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2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）
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2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（ ）A． B． C．2 D．-【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案.【详解】等差数列中，，则 ，所以，则 故选：A2．已知函数可导，且，（ ）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（ ）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即，故，即，所以，所以，，，所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：.故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即可.【详解】由函数的导函数的图像知，A：时，，函数单调递减，故A正确；B：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；C：时，，函数单调递增，故C错误；D：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）A．2 B． C．1 D．0.5【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可【详解】解：因为在等差数列中，，所以，故选：C7．下列结论正确的是（ ）A．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要条件D．满足的数列为等比数列【答案】B【分析】根据等差数列前n项和性质可以判定B选项正确，利用特例判定其余选项错误.【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n项和，设，当时，，，，则，，不是等比数列，所以A选项错误；若为等差数列，是的前n项和，设公差为，则，，，所以，，是等差数列，所以B选项正确；为等差数列，考虑，，，所以C选项错误；考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D选项错误.故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n为（ ）A．17 B．16 C．8 D．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】由，，得，，，所以数列是周期为3的数列，所以，．故选：BD．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是A． B．C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为为数列的前项和，且，所以，因此，当时，，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；因此，故A正确；又，所以，故B错误；因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知函数，则（ ）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．【详解】解：因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（ ）A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为C．“提丢斯数列”的前31项和为D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，，符合该式，当时，不符合上式，故，故A错误；，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；令，即，得，又，故不超过20的有8项，故D错误.故选：BC.三、填空题13．在等比数列中，，则_____.【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论.【详解】在等比数列中，，则，故答案为：2514．曲线上的点到直线的最短距离是_______.【答案】【详解】时到直线的距离最短，最短距离为.15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.【答案】－.【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．16．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果.【详解】，令，得或，∴在和上为增函数，在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值，极小值为而， ∴在上的最小值为，对于任意都有成立，得的范围.故答案为：.【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解.【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，得，解得q＝3，∴的通项为；（2）由已知可得，∴，.18．已知函数（1）求的极值；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得，令，可得或则当时，，当时，在，上为增函数，在上为减函数则,(2)，由题意可知恒成立，即时，，当且仅当时等号成立故则【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项的和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解.（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，∴当时，，当时，，对时，等号也成立，故，.（2）＝＝，故前n项和＝20．已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．【详解】（1）由题知函数的定义域为，对任意恒成立，当且仅当时，，所以在上单调递增.又，所以函数有且仅有1个零点.（2）因为，所以.由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.令，又，且函数图象的对称轴为，所以只需解得，即实数的取值范围为.21．已知数列的前n项和，，且满足.(1)求；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得；（2）由，利用错位相减即可求和.【详解】（1）由题意可得.....①，当时，......②，①﹣②得，，可得，又，，综上，时，，当时，＝，∴，∴，又满足，综上，.（2）数列的前n项和，.......①，.........②①﹣②可得∴.22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，①求；②若，且在抛物线上，求实数的值.【答案】（1）；（2）①5；②.【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）双曲线方程可化为，因此，所以双曲线的一个焦点是，于是抛物线的焦点为，则，故抛物线的方程为．（2）①依题意，由可得，设，由韦达定理知，②设，则由，得，由于D在抛物线上，因此，可得．【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 200极大值极小值
2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（ ）A． B． C．2 D．-【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案.【详解】等差数列中，，则 ，所以，则 故选：A2．已知函数可导，且，（ ）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（ ）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即，故，即，所以，所以，，，所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：.故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即可.【详解】由函数的导函数的图像知，A：时，，函数单调递减，故A正确；B：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；C：时，，函数单调递增，故C错误；D：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）A．2 B． C．1 D．0.5【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可【详解】解：因为在等差数列中，，所以，故选：C7．下列结论正确的是（ ）A．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要条件D．满足的数列为等比数列【答案】B【分析】根据等差数列前n项和性质可以判定B选项正确，利用特例判定其余选项错误.【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n项和，设，当时，，，，则，，不是等比数列，所以A选项错误；若为等差数列，是的前n项和，设公差为，则，，，所以，，是等差数列，所以B选项正确；为等差数列，考虑，，，所以C选项错误；考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D选项错误.故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n为（ ）A．17 B．16 C．8 D．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】由，，得，，，所以数列是周期为3的数列，所以，．故选：BD．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是A． B．C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为为数列的前项和，且，所以，因此，当时，，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；因此，故A正确；又，所以，故B错误；因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知函数，则（ ）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．【详解】解：因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（ ）A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为C．“提丢斯数列”的前31项和为D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，，符合该式，当时，不符合上式，故，故A错误；，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；令，即，得，又，故不超过20的有8项，故D错误.故选：BC.三、填空题13．在等比数列中，，则_____.【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论.【详解】在等比数列中，，则，故答案为：2514．曲线上的点到直线的最短距离是_______.【答案】【详解】时到直线的距离最短，最短距离为.15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.【答案】－.【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．16．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果.【详解】，令，得或，∴在和上为增函数，在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值，极小值为而， ∴在上的最小值为，对于任意都有成立，得的范围.故答案为：.【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解.【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，得，解得q＝3，∴的通项为；（2）由已知可得，∴，.18．已知函数（1）求的极值；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得，令，可得或则当时，，当时，在，上为增函数，在上为减函数则,(2)，由题意可知恒成立，即时，，当且仅当时等号成立故则【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项的和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解.（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，∴当时，，当时，，对时，等号也成立，故，.（2）＝＝，故前n项和＝20．已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．【详解】（1）由题知函数的定义域为，对任意恒成立，当且仅当时，，所以在上单调递增.又，所以函数有且仅有1个零点.（2）因为，所以.由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.令，又，且函数图象的对称轴为，所以只需解得，即实数的取值范围为.21．已知数列的前n项和，，且满足.(1)求；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得；（2）由，利用错位相减即可求和.【详解】（1）由题意可得.....①，当时，......②，①﹣②得，，可得，又，，综上，时，，当时，＝，∴，∴，又满足，综上，.（2）数列的前n项和，.......①，.........②①﹣②可得∴.22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，①求；②若，且在抛物线上，求实数的值.【答案】（1）；（2）①5；②.【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】（1）双曲线方程可化为，因此，所以双曲线的一个焦点是，于是抛物线的焦点为，则，故抛物线的方程为．（2）①依题意，由可得，设，由韦达定理知，②设，则由，得，由于D在抛物线上，因此，可得．【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 200极大值极小值
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