2024年新高考数学一轮复习 第二章 第五节 对数与对数函数

课时跟踪检测(十三) 对数与对数函数

一、全员必做题

1．函数y＝ 的定义域是(　 )

A．[1,2]  B．[1,2)

C.  D.

解析：选C　由

即解得x≥.

2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　 )

A．c<b<a  B．b<a<c

C．a<c<b  D.a<b<c

解析：选C　∵a＝log52<log42＝，b＝log83>log93＝，∴b>c>a.故选C.

3．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M＝M0·2－0.008t(其中M0为3H的初始质量)．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　 )

A．125年  B．175年

C．255年  D.1 050年

解析：选B　根据题意M0·2－0.008t＝M0⇒－0.008t＝log2＝＝＝－3＝－3＝－1.4，所以t＝＝175.故选B.

4．(多选)已知a＝log23,3b＝4,2c＝log23＋1，则下列结论正确的是(　 )

A．a<c  B．ab＝2

C．abc＝a＋1  D.2bc＝b＋2

解析：选BCD　因为a＝log23>1，所以2c＝log23＋1＝a＋1<2a，则c<a，即A不正确；因为b＝log34＝2log32＝＝，所以ab＝2，即B正确；由ab＝2可知，abc＝2c＝a＋1，即C正确；由abc＝a＋1可知，ab2c＝ab＋b，则2bc＝b＋2，即D正确．

5．设a>0且a≠1，b∈R，函数f(x)＝ax－b，g(x)＝loga(x＋b)，则函数f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能为(　 )

解析：选B　函数f(x)＝ax－b，g(x)＝loga(x＋b)单调性相同，同增或者同减，故A错误．①若0<a<1，f(x)＝ax－b，g(x)＝loga(x＋b)在定义域内单调递减，f(0)＝a－b，令g(x)＝loga(x＋b)＝0时，x＝1－b，如图C，若1－b>1，则b<0，此时g(x)＝loga(x＋b)的渐近线为x＝－b，由图，0<－b<1解得－1<b<0，但此时f(0)＝a－b<1这与f(x)与y轴的交点矛盾，故C错误．如图D，f(0)＝a－b<1，解得b<0，g(0)＝logab无意义，故D错误．②若a>1时，f(x)＝ax－b，g(x)＝loga(x＋b)在定义域内单调递增，当 0<b<1时，f(0)＝a－b<1，g(0)＝logab<0，且g(x)＝loga(x＋b)＝0时，x＝1－b∈(0,1)，此时选项B符合，故选B.

6．函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(　 )

A．(0,1]  B．(0,2)

C．(1,2)  D.[0,2]

解析：选A　由不等式2x－x2>0，即x2－2x＝x(x－2)<0，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)，令g(x)＝2x－x2，可得其图象开口向下，对称轴的方程为x＝1，当x∈(0,1]时，函数g(x)单调递增，又由函数y＝logx在定义域上为单调递减函数，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝log(2x－x2)的单调递减区间为(0,1]．

7．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则(　 )

A．f(x)在(0,4)内单调递减

B．f(x)是偶函数

C．f(x)的图象关于点(2,0)中心对称

D．f(x)的最大值为2

解析：选D　由f(x)＝log2x＋log2(4－x)知即0<x<4，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(－x2＋4x)，令t＝－x2＋4x，则y＝log2t，因为x∈(0,4)时，t＝－x2＋4x不单调，所以f(x)不单调，故A错误；因为f(x)的定义域为(0,4)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；因为f(4－x)＝log2(－x2＋4x)≠－f(x)，所以f(x)的图象不关于点(2,0)对称，故C错误；因为t＝－x2＋4x，x∈(0,4)，所以当x＝2时，tmax＝4，因为y＝log2t是增函数，所以ymax＝log24＝2，故D正确．

8．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为________．

解析：∵f(x)＝∴f(x)>1⇔或解得－1<x≤0或0<x<，即－1<x<，∴不等式f(x)>1的解集为.

答案：

9．已知实数a>0，且满足53a＋2>54a＋1，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)的解集为________．

解析：由实数a>0，且满足53a＋2>54a＋1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2>4a＋1，解得0<a<1，所以函数y＝logax为单调递减函数，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)，可得解得<x<，即不等式的解集为.

答案：

10．(2023·浙江练习)已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋1)，当x∈(0,1)时，函数f(x)＝3x，则f(log19)＝________.

答案：－

11．(2023·邢台模拟)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(a＋4)>f(2a)，求a的取值范围．

解：(1)由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

当x>2时，y1＝log2(x－2)是增函数，y2＝(x－2)2－4也是增函数，故f(x)＝log2(x－2)＋(x－2)2－4是增函数；

当x<2时，f(x)＝log2(－x＋2)＋(x－2)2－4是减函数．

故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．

(2)因为f(x)＝f(－x＋4)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．

由f(a＋4)>f(2a)，得

解得0<a<4且a≠1，故a的取值范围为(0,1)∪(1,4)．

12．已知函数f(x)＝且点(4,2)在函数f(x)的图象上．

(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(2)求不等式f(x)<1的解集．

解：(1)∵点(4,2)在函数的图象上，∴f(4)＝loga4＝2，∴a＝2.

∴f(x)＝ 画出函数的图象如图所示．

(2)不等式f(x)<1等价于或

解得0<x<2或x<－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,2)．

二、重点选做题

1．(多选)已知x1＋log3x1＝0，x2＋log2x2＝0，则(　 )

A．0<x2<x1<1

B．0<x1<x2<1

C．x2lg x1－x1lg x2<0

D．x2lg x1－x1lg x2>0

解析：选BC　由x1＝－log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x，所以x1－x2＝log2x2－log3x1<0，即x1<x2，故A错误、B正确；因为0<x1<x2<1，所以lg x1<lg x2<0，即0<－lg x2<－lg x1，由不等式性质可得－x1lg x2<－x2lg x1，即x2lg x1－x1lg x2<0，故C正确、D错误．

2．已知函数f(x)＝ex＋e－x，若a＝f，b＝f(log56)，c＝f(log64)，则a，b，c的大小关系正确的是(　 )

A．b>a>c  B．a>b>c

C．c>b>a  D.c>a>b

解析：选B　因为f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)为偶函数，f′(x)＝ex－e－x＝，当x>0时，f′(x)>0，函数单调递增，当x<0时，f′(x)<0，函数单调递减，a＝f＝f(－log45)＝f(log45)，b＝f(log56)，c＝f(log64)，因为lg 4＋lg 6>2，故lg 4·lg 6<2＝<2＝(lg 5)2，log45－log56＝－＝>0，所以log45>log56>1>log64>0，则a>b>c.

3.(2023·浙江高三专题练习)如图，直线x＝t与函数f(x)＝log3x和g(x)＝log3x－1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为(　 )

A.  B．

C.  D.3＋3

解析：选C　由题意A(t，log3t)，B(t，log3t－1)，|AB|＝1.设C(x，log3x)，因为△ABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，所以t－x＝，x＝t－.根据中点坐标公式可得log3＝＝log3t－＝log3，所以t－＝，解得t＝.

4．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．

(1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；

(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值；

(3)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数， 求实数a的取值范围．

解：(1)依题意知x2－2ax＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以方程x2－2ax＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3, 根据根与系数的关系得2a＝1＋3，解得a＝2，即实数a的值为2.

(2)因为函数f(x)的值域为(－∞，－1]．

∴ f(x)max＝－1，又f(x)＝log(x2－2ax＋3)，

而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2.

而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，∴3－a2＝2，解得a2＝1，即 a＝±1，

所以实数a的值为1或－1.

(3)因为f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，－1]上为增函数， 函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上是减函数， 所以函数u＝x2－2ax＋3在(－∞，－1]上为减函数且u>0，

∴ 解得 即a≥－1, 故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．