黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案

哈师大附中2020级高一下期中考试

数学试题

总分150  时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数满足，则的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．

2．设复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

3．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．  B．平面

C．平面  D．与是异面直线

4．设向量，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

5．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（    ）

A．若，则  B．若，则

C．若，则  D．若，则

6．已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

7．一个正方体的展开图如图所示，、、、为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，直线与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

8．函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分．

9．设为复数，则下列命题中正确的是（    ）

A．  B．

C．若，则 D．若，则

10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的表面积为 B．圆锥的表面积为

C．圆锥的表面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
11．设向量，，则（    ）

A．

B．

C．与向量方向相同的单位向量的坐标为

D．向量在向量上的投影向量坐标为

12．在中，角，，的对边分别为，，，且，，，下列四个命题中正确的是（    ）

A．为直角三角形 B．的面积为

C．  D．的周长为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．欧拉公式（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为第______象限．

14．若的内角，，所对的边，，满足，且，则的值为______．

15．如图，在四面体中作截面，其中，，，则______．

16．在长方体中，，，是线段上的一动点，则与所成角的最大值为______；圆锥的高为2，顶点位于上底面中心，底面内切与于长方体底面，则该圆锥的侧面积为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；

（2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______．

18．（12分）

2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，有我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，展实力，壮军威。在一次飞行模拟训练中，地面塔台观测到一架直升机以的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，求直升机飞行的高度为多少千米．（结果保留根号）

19．（12分）

如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求异面直线与所成角的余弦值．

20．（12分）

已知在中，．

（1）求角的大小；

（2）若，且，求面积的最大值．

21．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，．

（1）求角的大小；

（2）若点为边延长线上一点，且，，的面积为，求的余弦值．

22．（12分）

如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，是棱的中点，且，，分别为，的中点．

（1）求证：；

（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置，若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

二、填空题

13．二 14． 15． 16．、

三、解答题

17．（10分）

（1）周长为

（2）五边形

18（12分）

解：在中，作，则，，

由正弦定理得：

所以，

在直角三角形中，．

所以，直升机飞行的高度为千米．

19．（12分）

（1）证明：连接，，连接，则是的中点

平面

（2）证明：

平面

平面

（3）由（1）可知为异面直线与所成的角或补角

又，

在中，由余弦定理得：

所以，异面直线与所成的角的余弦值为．

20（12分）

（1）解：

所以，

因为，，则

所以，，即：．

（2）由两边平方得，

即：

所以，

又因为

当且仅当时，的最大值为．

（2）另解：由可知，点是靠近点的三等分点

过点作，交的延长线于点，则，，

在中，由余弦定理得：，

即：，

所以，，

所以，，

又因为，

当且仅当时，的最大值为．

21．（12分）

（1）解：因为，又余弦定理得

所以，，即：

（2）由已知，则，

所以，．

22．（12分）

（1）证明：连接，交于点，交于点，连接

平面

（2）过点，作，交于点，连接

平面

平面

平面平面

平面

所以，，点靠近点的三等分点处．