2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设集合，．若，则       (　  　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵ 集合，，

        ∴是方程的解，即

        ∴

        ∴，故选C

2．如果集合中只有一个元素，则a的值是（    ）

A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定

【答案】C

【解析】利用与，结合集合元素个数，求解即可．

【详解】

解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；

当时，集合中只有一个元素，可得，解得．

则的值是0或4．

故选：．

【点睛】

本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．

3．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由可得，再对集合分类讨论，即可得答案；

【详解】

①若，则，解得；

②若，则应满足：，解得；

综上得．

故选：B．

【点睛】

本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值，考查运算求解能力，求解时注意等号能否取到.

4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．

【详解】

由题意，则，当，可得“”；

若“”能推出存在集合使得，，

为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的充分必要的条件．

故选．

【点睛】

本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．

5．下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．，，则

【答案】B

【解析】利用不等式的性质以及举反例逐一判断即可.

【详解】

对于A，若，，当，时，则，故A不正确；

对于B，若，则，两边同时乘以，可得，故B正确；

对于C，若，当时，则，故C错误；

对于D，，，当，，则，故D错误.

故选：B

【点睛】

本题考查了不等式的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.

6．设a，b，c为正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不修要条件

【答案】B

【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：，，为正数，

当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，

若，则，即，

即，即，成立，即必要性成立，

则“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．

7．“|x+1|+|x﹣2|5”是“﹣2x3”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】【详解】

由|x+1|+|x−2|5，

x2时,化为2x−15,解得2x3：−1x<2时，化为x+1−(x−2)5，化为：35，因此−1x＜2；x＜−1时，化为−x−1−x+25，解得−2x＜−1.

综上可得：−2x3.

∴“|x+1|+|x−2|5”是“−2x3”的充要条件．

本题选择C选项.

点睛：绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

8．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】

，即，即，等价于，解得或，

则，，

，，

故选：B．

【点睛】

本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了分式不等式和函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.

9．已知，：对于任意的恒成立，成立是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】对于，；对于，当时，成立.当时，，解得.故.所以是的充分不必要条件.

10．若“使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为命题“，使得成立”为假命题，所以该命题的否定“，使得恒成立成立”，即对于恒成立，而（当且仅当，即时取等号），即；故选A.

11．已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用换元法令，将不等式问题转化为一元二次函数的恒成立问题，即可得答案；

【详解】

由题意可知：不等式对于，恒成立，

即：，对于，恒成立，

令，则，∴在上恒成立，

∵，∴，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查换元法及一元二次函数恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定.

12．若正数、满足：则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知条件得出，由可得出，将代入所求代数式并化简得出，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.

【详解】

正数、满足，则，，

，，可得，

所以，，

当且仅当时，即当时取等号．

因此，的最小值为.

故选：A．

【点睛】

本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题

13．若集合，，且，则的取值的集合为______．

【答案】

【解析】求出集合，由可分、、三种情况讨论，可求得实数的值.

【详解】

依题意得，.

所以集合可为、或．

①当时，即方程无实根，所以，符合题意；

②当时，则是方程的根，所以，符合题意；

③当时，则是方程的根，所以，符合题意；

综上所得，或或，所以的取值的集合为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.

14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】分和两种情况讨论，在时检验即可，在时，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

由题意可知，关于的不等式的解集为.

当时，可得，解得，不合乎题意；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.

15．给出下列四个命题：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3），则；

（4）若，则．

其中正确命题的是               ．（填所有正确命题的序号）

【答案】（1）（2）（4）

【解析】【详解】

（1）若，，则，正确；

（2）若，可得，则，正确；

（3）中时不等式不成立；

（4）若，，则，正确．

故正确的只有（1）（2）（4）.

16．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：

①；②；③；④

以0为聚点的集合有______．

【答案】②③

【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，

①对于某个，比如，

此时对任意的，都有或者，

也就是说不可能，从而0不是的聚点；

②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），

使得，∴0是集合的聚点；

③集合中的元素是极限为0的数列，

对于任意的，存在，使，

∴0是集合的聚点；

④中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得的，

∴0不是集合的聚点．

故答案为：②③．

【点睛】

本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题.

三、解答题

17．设全集U=R，集合A={x|1≤x＜4}，B={x|2a≤x＜3-a}．

（1）若a=-2，求B∩A，B∩(∁UA)；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

【答案】（1）B∩A=[1，4），B∩(∁UA)= [-4,1)∪[4,5)；（2） .

【解析】(1)利用补集的定义求出的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论是否是空集，列出不等式组求解即可.

【详解】

（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁UA={x|x＜1或x≥4}，

∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），

B∩(∁UA)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).

（2）A∪B=A⇔B⊆A，

①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,

②B≠∅时，则有，∴,

综上所述，所求a的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.

18．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由集合描述分别求得，，利用集合的交运算求即可；

（2）根据有解集为的取值范围.

【详解】

（1）由，解得，即；

当时，可化为，

即，解得，即，

∴；

（2），．

∵，∴，解得，

所以的取值范围是．

【点睛】

本题考查了集合，由集合描述求出集合，利用集合的基本运算求交集，根据包含关系求参数范围.

19．设命题：，命题：，

（1）若，求不等式的解集；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；2）.

【解析】（1）当时，不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

（2）分别求得命题的解集，结合是的充分不必要条件，得到是的真子集，列出不等式组，即可求解.

【详解】

（1）由题意，当时，不等式，

即不等式，解得，

不等式的解集．

（2）由命题，即，解得，

即不等式解集为，

命题，即，解得，

所以不等式的解集为，

因为是的充分不必要条件，即是的真子集，所以，解得，

所以实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及利用充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及充分、必要的条件的转化是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

20．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若中有且仅有一个整数，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，通过解不等式可求得集合；

（2）解出集合，对与的大小进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.

【详解】

（1），由得，解得，

因此，；

（2）或，

．

当时，即当时，，

此时中没有整数，不满足条件；

当时，，不满足条件；

当时，，，

要使得中有且仅有一个整数，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查集合的求解，同时也考查了利用交集中的元素求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数．

（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由题意利用二次函数的性质可得，由此求得求得的范围．

（2）由于对于任意，，恒成立，故．利用二次函数的性质，分类讨论求得的范围．

（3）问题等价于，再由、（1）都大于零，求得的范围．

【详解】

（1）若对于任意,恒成立，

则有，解得．

（2）由于对于任意，恒成立，故．

又函数的图象的对称轴方程为，

当时，，求得无解；

当时，，求得；

当时，，求得．

综上可得，的范围为．

（3）若对于任意，恒成立，等价于，

∴，求得，即的范围为．

【点睛】

本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．

22．已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）分三种情况讨论即可

（2）条件“存在，使得成立”等价于与的值域有交集，然后分别求出它们的值域即可.

【详解】

（1）因为，

故由得：或或，

解得原不等式解集为：.

（2）由（1）可知的值域为，显然的值域为.

依题意得：，

所以实数的取值范围为.

【点睛】

1.解含有绝对值的不等式时一般要分类讨论.

2. “存在，使得成立”等价于与的值域有交集.