2019-2020学年辽宁省沈阳二十中高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省沈阳二十中高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，，0，1，，那么等于（    ）

A．，1， B．， C．， D．，，

【答案】A

【解析】由全集，求出的补集，再结合集合的交集的运算，即可求解.

【详解】

由题意，全集，集合，可得

又由，所以则.

故选：.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集、补集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系可判断正确的关系式，从而可得正确的选项.

【详解】

解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，不正确，应该为；

②，正确；

③，正确；

④不含有元素，因此；

⑤与的元素形式不一样，因此不正确；

⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确.

综上只有：②，③正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查元素与集合的关系判断、集合与集合的关系判断，前者是属于不属于的关系，后者是包含不包含的关系，本题属于容易题.

3．已知集合，集合，则集合的子集个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有个.

【详解】

由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.

【点睛】

本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.

4．已知命题，，则命题的否定为（   ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可.

【详解】

全称命题“，”的否定为特称命题，故命题的否定为“，”.

故答案为A.

【点睛】

这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件.

5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由集合包含关系的定义即可得解.

【详解】

集合，，，

，即实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】

本题考查了由集合间的关系求参数的取值范围，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．关于的不等式的解集为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将不等式化为，等价于，解出即可．

【详解】

由原式得且，解集为，故选B．

【点睛】

本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：

；；

；.

7．集合，，，，则两集合，的关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对集合中的分奇数、偶数讨论，然后根据元素的关系判断集合的关系．

【详解】

由题意，为偶数时，设，，

当为奇数时，设，则，

，

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合关系的判断，利用集合元素的关系判断集合关系是解决本题的关键．

8．条件p：关于x的不等式的解集为R；条件q：，则p是q的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先由二次函数的性质求出条件p中a的范围，再根据充分必要条件的定义，即可判断．

【详解】

由题意，条件p：关于x的不等式的解集为R，

当时，恒成立，

当时，则，解得，

综上所述p中a的取值范围为，

所以则p是q的必要不充分条件，

故选B．

【点睛】

本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件判定问题，其中解答中熟练应用二次函数图象与性质求解得出命题恒成立时，实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．

9．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用不等式的性质推出结果即可．

【详解】

，可得，可得，

并且，可得，

.，

可得：.

故选：.

【点睛】

本题考查基本不等式以及不等式的性质的应用，考查学生计算能力，属于基础题．

10．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．，

C． D．

【答案】D

【解析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范围．

【详解】

正实数，满足，

，

当且仅当即且时取最小值8，

恒成立，，

解关于的不等式可得

故选：．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．

11．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为(  )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．

【详解】

∵，∴由解集为，得，解得．

故选C．

【点睛】

本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．

二、多选题

12．已知四个函数中函数最小值为2的函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】当时，，判断选项A错误；由对勾函数的性质可知，当时，函数有最小值2，判断选项B正确；由基本不等式得到，但等号无法取到，判断选项C错误；，当且仅当即时等号成立，判断选项D正确.

【详解】

解：A选项：当时，，所以选项A错误；

B选项，由绝对值的性质，只需考虑时函数的最值即可，由对勾函数的性质可知，当时，函数有最小值2，所以选项B正确；

C选项，，当且仅当即时等号成立，等号无法取到，则函数的最小值大于2，所以选项C错误；

D选项，，当且仅当即时等号成立，所以选项D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题主要考查函数最值的求解，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,是中档题.

三、填空题

13．已知实数、，满足，则的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】由题意得出，，由已知条件可得出，再结合不等式的性质可得出的取值范围.

【详解】

由题意得出，，且，.

由不等式的可加性可得出，，，

因此，的取值范围是，故答案为.

【点睛】

本题考查利用不等式的性质求代数式的取值范围，求解时利用不等式的可加性来进行计算，但也要注意题中的一些隐含条件，考查计算能力，属于中等题.

14．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.

【详解】

令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴，解得0<a<3.

故填

【点睛】

本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.

15．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是_________________．

【答案】

【解析】当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故实数的取值范围是．

16．已知正数，满足，则的最小值为________.

【答案】

【解析】由，可得且，则，利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】

由，可得且，

则

，（当且仅当即时取“=”）.

故的最小值为.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值；

③等号取得的条件.

四、解答题

17．设全集U是实数集R，集合，集合．

Ⅰ求集合A，集合B；

Ⅱ求，，．

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】Ⅰ解不等式能求出集合A和集合B．

Ⅱ利用交集、并集、补集定义能求出，和．

【详解】

Ⅰ由全集U是实数集R，

集合，

集合

Ⅱ，

，

或，

【点睛】

本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，其中解答中正确求解集合A、B，合理运用集合的交集、并集和补集的运算是解答的关键，注重考查了考查运算求解能力，属于基础题．

18．已知命题，，，命题，，若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.

【答案】或

【解析】分别求得，均为真命题时，的范围，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，以及二次方程有解的条件，再分真假和假真，求得的范围.

【详解】

若真，，，，即的最小值，由，可得，

若真，，，可得，解得或.

若命题，有且只有一个是真命题，

由真假，可得，解得；

由假真，可得，解得，

综上可得，的取值范围是或.

【点睛】

本题考查命题的真假判断和运用，同时考查不等式恒成立和方程有解的条件，考查转化思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题.

19．已知函数（）.

（1）解关于的不等式；

（2）若，令（），求函数的最小值.

【答案】（1）当时，的解集为：，当时，的解集为：，当时，的解集为：；（2）.

【解析】（1）由解得或，在分、、三种情况讨论；

（2）求出的解析式，然后利用基本不等式，再判断等号成立，最后求出函数的最小值；

【详解】

（1）由即，解得或，

当时，的解集为：；

当时，的解集为：；

当时，的解集为：

（2）当时，则

则

当且仅当，即时取等号，

故函数的最小值为，

【点睛】

本题考查求解一元二次不等式，利用基本不等式求最值，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题.

20．已知函数

（1）若关于的不等式的解集为，求的值；

（2）若对任意，，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）1；（2），.

【解析】（1）可化为，然后根据解集，由根与系数的关系可得关于的方程，解出；

（2）当时，恒成立，符合题意；当，时，则只需成立，利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】

（1）不等式可化为，

不等式的解集为，

和是的两个实根，

由根与系数的关系有，，

经检验满足题意，的值为1.

（2）对任意，，恒成立，

对任意的，恒成立，

当时，恒成立，符合题意；

当，时，要使恒成立，

则只需成立，

而，当且仅当时取等号，

，，

的取值范围为，.

【点睛】

本题考查了不等式的解集与方程根的关系和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，转化思想和方程思想，属中档题.

21．已知函数，M为不等式的解集．

（I）求M；

（II）证明：当a，时，．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】（I）利用绝对值的几何意义，分，，三种情况讨论求解.

（Ⅱ）根据时，有，即，然后利用不等式的基本性质得到求解.

【详解】

（I）当时，，若，则；

当时，恒成立；

当时，，若，则．

综上可得，．

（Ⅱ）当时，有，即，   

则，

则，

即，证毕．

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的证明，还考查了分类讨论思想和逻辑推理能力，属于中档题.

22．设．

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式（R）．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案．

（2）不等式化为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．

【详解】

（1）由题意，不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立．

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得．

（2）不等式等价于．

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为．

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．