精品解析：福建省莆田市华侨中学2022-2023学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版）

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莆田华侨中学2022-2023（上）期末考数学试题
试卷满分150分 考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的一般式方程，明确其斜率，令斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】由直线，则该直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，解得.
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. 1 B. 513 C. 512 D. 511
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果.
【详解】令，得，令，得，
所以，
故选：D
3. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（ ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果.
【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四阶共12座.
则从第五阶后共有座.
设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为
由从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列.
所以
所以
所以由，解得或 （舍去）
所以该塔的阶数是
故选：C
4. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题求出圆心和半径，再根据几何关系即求.
【详解】由题知圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，
圆截直线所得弦的长度为4，
，
解得.
故选：C.
5. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先分类：小张或小赵入选，以及小张小赵都入选，再排列，最后根据分类计数原理求结果.
详解：若小张或小赵入选，有选法：
种，
若小张，小赵都入选，有：
种，
可知共有种．
选．
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

6. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
7. 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由离心率求得，求出渐近线方程，写出圆方程后，两方程联立求得交点坐标后，由直线的倾斜角可得结论．
详解】由已知，，，
所以双曲线的渐近线方程为即为，
圆方程为，即，
取渐近线方程，
由，解得或，
不妨设，，
显然轴，又，即的倾斜角为，从而．


故选：B．
8. 已知，，，．设，为数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在等式两边同时除以得，推导出，，结合放缩法可判断B选项；利用的值可判断AD选项；利用的值可判断C选项.
【详解】由以及，可知，，，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边同除得，即，则，
因为，则，
所以当时，，，所以，B对，
因为以及，，则，
，，
，所以，，，，
所以，不满足AD选项，，
不满足C选项，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知正整数满足不等式，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据排列、组合数的计算公式逐一验证选项即可.
【详解】对于选项A：等号左边，等号右边，所以等号左边=等号右边，故A正确；
对于选项B：等号左边，等号右边，所以等号左边等号右边，故B错误；
对于选项C：等号左边，等号右边，所以等号左边=等号右边，故C正确；
对于选项D：等号左边，等号右边，所以等号左边=等号右边，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知圆，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心是，半径是
B. 圆的圆心是，半径是
C. 直线平分成面积相等两部分
D. 过点与圆相切的直线方程是
【答案】ACD
【解析】
【分析】将圆的方程配成标准方程，可判断AB选项，利用过点可判断C选项，将点坐标代入直线方程可得点在线上，再根据圆心到直线的距离可判断直线与圆相切，判断D.
【详解】将圆配方成标准方程为：，
则圆心是，半径是，故选项A正确，选项B错误；
将代入直线成立，即该直线过圆心平分成面积相等两部分，C正确；
点在圆上，即，
将代入中，即，
即经过点P，
圆心到直线的距离为，
由于过圆上一点的圆的切线是唯一的，故过点与圆相切的直线方程是，故选项D正确；
故选：ACD.
11. 设为数列的前项和.若，则（ ）
A. B.
C. D. 数列为递减数列
【答案】CD
【解析】
【分析】根据求出数列的通项公式，进而求出前项和，然后结合选项逐项分析判断即可.
【详解】因为，
当时，，即；
当时，，即，因此，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此，故B错误；
，
所以，，故A错误；
，，，因此，故C正确；
当时，，即，因此数列为递减数列，故D正确；
故选：CD.
12. 已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 存在某条直线，使得
D. 若点，则周长的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由则、两点坐标且在抛物线 上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可．
【详解】由对称性得点在抛物线上，
所以，解得，故A选项正确；
设直线和双曲线交于两点，
设直线方程为，
代入抛物线方程可得：，，
所以，
所以：
故B选项正确；
则，
当且仅当时等号成立，故C错误；
如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线，

过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点坐标为时取等号，故D选项正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：我们处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；
（1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；
（2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；
（3）抛物线定义结合焦点弦公式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为_______
【答案】12
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】解：二项式展开式的通项公式为，
其第5项为，
因为二项式展开式中的第5项是常数项，
所以，解得，
故答案为：12.
14. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．
【答案】36
【解析】
【详解】试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，
考点：排列组合

15. 已知数列满足，则数列的通项公式为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意根据等差数列的前项和可得，再利用构造法结合等差数列的通项即可得解.
【详解】因为，
所以，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以.
故答案为：.
16. 已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为____.
【答案】16
【解析】
【分析】
设出直线方程为，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长，用，代替得弦长，求出，用基本不等式求得最小值．
【详解】由题意抛物线焦点为，
显然直线的斜率都存在且都不为0，设直线方程为，，
由，得，所以，，
，
同理可得．
所以，当且仅当时等号成立．
故答案为：16．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得，然后由弦长公式求得弦长．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；
条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．
问题：已知二项式，若_____填写条件前的序号，
（1）求展开式中含项的系数；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）条件①②：135
（2）
【解析】
【分析】（1）选择：求出各项系数和以及二项式系数和，然后建立方程即可求出的值；选择：求出前三项的二项式系数，然后建立方程求出的值.利用求得的的值求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解；
（2）根据二项式系数的性质即可求解．
【小问1详解】
若选填条件，则由已知可得，解得，
若选填条件，则由已知可得，
整理得，解之得，或（舍）
所以二项式为，
则二项式通项，（，，，，）
当时，，
故展开式中含项的系数是，
【小问2详解】
由（1）得，展开式共项，
二项式系数最大的项为．
18. 等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【答案】（1）或 .
（2）.
【解析】
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
19. 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.
（1）若直线与法向量平行，写出直线的方程；
（2）求面积的最小值；
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程；
（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值；
【小问1详解】
解：由题设直线，
将点代入得，，
故直线；
【小问2详解】
设直线的方程为，
将点代入得，则，
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以的面积最小值为12.
20. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2．
(1)证明：{an}为等比数列；
(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若Tn≥10恒成立，求λ的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)[20,+∞).
【解析】
【分析】(1)由递推公式消去Sn，得an+1与an的关系式，推得等比数列；
(2)求出bn的表达式，利用裂项相消法求出Tn，再转化为恒成立问题解决.
【详解】(1)Sn是数列{an}的前n项和，a1=S1=2，而，
时，，所以，
，，即数列{an}是a1=2，公比q=2的等比数列；
(2)由(1)知，，
，
而Tn≥10，即，显然数列是递减的，
n=1时，，所以，即的取值范围是[20,+∞).
【点睛】(1)给出Sn与an的递推关系，求an，常常是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；
(2)裂项法求和，未被消去的项具有前后对称的特点，不要漏项和添项．
21. 已知抛物线C：，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
（1）若，M的坐标为，求直线l的方程.
（2）若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线方程，根据中点坐标公式列出关系式，解出参数，得到直线方程；
（2）设直线方程，利用直线和抛物线的参数表示各点坐标，最后代入原式化简为定值，即可得证.
【小问1详解】
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为
即，设，
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴，，
∴，即.
∴直线l的方程为.
【小问2详解】
证明如下：
∵抛物线C：，∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设，.
由，得，
∴，.
∴，∴M.
∴MN的方程为.
令，解得，N，
∴，，
∴，为定值.
22. 已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.
【详解】（Ⅰ）由题意，，
即① 又②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设，，，由，
得，
所以，即，
又因为，所以，，
，，
解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.
解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.
直线与的方程分别为：
，，
分别令，得，
而，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.