2020-2021学年江苏省南京市江宁区高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市江宁区高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）

1．（5分）已知复数满足，则　　

A．1 B． C．2 D．

2．（5分）已知向量，均为单位向量，两向量夹角为，那么　　

A． B． C． D．1

3．（5分）对于非零向量，下列命题中正确的是　　

A． 

B．在上的投影向量为是与方向相同的单位向量） 

C． 

D．

4．（5分）加强体育锻炼是青少年生活学习中重要组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：约为　　（参考数据：取重力加速度大小为，

A．81 B．87 C．89 D．91

5．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，若，则三角形的形状为　　

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 

C．等腰三角形 D．等边三角形

6．（5分）如图是一祭祀天坛，在今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的面积，在天坛外围测得米，米，米，据此可以估计天坛的面积大约为　　．（结果精确到1米

（参考数据：，

A．1386米 B．1131米 C．1286米 D．1331米

7．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）在平行四边形中，，，，且在边上，则的最小值为　　

A． B． C． D．

二、多选题（本题包括4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9．（5分）下列格式中，值等于的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．（5分）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是　　

A． 

B．复平面内表示复数的点位于第二象限 

C．复数的共轭复数为 

D．复数是方程的一个根

11．（5分）已知函数，下列结论正确的是　　

A．函数的最小正周期是 

B．函数的图象关于对称 

C．函数在上递增 

D．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到

12．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　

A．若，则外接圆半径为 

B．的最大内角是最小内角的2倍 

C．是钝角三角形 

D．

三、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分。）

13．（5分）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数　　．

14．（5分）已知，是方程的两根，则　　．

15．（5分）如图，为测量一个旗杆的高度，在处测得杆顶的仰角为，后退40米到达处测得塔顶的仰角为，则旗杆的高度为　　米．

16．（5分）如图在同一平面内，向量，，的模分别为1，2，3，且与的夹角为，且，与的夹角为，若，则　　．

四、解答题（本题包括6小题，17题10分，18-22题每小题10分，共70分。）

17．（10分）已知，．

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与夹角为锐角？

18．（12分）已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角，，所对的边分别为，，，若的面积为，且 ___．求的周长．

20．（12分）已知函数．

（1）求的最小正周期及在区间上的最大值

（2）在锐角中，，且，求取值范围．

21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，若．

（1）求角的值；

（2）若，且的面积为，求边上的中线的长．

22．（12分）为响应国家号召开，积极引进外资，现欲在南京紫金东创建一工厂，目前两条公路，的交汇点处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂，同时在两公路旁，（异于点处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设．（注

（1）试用表示，并写出的范围；

（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与学校的距离最远）．

2020-2021学年江苏省南京市江宁区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）

1．【分析】先求出复数，然后根据复数的模长公式即可求解

【解答】解：由题意可得，

故选：．

2．【分析】利用向量的模的运算法则，化简求解即可．

【解答】解：向量，均为单位向量，两向量夹角为，

那么．

故选：．

3．【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断；

【解答】解：，所以不正确；

在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量）所以不正确．

，所以正确；

推不出，所以不正确；

故选：．

4．【分析】可设两只胳膊的拉力分别为，，根据进行数量积的运算即可求出重力的值，进而可得出学生的体重的值．

【解答】解：设两只胳膊的拉力分别为，，，，

，

，解得．

学生的体重约为．

故选：．

5．【分析】直接利用余弦定理的应用求出的值，进一步利用正弦定理得到，最后即可判断出三角形的形状．

【解答】解：在中，角、、所对的边分别为、、，且，

则：，

由于：，

故：．

由于：，

利用正弦定理得：，

所以：，

故：，

所以：为等边三角形．

故选：．

6．【分析】利用题中的条件以及利用解三角形的知识，即可解出．

【解答】解：设，则，

在中，，

在中，，

，，

，

故选：．

7．【分析】由题意利用两角和差的三角公式，先求得，再利用诱导公式、二倍角公式求得要求式子的值．

【解答】解：已知，

则

，

故选：．

8．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得到的表达式，利用二次函数的性质求出函数的最小值，问题得以解决．

【解答】解：平行四边形中，，，

，点在边上，

，

，，

以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，

建立如图所示的坐标系，，，，，

设，则，

，，

，

设，则在，上单调递减，在，上单调递增，

（1），

则的最小值是，

故选：．

二、多选题（本题包括4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）

9．【分析】对于，利用二倍角的正切公式即可求解；

对于，利用诱导公式，两角和的正弦公式即可求解；

对于，利用二倍角的余弦公式即可求解；

对于，利用两角和的余弦公式即可求解．

【解答】解：对于，；

对于，；

对于，；

对于，，

故选：．

10．【分析】先由已知求出复数，然后对应各个选项逐个求解即可．

【解答】解：由可得：，

所以，故正确，

复数对应的点为，在第一象限，故错误，

复数的共轭复数为，故错误，

方程的根为：或，故正确，

故选：．

11．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用判断、、、的结论．

【解答】解：函数．

对于：函数的最小正周期为，故正确；

对于：当时，，故正确；

对于：由于，所以，故函数在该区间内单调递减，故错误；

对于：函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故错误；

故选：．

12．【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角平方关系分别对选项进行检验即可得解．

【解答】解：由，可得，

故可设，，，

由正弦定理可得：，故正确；

由题意可知为最大角，由余弦定理可得：，

故为锐角，从而可知是锐角三角形，故错误；

因为最小内角为最小角，，

故，

故，故正确；

由，，结合正弦定理可得，

故，故正确．

故选：．

三、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分。）

13．【分析】利用纯虚数的定义直接求解．

【解答】解：是虚数单位，复数是纯虚数，

，

解得实数．

故答案为：．

14．【分析】由题意利用韦达定理，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．

【解答】解：，是方程的两根，，，

则，

故答案为：．

15．【分析】利用表示出，．让减去等于40即可求得长．

【解答】解：设，则，，

则，

，

故答案为：．

16．【分析】由得：，以为原点，方向为轴正半轴建立直角坐标系，根据向量，，的模长及夹角分别求出点，，的坐标，再利用向量的坐标运算求解．

【解答】解：由得：，

以为原点，方向为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：

由，的模长为2，可得，，

由，的模长为3，可得，，

由的模长为1，可得，

又，

，，，，

，解得，

，

故答案为：．

四、解答题（本题包括6小题，17题10分，18-22题每小题10分，共70分。）

17．【分析】（1）分别求出，，由与共线，列出方程，能求出当为1时，与共线．

（2）分别求出，，，由与垂直，列出方程能求出当为时，与垂直．

（3）求出，，，由与夹角为锐角，列出不等式能求出当时，与夹角为锐角．

【解答】解：（1），．

，，

与共线，

，

解得，解得．

当为1时，与共线．

（2），，，

与垂直，

，

解得．

当为时，与垂直．

（3），，，与夹角为锐角，

，且，

解得，且．

当或时，与夹角为锐角．

18．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，计算求得的值．

（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的正弦公式，计算求得的值．

【解答】解：（1），，

故为锐角，，

．

（2）由（1）可得，，，

，，

故．

19．【分析】选①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得的值，结合，可求的值；

选②，利用倍角公式，正弦定理可求的值，结合的范围，可得的值；

选③，利用平方和公式，正弦定理，余弦定理化简已知可得的值，结合，可得的值．

由余弦定理可得，进而根据三角形的面积公式可求的值，从而可求的值，即可得解的周长的值．

【解答】解：若选①，由正弦定理得，

即．

因为，

所以，

所以，

又，从而得．

若选②，因为，可得，

所以由正弦定理可得，可得，

又，从而得．

若选③，因为，

所以，

即，

所以，

可得．

因为，

所以可得．

因为的面积为，，，

由余弦定理，得，

由，得，

所以，

故．

20．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

（2）利用正弦定理和三角函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：（1）函数．

所以函数的最小正周期为．

当，

所以，

当时，函数的最大值为．

（2）由于在锐角中，，

所以，解得．

利用正弦定理，

所以，，

由于，

所以．

所以，

由于，

所以，

故，

故．

即的取值范围为，．

21．【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化角，并结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，推出，再由辅助角公式，即可得解；

（2）由，知，再在中，利用余弦定理，即可得解．

【解答】解：（1）由正弦定理知，，

，

，

，

，

又，

，即，

，，，

，即．

（2），，且，

的面积为，

，即，

，

，

在中，由余弦定理知，，

．

22．【分析】（1）直接利用正弦定理的应用求出结果；

（2）直接利用余弦定理和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．

【解答】解：（1）设．

所以，

在中，利用正弦定理：，，

整理得．

（2）在中，

利用余弦定理：，

，

，

故当，即时，的最大值为12，影响最小，

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日期：2022/3/11 19:16:52；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367