精品解析：福建省莆田第十五中学、二十四中学2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高二上学期数学期末试卷

一､选择题（每题5分，共60分）

1. 若数列满足，，（且），则等于（    ）

A.  B. 2 C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题设求得数列的前几项，然后得到数列的周期，进而求得结果.

【详解】因为，，（且），

所以，， ，

，，，，

所以数列是周期为的周期数列，

所以，

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：

（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；

（2）根据规律判断出数列的周期；

（3）根据所求的数列的周期，求得，进而求得结果.

2. 经过点，倾斜角为的直线方程为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线斜率，再由点斜式求得直线的方程．

【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，

由点斜式求得直线的方程为，即，

故选D．

【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．

3. 已知点到直线的距离为，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.

【详解】解：由题意得．

解得或．，．

故选：C.

4. 从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（    ）

A. 12 B. 18 C. 24 D. 36

【答案】C

【解析】

【分析】根据排列组合公式和奇数的特点即可得到答案.

【详解】从1，3，5中取两个数有种方法，从2，4中取一个数有种方法，

而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，

故奇数的个数为.

故选：C.

5. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【详解】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝2

6. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是

A.

B.

C. 或

D. 或

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：设抛物线为，代入点，解得，则抛物线方程为；设抛物线为，代入点，解得，则抛物线方程为；故D为正确答案．

考点：1、抛物线方程的求法；2、分类讨论的思想．

7. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

A. 1800 B. 3600 C. 4320 D. 5040

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：先排除了舞蹈节目以外的5个节目，共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以共有种.

考点：排列组合.

8. 双曲线C两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.

【详解】2a＝

所以，又c＝6，

所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.

所以双曲线的标准方程为

故选：B

9. 设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列选项正确的是（    ）

A. 圆A的半径为2

B. 圆A截y轴所得的弦长为2

C. 圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1

D. 圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离

【答案】ABC

【解析】

【分析】将圆化为标准式即可判断A，根据弦长求法判断B，求出圆心到直线的距离进而判断C，计算两圆的圆心距进而判断D.

【详解】把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以该圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A项正确；

圆心到y轴的距离为1，该圆A截y轴所得的弦长为，B项正确；

圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C项正确；

圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据圆心距为，而半径和为：2+3=5，所以圆A与圆B外切，D项错误.

故选：ABC.

10. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 与是的最大值

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，根据求和的定义，可得，，结合等差数列公差的定义，可得答案；

对于B，根据数列的通项公式，结合公差的取值范围，可得数列的单调性，易得答案；

对于C，利用作差法，结合等差数列中等差中项的推论，可得答案；

对于D，根据A的结论，可得答案.

【详解】对于A，由，则，即，由，则，即，因为，所以，故A正确；

对于B，由是等差数列，则可设，由A可知，是单调递减的数列，易知当时，；由，则，当时，，故和是的最大值，所以B正确；

对于C，，则，故C错误；

对于D，由A可知D正确.

故选：ABD.

11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ）

A. 若任意选择三门课程，选法总数为

B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为

C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－

D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误；

对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余五门中选，有种选法；

若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误；

对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确；

对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法；

②选化学，不选物理，有种选法；

③物理与化学都选，有种选法.

故总数，故D错误

故选：ABD

12. 已知双曲线上的点到和的距离之差的绝对值为，则下列结论正确的是（    ）

A. 的标准方程为 B. 的渐近线方程为

C. 的焦点到渐近线的距离为 D. 圆与恰有两个公共点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据定义求出双曲线的标准方程，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程，可判断B选项的正误；求出的焦点到渐近线的距离，可判断C选项的正误；联立圆与曲线的方程，求出交点个数，可判断D选项的正误.

【详解】根据双曲线的定义，，，得，，所以的方程为，A正确；

双曲线C的渐近线为，B错误；

双曲线的一个焦点为，到渐近线的距离为，C正确；

联立，解得，圆与恰有个公共点，D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义、渐近线、以及圆与双曲线的公共点个数问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

二､填空题（每题5分，共20分）

13. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.

【答案】9

【解析】

【分析】根据分类加法计数原理即可得解.

【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，

若从第二层取书，则有3种不同的取法，

若从第三次取书，则有2种不同的取法，

所以不同的取法有种.

故答案为：9.

14. 设等比数列满足.则通项公式________．

【答案】

【解析】

【分析】把数列的项，分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.

【详解】设的公比为，则.

由已知得，解得，，所以的通项公式为.

故答案为:

15. 双曲线的渐近线方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的方程求得，进而的其渐近线的方程.

【详解】由双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

16. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.

【答案】.

【解析】

【分析】设圆心坐标为,根据、两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值.从而算出圆的圆心和半径，可得圆的方程.

【详解】设圆心坐标为,点和在圆上，
，即，解之得，可得圆心为.
半径,圆的方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查圆的方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，建立方程，属于基础题.

三､解答题（17题10分､其余每题12分，共70分.）

17. （1）设是等差数列，且，，求的通项公式；

（2）设是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和.

【答案】（1）；（2）127

【解析】

【分析】（1）设等差数列的公差为，利用已知条件求出，可得答案；

（2）设等比数列的公比为，由已知条件求出，再由等比数列的求和公式可得答案.

【详解】（1）设等差数列的公差为，，

所以，所以；

（2）设等比数列的公比为，

由，，得，解得，

所以.

18. 求圆在点处的切线方程.

【答案】

【解析】

【分析】根据点在圆上，求得可得，得到切线斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】由圆的方程，又由点在圆上，

可得，所以切线斜率，

所以切线方程为，即.

19. 已知.

求：（1）；

（2）；

（3）；

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

【分析】赋值法

（1）令得：；令可得.

（2）令,再两式相减可得.

（3）令,再两式相加可得.

【详解】解 （1）令，则 ①

令，则②

又，则

所以

（2）两式相减，得

（3）两式相加，得

【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用

(1)形如， ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可．

(2)对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．

(3)若，则展开式中各项系数之和为．

20. 已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程.

【答案】

【解析】

【分析】求出双曲线的焦点坐标，即抛物线的焦点坐标，即可得解.

【详解】因为双曲线的焦点为.

设抛物线方程为，则，所以，

所以抛物线方程为x.

21. 已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用求得数列通项公式.

（2）利用分组求和法求得数列的前项和.

【详解】（1）当时，；

当时，，当时，上式也符合.

故数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，记数列的前项和为，

则．

记，

则，

．

故数列的前项和．

22. 已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.

【答案】

【解析】

【分析】根据定点坐标得到值，再根据离心率和关系即可求出，最后联立直线方程解出交点横坐标，最后利用弦长公式即可得到答案.

【详解】由已知得，且，

即，所以，即，

解得，所以椭圆方程为.

将与联立，

消去得，

所以，

所以所求弦长.