2024年新高考数学一轮复习 第二章 第三节 幂函数与二次函数

课时跟踪检测(十一) 幂函数与二次函数

一、全员必做题

1．(多选)已知函数f(x)＝xa的图象经过点，则(　 )

A．f(x)的图象经过点(3,9)

B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减

D．f(x)在(0，＋∞)内的值域为(0，＋∞)

解析：选CD　将点的坐标代入f(x)＝xa，可得a＝－1，则f(x)＝，f(x)的图象不经过点(3,9)，A错误；f(x)在(0，＋∞)上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可知B错误，D正确．

2．下列四个图象中，函数y＝x的图象是(　 )

解析：选B　因为y＝x＝，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A，D，且函数在定义域上单调递增，故B正确；故选B.

3．已知反比例函数y＝的图象如图所示，以下关于函数y＝kx2－2x＋k2图象的说法中正确的是(　 )

A．开口向上，顶点在第四象限

B．开口向上，顶点在第三象限

C．开口向下，顶点在第二象限

D．开口向下，顶点在第一象限

解析：选C　由题图知k<0，则函数y＝kx2－2x＋k2的开口向下，且对称轴为x＝－＝<0，则y＝f＝k×2－2×＋k2＝k2－>0，则顶点在第二象限，故选C.

4．(多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　 )

解析：选AB　A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意，故选A、B.

5．(多选)已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是(　 )

A．(－∞，0]  B．[0,3]

C．[－1,2]  D.[3，＋∞)

解析：选AD　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．

6．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象经过点(1,13)，且函数y＝f是偶函数，则函数f(x)的解析式为____________．

解析：∵y＝f是偶函数，有f＝f，∴f(x)关于x＝－对称，即－＝－，故b＝1，又图象经过点(1,13)，∴f(1)＝13，可得c＝11.故f(x)＝x2＋x＋11.

答案：f(x)＝x2＋x＋11

7．给出下列结论：

②y＝x2＋1，x∈[－1,2]，y的值域是[2,5]；

③幂函数的图象一定不过第四象限；

④函数y＝ax＋1－2(a>0，a≠1)的图象过定点(－1，－1)．

其中正确结论的序号是________．

答案：③④

8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3，x∈[m,0]的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是______．

解析：函数f(x)＝x2＋2x＋3的图象是开口向上，且以直线x＝－1为对称轴的抛物线，当x＝－1时，函数取最小值2，令f(x)＝x2＋2x＋3＝3，则x＝0或x＝－2，若函数f(x)＝x2＋2x＋3在[m,0]上的最大值为3，最小值为2，则m∈[－2，－1]．

答案：[－2，－1]

9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．

解析：因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足解得－<m<0.

答案：

10．已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.

(1)若a＞1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；

(2)若不等式x|f(x)－x2|≤1对x∈恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5的图象的对称轴为x＝a(a＞1)，

所以f(x)在[1，a]上为减函数，所以f(x)的值域为[f(a)，f(1)]．

又已知值域为[1，a]，

所以解得a＝2.

(2)由x|f(x)－x2|≤1，得－＋≤a≤＋　(*)．令＝t，t∈[2,3]，则(*)可化为－t2＋t≤a≤t2＋t.记g(t)＝－t2＋t＝－2＋，则g(t)max＝g＝，所以a≥；记h(t)＝t2＋t＝2－，则h(t)min＝h(2)＝7，所以a≤7，综上所述，≤a≤7.所以实数a的取值范围是.

11．已知函数f(x)＝kx2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数．

(1)若f(2)＝3，求函数f(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2,2]上是单调函数，求实数m的取值范围；

(3)是否存在k使得函数f(x)在[－1,4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵f(2)＝4k＋2(3＋k)＋3＝3，解得k＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋3.

(2)由(1)可得g(x)＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴方程为x0＝，

若g(x)在[－2,2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2，若g(x)在[－2,2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6.

综上可知，m的取值范围为{m|m≤－2或m≥6}．

(3)当k＝0时，函数f(x)＝3x＋3在[－1,4]上的最大值是15，不满足条件；

当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f(x)的最大值只可能在－1,4，x0处取得，

其中对称轴x0＝－，

①若f(x)max＝f(－1)＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在；

②若f(x)max＝f(4)＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时，对称轴x0＝∈[－1,4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去；

③若f(x)max＝f(x0)＝4，则k<0，且＝4，

化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k<0且x0＝－∈[－1,4]，

综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f(x)在[－1,4]上的最大值是4.

二、重点选做题

1．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n，则存在m，n∈R，对任意的x∈R有(　 )

A．f(x)<f(x＋2 022)

B．2 022f(f(x))≥2 022x

C．f(x2－1)<f(x－2 022)

D．f()≥f

解析：选D　对于A，当x＋2 022≤－ 时，有f(x)>f(x＋2 022)，故A错误；对于B，f(f(x))为四次函数，y＝2 022x 为指数函数，且是单调递增，当x取很大的实数时，不存在m，n∈R，使得2 022f(f(x))≥2 022x，故B错误；对于C，要使f(x2－1)<f(x－2 022)，必须满足<，也即恒有|x2－1|<|x－2 022|，当x＝100时，就有|x2－1|>|x－2 022|，故C错误；对于D，×(x2＋2 022)≥2 022，即≥，此时，若m≥0，则－≤0 ，那么对任意的x∈R，f()≥f恒成立，故D正确；故选D.

2.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－等于(　 )

A．0  B．1  C.  D.2

解析：选A　由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，∴M，N，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.

3．对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．

甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；

乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；

丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；

丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．

你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．

解析：选丙．画出y2＝x2－ax－1的草图，如图所示，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1)．∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝，将点代入y2＝x2－ax－1＝0，解得a＝0(舍去)或a＝.

答案：