第二章　§2.8　对数与对数函数-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.8　对数与对数函数
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ， ＝ (a>0，且a≠1，N>0).(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①lga(MN)＝ ；② ＝ ；③lgaMn＝ (n∈R).(3)对数换底公式：lgab＝ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
3.对数函数的图象与性质
4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.
1.lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)， ＝ lgab(a>0，且a≠1，b>0)2.如图，给出4个对数函数的图象.
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.(　　)(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(　　)(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)是增函数.(　　)
(4)函数y＝lg2x与y＝ 的图象关于x轴对称.(　　)
2.(2023·雅安模拟)已知xlg32＝1，则4x等于
所以4x＝ ＝9.
3.函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)的图象大致为
f(x)＝lga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝lga|－x|＋1＝lga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgax＋1(a>1)单调递增.结合选项可知选A.
4.已知函数y＝lga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是 .
对于函数y＝lga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝lga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).
由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.
(2)计算：lg535＋ － －lg514＝ .
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练1　(1)若a>0， ＝ ，则 等于A.2 B.3 C.4 D.5
所以 ＝3.
(2)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝ .
原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，由函数图象可知－1综上，0(2)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝|lg3x|，若a画出f(x)＝|lg3x|的图象如图所示，因为a故a＋4b的取值范围是(5，＋∞).
对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
跟踪训练2　(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝ (a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是
(2)(2023·德州模拟)若函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是
根据函数f(x)＝lga(x＋b)的图象，可得0题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较对数式的大小例3　(2023·西安模拟)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则关于a，b，c的大小关系，下列说法正确的是A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>c
∵a＝lg 0.20，c＝lg64>0，
∴bb>a.
命题点2　解对数方程、不等式例4　(2023·中山模拟)设实数a>0，则“2a>2”是“ >0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
由2a>2，可得a>1.
命题点3　对数函数的性质及应用例5　(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)
由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，
又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.
跟踪训练3　(1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝lg2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，0]
由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以a∈[2，＋∞).
2.若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(lg28)等于A.－1 B.1 C.2 D.3
依题意，函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，所以f(x)＝lg3x，于是得f(lg28)＝lg3(lg28)＝lg33＝1.
3.若 <0，则x1与x2的关系正确的是A.0因为 <0，所以lg0.8x24.已知函数f(x)＝lga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是A.a>0，b<－1B.a>0，－1因为函数f(x)＝lga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－15.(2024·通化模拟)设a＝lg0.14，b＝lg504，则A.2ab<2(a＋b)因为a＝lg0.14，b＝lg504，所以a<0，b>0，所以ab<0，
所以2ab6.(2023·本溪模拟)若不等式(x－1)20且a≠1)在x∈(1,2]内恒成立，则实数a的取值范围为
若00，故(x－1)21，此时x∈(1,2]，lgax>0，而(x－1)2>0，令f(x)＝lgax，g(x)＝(x－1)2，画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x－1)21，解得a∈(1,2).
二、多项选择题7.(2024·永州模拟)若10a＝5，10b＝20，则A.a＋b＝4 B.b－a＝lg 4C.ab<2(lg 5)2 D.b－a>lg 5
由10a＝5，10b＝20，得a＝lg 5，b＝lg 20，则a＋b＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A错误；
ab＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 48.(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)＝ 若x1设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0对于B，由图象可知|lg2x3|＝|lg2x4|，且0所以－lg2x3＝lg2x4，即lg2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知lg2x4∈(0,4)，则1三、填空题9.计算：lg 25＋ lg 8－lg227×lg32＋ ＝ .
原式＝2lg 5＋2lg 2－3lg23×lg32＋3＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2.
10.(2023·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x>y时，f(x)对于函数f(x)＝ ，
f(x)＋f(y)＝ ＝f(xy)，
且当x>y时，f(x)11.设p>0，q>0，若lg4p＝lg6q＝lg9(2p＋q)，则 ＝ .
令lg4p＝lg6q＝lg9(2p＋q)＝k，则p＝4k，q＝6k,2p＋q＝9k，所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k，
12.(2023·龙岩模拟)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝lg3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 .
因为f(x)＝lg3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数，所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立，所以m－2>0，即m>2，由局部奇函数的定义，存在x∈[－2,2]，使得lg3(－x＋m)＝－lg3(x＋m)，即lg3(－x＋m)＋lg3(x＋m)＝lg3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2,2]，使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1，又因为x∈[－2,2]，所以x2＋1∈[1,5]，
所以m2∈[1,5]，
四、解答题13.已知f(x)＝.
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
当a＝2时，f(x)＝ ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
令u＝x2－ax＋5a，∵y＝ 为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
14.(2024·株洲模拟)已知函数f(x)＝lg9(9x＋1)－kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值；
因为9x＋1>0，所以f(x)的定义域为R，又因为f(x)是偶函数，所以∀x∈R，有f(－x)＝f(x)，即lg9(9－x＋1)＋kx＝lg9(9x＋1)－kx对∀x∈R恒成立，
即x(2k－1)＝0对∀x∈R恒成立，
令t＝3x，且t>0，
即方程m＝t2－t＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g(t)＝t2－t＋1，则y＝m与y＝g(t)在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，
15.已知正实数x，y，z满足lg2x＝lg3y＝lg5z≠0，则A.x>y>zB.x令lg2x＝lg3y＝lg5z＝t≠0，则x＝2t，y＝3t，z＝5t，令g(k)＝kt，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，
则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；
注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，
所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确.
16.(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝lgax－( )x－lga2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
则y＝lgat与y＝at的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝lgat与y＝at互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝lgat，y＝at的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，
所以当a＝ 时，y＝lgat和y＝at只有一个交点，如图1；
当a> 时，y＝lgat和y＝at无交点，如图2；