2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷：数学（苏教版2019A卷）（全解全析）

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

一、单选题

1．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（    ）

A. 3 B. 2 C. 5 D. 9

【答案】D

【详解】，解得：

故选：D

2．已知复数，其中为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】B

【详解】由题意，，故

故选：B

3．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（    ）

A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 5.5

【答案】D

【详解】由题设，，故60百分位数为.

故选：D

4．下列命题正确的是（    ）

（1）已知平面，和直线，，若，，，，则；

（2）已知平面和直线，，若，，则；

（3）已知平面，和直线，，且m，n异面直线，，.若直线l满足，，，，则与相交，且交线平行于；

（4）在三棱锥中，，，，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角形ABC的垂心.

A. （2）（3） B. （2）（3）（4） C. （3）（4） D. （1）（2）

【答案】C

【解析】（1）中只有当是相交直线时才有，否则与可能相交，（1）错；

（2）中直线可能平行，也可能是异面直线，（2）错；

（3）平面与不可能平行（否则有），因此与相交，设交线为，如图，

则由线面垂直的性质得，，

过直线上任一点作直线，则是相交直线，设直线确定平面，

由得，，

因此由线面垂直的判定定理得，，所以，（3）正确；

（4）如图，

因为，，，平面，所以平面，又平面，所以，

是在底面内的射影，即平面，又平面，所以，

因为，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是的垂心，（4）正确．

故选：C．

5．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ）

A  B.

C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量的模为

【答案】D

【详解】对于A，，则，A错误；

对于B，，则不平行，B错误；

对于C，，又，则，C错误；

对于D，在上的投影向量的模为，D正确.

故选：D.

6．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，

所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：.

故选：D.

7．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【详解】由已知得，

∴．

将三棱柱置于长方体中，如下图所示，

此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径为，

∴三棱柱的外接球的体积为，

故选：B

8．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为（    ）

A 1 B. 3 C. 2 D. 4

【答案】C

【详解】，

，

即，

即，

则，

整理得，

∴，

当且仅当时取等号，

，

则．

故选：C．

二、多选题

9．按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（    ）

A. 第一枚正面朝上的概率是

B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的

C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的

D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的

【答案】BD

【详解】对A，第一枚正面朝上的概率是，故A错误；

对B，第一枚正面朝上的概率，三枚硬币朝上的面相同的概率，又，因为，故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故B正确；

对C，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故C错误；

对D，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故D正确；

故选：BD

10．已知正六边形的中心为，则（    ）

A.  B.

C. 存在， D.

【答案】ACD

【详解】对A，因为六边形，所以

所以，故A正确；

对B，，故B不正确；

对C，以为原点，建立坐标系，则设正六边形的边长为，则

，

，，所以存在，使得，所以C正确.

对D，设正六边形的边长为，，

，故D正确.

故选：ACD.

11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是等腰三角形

B. 若，则满足条件的三角形有且只有一个

C. 若不是直角三角形，则

D. 若，则为钝角三角形

【答案】BC

【详解】对于A：由正弦定理得，则，

则中或，故A错误；

对于B：由，则，

可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；

对于C：由不是直角三角形且，

则，

所以，故C正确；

对于D，即，

为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误；

故选：BC

12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（    ）

A. 平面平面

B. 平面

C. 异面直线与所成角的取值范围是

D. 三棱锥的体积不变

【答案】ABD

【详解】对于A，连接，如图，

因为在正方体中，平面，

又平面，所以，

因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面，

因为平面，所以，同理可得，

因为与为平面内两条相交直线，可得平面，

又平面，从而平面平面，故A正确；

. 

对于B，连接，，如图，

因为，，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面，同理平面，

又、为平面内两条相交直线，所以平面平面，

因为平面，所以平面，故B正确；

对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角，

因为，所以为等边三角形，

当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值；

当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值；

所以与所成角的范围是，故C错误；

对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等，

即点到面平面的距离不变，不妨设为，则，

所以三棱锥的体积不变，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．若数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为18，则数据x1，x2，…，x10的方差为__________．

【答案】2

【详解】设数据x1，x2，…，x10的方差为，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为，根据条件可知，得.

故答案为：2

14．已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【详解】由，得，即，

两边平方，得，即.

故选：A.

15．已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为_______；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为_____.

【答案】    ①.     ②.

【详解】由题意，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为2，故其体积为：.

将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为一个底面半径和高均为2的圆柱，中间挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥后所形成的组合体.

圆柱的表面积为：，

圆锥的底面积为，

圆锥的侧面积为：，

所以该几何体的表面积为：.

故答案为：；.

16．已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________.

【答案】6

【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点，

，

同理，

，

，

，

又，

即，，

所以，即，

所以，

故答案为：6．

四、解答题

17．已知复数，.

（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；

（2）若复数为纯虚数，求的虚部.

【答案】（1）    （2）

【详解】（1），

在复平面内对应的点在第二象限，则

.

所以实数的取值范围为；

（2）.

为纯虚数，则且，

所以，

此时，所以的虚部为.

18．已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求角．

【答案】（1）    （2）

【详解】（1）因为，所以，又

所以

所以

（2）因为，为锐角，所以，则，

因为，所以．

又为锐角，，所以，

故

，

因为为锐角，所以．

19．如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析.

【详解】（1）因为点，分别为棱，的中点，所以.

又平面，平面,

所以平面.

（2）因为，点为棱的中点，所以.

因为平面平面，所以平面.

又平面，所以.

20．为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．

（1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；

（2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．

【答案】（1）该班级人数为40人，女生成绩在[110，120)的人数为13人    （2）

【详解】（1）设该班共有名学生，则，解得，

由频率分布直方图知在的人数为，

由折线图知男生在的人数为3，

所以女生在人数为，

∴该班共有40名学生，其中13名女生的成绩在[110，120)；

（2）成绩在130分及以上的人数为（人）

其中男生为4人，所以女生2人．

记“恰有1名男生和1名女生被选中”为事件，记这6人分别为，，，，，；其中男生为，，，；女生为，．

则样本空间 ， ，

所以．

∴恰有1名男生和1名女生被选中的概率为；

综上，全部共40名学生，成绩在[110，120)的女生人数为13，恰有1名男生和1名女生被选中的概率为.

21．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，．

（1）求A和a的大小；

（2）若为锐角三角形，求的面积S的取值范围．

【答案】（1），；    （2）.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得：

所以，

所以，

因为中，所以，

因为，所以，

因为，由余弦定理得：，解得，

综上，，．

（2）由（1）知：，，

由正弦定理得：，．

因为为锐角三角形，故，得．

从而的面积

，

又，，

所以，从而的面积的取值范围为．

22．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别是线段，上的动点，且.

（1）若二面角为，求的长；

（2）当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围.

【答案】（1）；    （2）.

【详解】（1）取中点，过点作，交于点，连结.

因为底面是边长为的菱形，，

所以为等边三角形.

由直四棱柱，可得平面，

平面，，

，，,

所以和全等，可得.

因为为中点，所以.

又因为，

所以为二面角的平面角，即.

在平面中，，，

所以，则有，

所以.

在中，，，

则，

解得.

（2）因为平面，所以，

因为三棱锥的体积为，

所以，解得，所以为中点.

因为平面，所以.

在中，，，

所以.

设到平面的距离为，

在中，，，

所以，

所以.

因为，所以，解得.

在中，由余弦定理得，

所以.

设与平面所成角为.

所以.

令，则

因为，所以，所以，

所以与平面所成角正弦的取值范围是