2022-2023学年福建省莆田市第十五中学、十八中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)
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一、单选题
1.已知直线,则( )
A.直线l的倾斜角为 B.直线l的斜率为
C.直线l的一个方向向量为 D.直线l的一个法向量为
【答案】C
【分析】将直线化为点斜式,得到斜率即可判断.
【详解】将直线化为,
直线l的斜率为,故B不正确;
因为倾斜角的范围为,所以直线l的倾斜角为,故A不正确;
因为直线l的一个方向向量为(1,k)=,所以C正确;D不正确.
故选:C
2.一道竞赛题,,,三人可解出的概率依次为,,,若三人独立解答,则仅有1人解出的概率为( )
A. B.
C. D.1
【答案】B
【解析】根据题意,只有1人解出,则分三类,一是A解出而其余两人没有解出,一是B解出而其余两人没有解出,一是C解出而其余两人没有解出,每一类用独立事件概率的乘法公式求解,然后这三类用互斥事件概率的加法求解.
【详解】.
故选:B
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率,还考查了理解辨析问题的能力,属于基础题.
3.已知直线:,则以下四个情况中,可以使的图象如下图所示的为( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】D
【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距,再根据图象列不等式可求得结果.
【详解】由,当时,,
当时,,
由图可知,
所以当时,,当时,,
所以ABC错误,D正确,
故选:D
4.在等比数列中,,则( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案】A
【分析】根据求出,再根据可得答案.
【详解】设等比数列的公比为,
由,可得q=2,所以.
故选:A.
5.公差不为的等差数列中,,则的值不可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由等差数列下标和性质可得,由此可得所有可能的取值,进而确定所有可能的结果.
【详解】由等差数列性质知:若,则,
又,,或或或或或或或或或,
可能的值为或或或或.
故选:C.
6.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事,其中,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马,若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹,且双方各自随机选1匹马进行1场比赛,则田忌的马获胜的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题先将所有的基本事件都列出来共9种,再将田忌的马获胜的事件选出共3种,最后计算概率即可.
【详解】解:设田忌的上等马为,中等马为:,下等马为,齐王的上等马为,中等马为:,下等马为,双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为:,,,,,,,,,共9种;其中田忌的马获胜的事件为:,,,共3种,所以田忌的马获胜的概率为:.
故选:C.
【点睛】本题考查古典概型,是基础题.
7.已知直线是圆的一条对称轴,过点向圆作切线,切点为,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题设过圆心,即可得,再应用切线长的求法求.
【详解】由题设圆心在直线上,
所以,即,故,而圆的半径为,
所以.
故选:A
8.在数列中,,,,,则( )
A.0 B.1 C. D.
【答案】A
【分析】根据,可得,则数列是以6为周期的周期数列,再求出,即可得解.
【详解】解:由,得,
两式相除可得,
所以数列是以6为周期的周期数列,
又,
所以.
故选:A.
二、多选题
9.某社区开展“防疫知识竞赛”,甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【分析】令且A、B相互独立,从正反两个角度,利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖,进而求出其概率即可.
【详解】记A为“甲获得一等奖”,B为“乙获得一等奖”,则且A、B相互独立.
从正面考虑,甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为,为三个互斥事件,
所以;
从反面考虑,事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”,即事件,易得,
所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为,
综上,A、D正确.
故选:AD
10.已知等比数列{}中,满足,,则( )
A.数列{}是等比数列 B.数列是递增数列
C.数列是等差数列 D.数列{}中,仍成等比数列
【答案】AC
【分析】先利用等比数列通项公式求出,从而得到,利用等比数列的定义判断A选项;得到,判断出为递减数列;求出,利用等差数列定义判断C选项,计算出,利用得到不成等比数列.
【详解】由题意得:,所以,则,
所以数列{}是等比数列,A正确;
,所以,且,故数列是递减数列,B错误;
,所以,C正确;
,
因为,故数列{}中,不成等比数列,D错误.
故选:AC
11.设直线与,则( )
A.当时, B.当时,
C.当时,l、n间的距离为 D.坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B;由直线平行求参数a,再代入验证,进而应用平行线距离公式求距离,由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值,即可判断C、D.
【详解】A:时,,,易知,正确;
B:时,,,则,故不成立,错误;
C:时,,则,可得或,
当时,,,两线重合,排除;
所以,由A知:它们的距离,正确;
D:坐标原点到直线n的距离,故时,正确.
故选:ACD
12.设有一组圆,下列命题正确的是( ).
A.不论如何变化,圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆有且只有一个
D.所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误,将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程,通过方程的有解与否可判断B、C的正误,
【详解】圆心坐标为,在直线上,A正确;
令,化简得,
∵,∴,无实数根,∴B正确;
由,化简得,
∵,有两不等实根,∴经过点的圆有两个,C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为,D正确.
故选:ABD.
【点睛】本题考查动圆的性质,注意动圆中隐含的确定关系,另外判断动圆是否过确定的点,可转化为方程是否有解来讨论,本题属于中档题.
三、填空题
13.过点且与直线平行的直线一般式方程是_____.
【答案】
【分析】设所求直线为,代入点即可得答案.
【详解】设所求直线为,
将代入得:
故所求直线方程为.
故答案为:
14.若点为圆上的一个动点,则点到直线距离的最大值为________.
【答案】7
【分析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心,半径,
点C到直线的距离,
所以圆C上点P到直线l距离的最大值为.
故答案为:7
15.设袋子中装有3个红球,2个黄球,1个篮球,规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个篮球得3分,现从该袋子中任取(有放回,且每球取得的机会均等)2个球,则取出此球所得分数之和为3分的概率为__.
【答案】.
【详解】得分数之和为3分,可能是先取出一个红球,再取出一个黄球,或者先取出一个黄球再取出一个红球,由条件知取出红球的概率为,取出黄球的概率为,故得三分的概率为
故答案为.
四、解答题
16.某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:
等级
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频率
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(Ⅰ)在抽取的个零件中,等级为的恰有个,求;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为和的所有零件中,任意抽取个,求抽取的个零
件等级恰好相同的概率.
【答案】(1),;(2).
【详解】试题分析:(1)频率为频数除以样本容量,且一组数据中频率之和为1;(2)先求出等级为3和5的各自数量,然后枚举法求概率.
试题解析:(1)由题意知样本容量为20,因为等级为5的有2个,所以,故 .
(2)等级为3的有0.15×20=3个,设为,等级为5的有2个,设为
由枚举得,共有,,10种取法,抽取的2个产品等级恰好相同的取法有,,4种,故概率为.
【解析】频率、古典概型概率计算.
17.已知两条直线,.
(1)求证:直线过定点,并求出该定点的坐标;
(2)若,不重合,且垂直于同一条直线,将垂足分别记为A,B,求;
(3)若,直线l与垂直,且________,求直线l的方程.
从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中,使满兄条件的直线l有且仅有一条,并作答.
条件①:直线l过坐标原点;
条件②:坐标原点到直线l的距离为1;
条件③:直线l与交点的横坐标为2.
【答案】(1)证明见解析;定点的坐标;(2);(3)答案见解析.
【分析】(1)利用恒等式可得直线所过的定点;
(2)由条件可知两直线平行,代入两平行线间距离公式计算即求;
(3)由垂直的直线斜率乘积为,可得直线l的斜率,再结合所选条件即求.
【详解】(1)证明:由直线变形得:,
该式为恒等式,故
所以,,
∴直线过定点,该定点的坐标为.
(2)因为,不重合,且垂直于同一条直线,
所以,,
所以有,
从而.
即:
,即:,
所以.
(3)∵,直线l与垂直,
∴直线,
可得直线的斜率为2,则直线l的斜率为,
选①:直线l过坐标原点.
故直线l的方程为:即;
选②:坐标原点到直线l的距离为1,
设直线l的方程为,
由,得,
所以直线l的方程为:;
选③:直线l与交点的横坐标为2,
又,可知交点为,
所以直线l的方程为:,即.
18.设是等差数列,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记的前项和为,求当为何值时,取得最小值.
(3)求数列的前项和的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】(1)根据等比数列定义,结合等差数列通项公式可构造方程求得的公差,进而可求得;
(2)利用等差数列求和公式可表示出,根据的二次函数性可确定取得最小值时的取值;
(3)由等差数列定义可证得数列是以为首项,为公差的等差数列,由等差数列求和公式可求得结果.
【详解】(1),,成等比数列,,
设等差数列的公差为,则,解得:,
.
(2)由(1)得:,
当或时,取得最小值.
(3),,
是以为首项,为公差的等差数列,.
19.矩形ABCD的两条对角线相交于点,AB边所在直线的方程为,点在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程;
(3)若点P为矩形ABCD外接圆上一动点,求点与点P距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据直线关系,建立斜率方程,求得对应斜率,利用点斜式公式,可得答案;
(2)根据矩形外接圆的性质,利用直线求交点,求得圆的半径和圆心,可得答案;
(3)先明确点与圆的位置关系,利用该点与圆心的距离与半径,可得答案.
【详解】(1)AD边所在直线与AB边所在直线垂直,所以,因为AB边所在直线的方程为,即,所以,又因为点在AD边所在直线上,所以AD边所在直线的方程为:,化简为:
(2)AB边所在直线与AD边所在直线相交于点A,联立得:,解得:,即,所以矩形ABCD外接圆的半径,所以矩形ABCD外接圆的方程为:
(3)因为.,点T在圆外,所以最小值为=
20.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与该圆相交于两点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点的直线l垂直平分弦?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在实数,理由见解析.
【解析】(1)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.
(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0得到答案.
(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(1,0),计算得到答案.
【详解】(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,
所以 ,即|4m﹣29|=25.因为m为整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=25.
(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,
整理得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,
即12a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().
(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,
l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2﹣4a=0,解得.由于,
故存在实数,使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.
21.已知数列的前n项和公式为.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)令,求数列的前n项和;
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)利用之间的关系,求得的关系,根据等比数列的定义,即可证明;
(2)根据(1)中所求,求得,对进行分类讨论,结合等比数列的前项和公式,即可求得结果.
【详解】(1)数列的前n项和,,
则当时,,即,
当时,,解得,
所以数列是以首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知,,,,
当n为偶数时,,
于是得,
当n为奇数时,,
所以.
五、双空题
22.已知等比数列的前n项和,那么______,______.
【答案】 11
【分析】第一空,根据等比数列的前n项和公式,可求得数列的通项公式,即可求得答案;第二空,说明数列是等比数列,首项为1,公比为4,根据等比数列的前n项和公式求得答案.
【详解】当时,,
当时,,
当时符合上式,所以,
所以;
因为,所以当时,,又,
所以数列是等比数列,首项为1,公比为4,
所以.
故答案为:11;
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