2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（1）

这是一份2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（1），共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（1）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知为虚数单位，则复数的虚部为　　
A． B． C．1010 D．1011
2．（5分）已知，，，若，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
4．（5分）已知，，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数，若存在实数，，，，当时满足，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
6．（5分）在四棱锥中，，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为　　
A． B． C． D．1
7．（5分）在锐角中，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
8．（5分）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为　　
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（5分）对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是　　
A． B． C． D．
11．（5分）随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则　　
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
12．（5分）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱上的动点，平面．下列说法正确的有　　
A．异面直线与可能垂直
B．直线与平面不可能垂直
C．与平面所成角的正弦值的范围为，
D．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）直线是函数图象的一条对称轴，给出的一个可能的值为 　　．
14．（5分）已知在平行四边形中，，，，为平行四边形所在平面内一点，且，若，则的最大值为 　　．
15．（5分）设的内角，，所对的边长分别为，，且，则　　．
16．（5分）已知，，，则的最小值为 　　．
四、解答题：本大题共5小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，点满足与．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
18．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

19．（12分）平面内有四边形，，且，，，是的中点．
（1）试用，表示；
（2）若上有点，和的交点为，已知，求和．
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式 ______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
21．（12分）面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为（单位：．
（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于的有3个．若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率；
（2）若新机床生产了50个零件，零件直径有且仅有和两种，且数目相等，从中随机取出5个，求至少有一个零件直径大于的概率．
请从22和23两题中任选一题进行解答．（本小题满分12分）
22．（12分）已知向量，，，，函数，，，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
23．已知函数，．
（1）若，记的解集为，求函数为自然对数的底数）的值域；
（2）当时，讨论函数的零点个数．

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期末数学检测试卷（1）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知为虚数单位，则复数的虚部为　　
A． B． C．1010 D．1011
【分析】利用错位相减法求和，即可得到答案．
【解答】解：因为，
所以，
两式相减可得，，
所以，
所以复数的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算，涉及了错位相减法的运用以及复数基本概念的理解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
2．（5分）已知，，，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】先得的值，再由二倍角公式得和的值，由两角和的正弦公式，推出，进而得和，然后利用两角和的正弦公式，求出的值，最后根据，的取值范围，即可得解．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，即，
又，且，
，，
，
，，且，，，，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查三角恒等变换的应用，熟练掌握二倍角公式、两角和的正弦公式与同角三角函数的平方关系等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．（5分）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知，，，设，
根据把、用表示，然后可求得的取值范围．
【解答】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
，，，，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，系数较大，
当时取得最小值1，当时取得最大值．
的取值范围是，．
故选：．

【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于中档题．
4．（5分）已知，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据二倍角公式，以及三角函数的同角公式，将原式化简为，，再运用公式，分别可得，
，，的值，将公式化简为，依次代入各值，即可求解．
【解答】解：，，，
，
，
，，
，即，
，
，，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键，属于中档题．
5．（5分）已知函数，若存在实数，，，，当时满足，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【分析】画出分段函数的图象，求得，，令，作出直线，通过图象观察，可得的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得，，再由二次函数在递增，即可得到所求范围．
【解答】解：画出函数的图象，

令，
作出直线，
由时，（3）；时，（9）．
由图象可得，当时，直线和曲线有四个交点．
由图象可得，，
则，即为，可得，
由的图象关于直线对称，可得，
则在递增，
即有．
故选：．
【点评】本题考查分段函数的图象及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
6．（5分）在四棱锥中，，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为　　
A． B． C． D．1
【分析】取中点，可得平面．设，过作交于，说明点到平面的距离．设直线与平面所成角的大小为，可得则，然后转化利用均值不等式求解即可．
【解答】解：取中点，连，，，设与交于，连．
在等腰梯形中，由且，
故四边形为菱形，．
又，且为中点，，又，
平面．
过作交于，由平面，故．
又，平面
设，，故，
又，故点到平面的距离．
设直线与平面所成角的大小为．
则．
当且仅当，即时取等号，
故直线与面所成角的正弦值的最大值为．
故选：．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（5分）在锐角中，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得，的关系，结合锐角三角形条件可求，的范围，然后结合函数单调性可求．
【解答】解：因为及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
由题意得，解得，
故，，
则，
令，则，，在，上单调递增，
又（1），，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式，还考查了同角基本关系及函数单调性的应用，属于中档题．
8．（5分）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】最终仅一人获得最高得票包含两种情况：①得3票，②得2票，分别求出相应的概率，由此能求出最终仅一人获得最高得票的概率．
【解答】解：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，
最终仅一人获得最高得票包含两种情况：
①得3票，概率为：，
②得2标，概率为：，
则最终仅一人获得最高得票的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（5分）对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】运用三角函数的两角和公式，可判断、选项，设，接近0时，可知接近1，接近0，即可判断选项，结合函数在第一象限递减的结论，即可判断选项．
【解答】解：，
又，为锐角，
，，，都在之间，
，，
，故选项正确，选项错误，
当，接近0时，可知接近1，接近0，故选项错误，
，为锐角，
，
，
，
，故选项正确，
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的性质，以及两角和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
10．（5分）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则下列选项中不正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得恒成立，只需△即可，由此能求出是等腰三角形，．
【解答】解：设，则，过点作的垂线，垂足为，
在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，
，
，
于是恒成立，
整理得恒成立，
只需△即可，于是，
因此我们得到，即是的中点，故是等腰三角形，
所以．
故选：．

【点评】本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力．
11．（5分）随着高三毕业日期的逐渐临近，有个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则　　
A．当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为
B．当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为
C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为
D．记个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为，则
【分析】考虑个同学时的情况，若个同学都拿到其他同学的卡片，则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，由此能推导出结论．
【解答】解：考虑个同学时的情况，
若个同学都拿到其他同学的卡片，
则第个同学可以与其中任何一个交换卡片，
若个同学只有一个拿到自己的卡片，则第个同学必须与该同学交换卡片，
，故正确；
，
，，，，
代入数据可得，
当时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为，故正确；
当时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为，故错误；
甲和乙恰好互换了卡片的概率为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算能力等数学核心素养，属于基础题．
12．（5分）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，点为侧棱上的动点，平面．下列说法正确的有　　
A．异面直线与可能垂直
B．直线与平面不可能垂直
C．与平面所成角的正弦值的范围为，
D．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
【分析】根据空间直线和平面垂直的位置关系以及线面角的定义分别进行求解证明即可．
【解答】解：在平面内作，交于点
在正四棱柱中，
因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以．故说法正确；
．，不可能平行，故与不可能垂直，故说法正确；
．如图：

连接，，等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，，，
当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
则，，
则，，故错误，
．如图：

由题意知为的中点，连接，，，，，，
在直角三角形中，，
同理，由题意知，所以，
所以，
在正四棱柱中，因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，
又平面，
所以，
同理，
又平面，平面，，
所以平面，
所以平面即平面，
三角形即平面截正四棱柱所得截面的多边形，其周长为，故正确，
综上正确的，
故选：．



【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间位置关系的判断，空间角的计算，综合性较强，运算量较大，是个难题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）直线是函数图象的一条对称轴，给出的一个可能的值为 　，．　．
【分析】利用是函数的对称轴，列出关系式，即可得到结果．
【解答】解：直线是函数图象的一条对称轴，
所以，，
，，
故答案为：，．
【点评】本题考查是客户端对称性的应用，考查计算能力，是基础题．
14．（5分）已知在平行四边形中，，，，为平行四边形所在平面内一点，且，若，则的最大值为 　3　．
【分析】利用数量积定义及其运算性质得到，由不等式的性质得，然后求出的最大值，从而得到的最大值．
【解答】解：，，
，，，，
，
，，，
当且仅当时取等号，
，
，
的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数量积定义及其运算性质，不等式的性质，平行四边形的性质，属于中档题．
15．（5分）设的内角，，所对的边长分别为，，且，则　4　．
【分析】先根据正弦定理得到，再由两角和与差的正弦公式进行化简可得到，然后转化为正切的形式可得到答案．
【解答】解：由及正弦定理可得
，即，
即，
即，因此，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用和切化弦的基本应用．三角函数的公式比较多，要注意公式的记忆和熟练应用．
16．（5分）已知，，，则的最小值为 　　．
【分析】由和的位置是等价的，所以当时取得最值，求解即可．
【解答】解：将和交换位置，发现已知的等式和要求解的式子是相同的，
则当时，取得最小值，
当时，由，可得，
所以当时，取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、转化方法，解题的关键是发现和的等价关系，将问题简单化处理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，点满足与．
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
【分析】（1）直接利用向量的数量积以及余弦定理求得，进而求解结论，
（2）结合余弦定理以及基本不等式即可求解结论．
【解答】解：（1）因为，所以，
即，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
（2）因为，
所以，即，
，当且仅当时等号成立，
因为，所以的最大值为．
【点评】本题主要考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题目．
18．（12分）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

【分析】（1）在上取点，使得，连接，，，，由已知证明四边形和四边形都是平行四边形，可得，且，，且，进一步证明四边形为平行四边形，得到，且，结合，且，可得，且，则四边形为平行四边形，从而得到点在平面内；
（2）在长方体中，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，，，，
在长方体中，有，且．
又，，，．
四边形和四边形都是平行四边形．
，且，，且．
又在长方体中，有，且，
且，则四边形为平行四边形，
，且，
又，且，，且，
则四边形为平行四边形，
点在平面内；
（2）解：在长方体中，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，
，1，，，0，，，1，，，1，，
则，，．
设平面的一个法向量为．
则，取，得；
设平面的一个法向量为．
则，取，得．
．
设二面角为，则．
二面角的正弦值为．

【点评】本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
19．（12分）平面内有四边形，，且，，，是的中点．
（1）试用，表示；
（2）若上有点，和的交点为，已知，求和．
【分析】（1）运用向量的中点表示，及向量的数乘，即可得到向量；
（2）设，，运用向量的三角形法则，及平面向量的基本定理，得到，的方程，解得即可．
【解答】解：（1）由于是的中点，
则
，
（2）设，则

设，
由于不共线，则有
，
解方程组，得，．
故，．
【点评】本题考查向量共线的定理和平面向量基本定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
20．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式 ______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【分析】先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期性可求；
若选择①，由有解，即，结合正弦函数的性质可求；
若选择②，由恒成立，即，结合正弦函数的性质可求．
【解答】（Ⅰ）解：因为

．
所以函数的最小正周期．
因为函数的单调增区间为，
所以，
解得．
所以函数数的单调增区间为，
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最大值，且最大值为．
所以．
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【点评】本题主要考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．
21．（12分）面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为（单位：．
（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于的有3个．若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率；
（2）若新机床生产了50个零件，零件直径有且仅有和两种，且数目相等，从中随机取出5个，求至少有一个零件直径大于的概率．
【分析】（1）的概率为，利用超几何分布能求出结果．
（2）至少有一个零件直径大于的对立事件是取到的4个零件都是的零件，利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个零件直径大于的概率．
【解答】解：（1）的概率为：
．
（2）至少有一个零件直径大于的对立事件是取到的4个零件都是的零件，
至少有一个零件直径大于的概率为：
．
【点评】本题考查概率的求法，考查超几何分布、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
请从22和23两题中任选一题进行解答．（本小题满分12分）
22．（12分）已知向量，，，，函数，，，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
【解答】解：（1），，，
当时，，
则；
（2），，
，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍，
②当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得，
③当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍，
综上若的最小值为，则实数．
（3）令，得或，
方程或在，上有四个不同的实根，
则，得，则，
即实数的取值范围是．
【点评】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
23．已知函数，．
（1）若，记的解集为，求函数为自然对数的底数）的值域；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
【分析】（1）当时，求出的解集，函数，在求出复合函数的值域．
（2），利用分类讨论思想，求出函数的零点个数．
【解答】解：（1）当时，的解集为，
函数，
，
当时，令，则，，
所以的值域为，．
（2），
①因为（1），
所以1为一个零点，
（1），
因为，
所以（1），
所以（1）（1），
所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点，
③当时，，在上无零点，
所以在上的零点个数是在上零点个数，
因为，
（1），
△，
若△，即时，函数无零点，即在上无零点，
若△，即时，函数的零点为，即在上有零点，
若△，即时，，
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
综上所述，当时，有1个零点，
当时，有2个零点，
当时，有3个零点．
【点评】本题考查函数值，函数的值域的求法，函数的零点个数的讨论，函数的性质，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:43:38；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394