中，，，为中点，，交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列关于复数的说法中正确的有(    )

A. 复数的虚部为 B. 复数的共轭复数是
C. 复数的模是 D. 复数的对应的点在第四象限

10.  已知函数的图象为，以下说法中不正确的是(    )

A. 函数的最大值为
B. 图象关于直线对称
C. 函数在区间内是增函数
D. 函数图像上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，可得到

11.  在中，角，，所对的边分别是，，，且，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则取值范围为
D. 若，则三角形的面积最大值为

12.  如图所示，在边长为的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则(    )

A.
B.
C. 最大值为
D. 的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，则 ______ ．

14.  如果复数满足，那么的最大值是______ ．

15.  已知向量，则在上的投影向量的坐标为______ ．

16.  如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标若在该坐标系中，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知向量，．
求的值；
，求的值．

18.  本小题分
已知向量，，．
若，求的值；
若的值域．

19.  本小题分
已知．
求的值；
已知，，，求的值．

20.  本小题分
已知三角形，，．
若且为角的平分线，为上点，求的值；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，为半圆为直径上一动点，，，，记．
当时，求的长；
当周长最大时，求．

22.  本小题分
如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点．
当时，过点的直线与边，分别交于点，，设，
求的最小值；
设的面积为，的面积为，求的最小值．
若的面积为，，且，，，，，是线段的等分点，其中，、，，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：
则，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的求解，利用两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
则，
，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以由正弦定理可得，
又，
由余弦定理可得：，
因为，
所以．
故选：．
根据题意结合正弦定理求得，再由余弦定理可求的值，结合的范围即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以

．
故选：．
由已知结合同角平方关系及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，如图，，，
，
，
在中，，
，
，
山顶的海拔高度为．
故选：．
先求的长，在中可求的长，进而由于，可求，即可得山顶的海拔高度．
本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得，
，当时，；当时，，．
故选：．
由列出方程组，求得，再求三角函数的值域即可．
本题考查复数的概念和三角函数的值域问题，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：为中点，
，
，
，
，
设，
，
，
，不共线，
，解得，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，求出，再结合平面向量的数量积运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，复数的虚部为，故A错误，
对于，，故B正确，
对于，，故C错误，
对于，复数的对应的点在第四象限，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合虚部，共轭复数的定义，以及复数模公式和复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查虚部，共轭复数的定义，以及复数的模和复数的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对于，函数的最大值为，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，
则，故C正确；
对于，函数图像上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，可得到，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，对化简，再结合三角函数的性质，即可依次求解．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，中，，由正弦定理，得，即，
因为，所以，且，所以，选项A错误；
由余弦定理，得，
又，，
因为三角形为锐角三角形，所以有，，，
得或舍，所以选项B正确；
对于，，将代入其中，得，
同理，可得，
，
因为三角形为锐角三角形，所以有，，，得，
所以
所以，由于为锐角，所以，所以则取值范围为，故选项C正确；
对于，由余弦定理有：，当且仅当时取等号，
，故选项D错误．
故选：．
选项A：根据正弦定理对进行化简，求出；
选项B：由余弦定理得出，，，由于锐角三角形，所以三者都大于，从而求得的取值范围；
选项C：根据余弦定理得出的取值范围，进而得出的取值范围，再得出的范围；
选项D：利用余弦定理和基本不等式求出的取值范围，再用三角形的面积公式求的面积．
本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，


，故A正确；
对于，

，故B不正确；
对于，以点为原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
则，，，
由题意，点的轨迹方程为，
可设，，
则，，，

，
又，，
当时，取得最大值，故C不正确；
对于，，
，
，即，
又，当时，取得最大值，故D正确；


故选：．
对于、选项，直接用向量的线性运算及数量积运算可判定，对于、选项，需用坐标法进行判定，注意坐标系的建立．
本题综合考查了向量和三角函数的相关知识，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．
本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
，
则，表示以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到点的距离，
故的最大值是．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在坐标系中，，由于，，
故，，
所以．
故答案为：．
直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
则，
故；
，，
则，
，
则，即，解得． 

【解析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
则，
当时，
，
故的值为．
，
，
，
，
，
故的值域为． 

【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，即可求解；
根据已知条件，求出，再结合的取值范围，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由．
得，得，
则
．
，，
由得舍或．
则，
，，
，则，
则． 

【解析】利用倍角公式进行化简，然后利用弦化切进行转化求值即可．
求出的值，然后利用两角和差的正切公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的倍角公式，两角和差的三角公式以及弦化切进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：，，，
在中，由余弦定理得，即，
由题意得，
且为角的平分线，则，
，
即，解得，
；
作出图形，如图所示：

，，，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
，
，解得． 

【解析】利用余弦定理和三角形的面积公式，求解即可得出答案；
作出图形，利用余弦定理可得，，求解即可得出答案
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，，
，，且在以为直径的圆上，
，
在中，，，
由正弦定理，解得．
在中，，，
由余弦定理，，
即，
，，
当且仅当 时取等号，
，，
即当时， 周长最大，此时
． 

【解析】利用正弦定理可得；利用余弦定理，基本不等式求出的最值，可得周长最大时的取值．
本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于基础题．
 

22.【答案】解：当时，，
，
，，三点共线，，
则，
当且仅当，即取等号．
即的最小值是．
，
，，
得．
即则的最小值是．
设为的中点，则，
则，
，
，即．
则，
即，
即的最小值是． 

【解析】当时，，利用三点共线得到，利用基本不等式的性质进行求解即可．
，利用基本不等式的性质进行求解即可．
根据向量运算法则得，利用三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解即可．
本题主要考查平面向量的基本运算，根据条件利用基本不等式进行转化求最值是解决本题的关键，是中档题．