2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，是虚数单位，若，且，则　　

A．或1 B．或 C．或2 D．或

2．（5分）（2014秋•武汉校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　

A．2 B． C． D．

3．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）若复数满足是虚数单位），则在复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形，，分别在边，，上）边长为多少？在求得正方形的边后，可进一步求得的正切值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则　　

A． B． C．3 D．4

8．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，，，则的最大值为　　

A． B． C．1 D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．

9．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是　　

A．在复平面内对应的点位于第二象限 

B． 

C．的实部为 

D．的虚部为

10．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）欧拉公式（其中是虚数单位，是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的　　

A．复数对应的点位于第一象限 

B．复数模长等于 

C．为纯虚数 

D．

11．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）下列说法中正确的是　　

A．在中，若，则为钝角三角形 

B．已知非零向量，，若，则与反向共线且 

C．若，则存在唯一实数使得 

D．若，，分别表示，的面积，则

12．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的是　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为 

C．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为 

D．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为

三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）平面向量，，若，则　　．

14．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知向量，，且，则　　．

15．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，为中边上一点，若，，，若使的个数有且仅有两个，则线段的值可以为 　　．

16．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知边长为2的正三角形，现沿高线翻折而形成四面体，且使得二面角的平面角为，则点到面的距离为 　　；此时四面体外接球的表面积为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知直线平面，直线平面，求证：．

18．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．

（1）若，，求函数的值域；

（2）设，，若，求的值．

19．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，且，点为的中点．

（1）若点在棱上，直线平面，证明：点为的中点；

（2）证明：直线平面．

20．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．

（1）若，，若函数有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若在圆内接四边形中，，，，求的值．

21．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．

在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足_____．

（1）求的值；

（2）若点在上，且，，，求．

22．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图在三棱柱中，侧面为菱形，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，，．

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，求三棱锥的体积．

2020-2021学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，是虚数单位，若，且，则　　

A．或1 B．或 C．或2 D．或

【解答】解：由，且，

得，

解得．

故选：．

2．（5分）（2014秋•武汉校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　

A．2 B． C． D．

【解答】解：由于是边长为2的正三角形，

则

．

故选：．

3．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）若复数满足是虚数单位），则在复平面内对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：．

复数对应点坐标为，，在第二象限，

故选：．

4．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：直四棱柱中，底面为矩形，，，为的中点，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，2，，，1，，，2，，，0，，

，1，，，0，，

设异面直线与所成角为，

则，

异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

5．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线为，高为，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，

所以，解得，，

故，

所以该圆锥的体积为．

故选：．

6．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形，，分别在边，，上）边长为多少？在求得正方形的边后，可进一步求得的正切值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设正方形的边长为，则，．

由三角形相似得，即，解得．

因为，，

所以．

故选：．

7．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则　　

A． B． C．3 D．4

【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，

在边长为3的正方形中，点在线段上，且，

可得，，，，，

则，，，，．

故选：．

8．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知，，，则的最大值为　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：，，，

，

，即，

，即，

化简整理，可得，当且，

即，等号成立，取得最大值．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．

9．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是　　

A．在复平面内对应的点位于第二象限 

B． 

C．的实部为 

D．的虚部为

【解答】解：由，在复平面内对应的点关于轴对称，且，得，，

所以，

所以在复平面内对应的点位于第四象限，所以选项错误；

，所以选项正确；

的实部为，所以选项正确；

的虚部为，所以不正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）欧拉公式（其中是虚数单位，是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的　　

A．复数对应的点位于第一象限 

B．复数模长等于 

C．为纯虚数 

D．

【解答】解：复数，由，可得3为第二象限的角，则，，

所以复数对应的点位于第二象限，故错误；

复数模长为，故正确；

是实数，故错误；

，故正确．

故选：．

11．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）下列说法中正确的是　　

A．在中，若，则为钝角三角形 

B．已知非零向量，，若，则与反向共线且 

C．若，则存在唯一实数使得 

D．若，，分别表示，的面积，则

【解答】解：，

，

为钝角，故选项正确，

非零向量，，，可得与反向共线且，故选项正确，

若，且时，则有无数个，使得，故选项错误，

设，，可得为的重心，

设，，，

，，，

，

，

，故选项正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的是　　

A．三棱锥的体积为定值 

B．当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为 

C．当点与重合时，三棱锥的外接球的体积为 

D．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为

【解答】解：对于到面的距离，

，故正确；

对于：设到平面的距离，

，

又，

所以，解得，

当为的中点时，也为中点，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为，故不正确；

对于：由长方体几何特征可得平面，

所以，

所以三棱锥的外接球的球心为的中点，

所以半径为，

所以三棱锥的外接球的体积为，故正确；

对于：过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为，

所以，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题5个空，每题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）平面向量，，若，则　　．

【解答】解：，且，

，解得．

故答案为：．

14．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知向量，，且，则　　．

【解答】解：由于，，且，

故有：，

化简得，

则．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图，为中边上一点，若，，，若使的个数有且仅有两个，则线段的值可以为 　3.5　．

【解答】解：在中，利用余弦定理，代入数据，解得．

如图，过作，垂足为，则，所以．

故答案为：3.5．

16．（5分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知边长为2的正三角形，现沿高线翻折而形成四面体，且使得二面角的平面角为，则点到面的距离为 　　；此时四面体外接球的表面积为 　　．

【解答】解：在四面体中，，，所以．所以为等边三角形，且面积为；

因为平面，所以四面体的体积为；

在四面体中，的三边分别为，，所以面积为；

设点到面的距离为，则，解得；

由正弦定理可得的外接圆半径满足，；

因为平面，所以四面体的顶点都在底面半径为，高为的圆柱上．

所以外接球半径满足，表面积为．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知直线平面，直线平面，求证：．

【解答】证明：设为过的平面，且．

，．

直线平面，，

，

．

故．

18．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．

（1）若，，求函数的值域；

（2）设，，若，求的值．

【解答】解：（1），，

，

，，，

，

的值域为．

（2），

，

，，，

，

．

19．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面平面，，且，点为的中点．

（1）若点在棱上，直线平面，证明：点为的中点；

（2）证明：直线平面．

【解答】证明：（1）平面，面，面面，

，而在中，为的中点，在棱上，

为的中点，即得证．

（2）底面为矩形，

，

侧面平面，侧面平面，面，

面，

又面，则，

，，

面，

面，

，

在中，，点为的中点，

，，

面．

20．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数．

（1）若，，若函数有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若在圆内接四边形中，，，，求的值．

【解答】解：（1）函数．

由于，

所以，

当时，

故时，

函数有两个零点，即有两个交点，

则的取值范围为：．

（2）由于（A），

整理得，解得或舍去），

故．

如图所示：

在中，，，利用余弦定理：，解得．

在中，，，，设，

利用余弦定理：，

整理得：，解得或（负值舍去），

故．

21．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）在①，②，③，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．

在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足_____．

（1）求的值；

（2）若点在上，且，，，求．

【解答】解：（1）若选①：

因为，由正弦定理可得，

因为，所以，

联立，解得，，

故．

若选②：

因为，所以，

即，联立，

可得．

若选③：

因为，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以．

（2）由余弦定理可得

，

因为，

所以，即，

则，①

同时，即，②

联立①②可得，解得，

则，

故，则．

22．（12分）（2021春•鼓楼区校级期末）如图在三棱柱中，侧面为菱形，平面平面，直线与平面所成线面角为，且，，．

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，求三棱锥的体积．

【解答】（1）证明：连接，与相交于点，

在中，由余弦定理知，，

化简得，，，

，即，

又平面平面，平面平面，

平面，

，

菱形，，

又，、平面，

平面，

平面，

平面平面．

（2）解：由三棱柱的性质知，，

平面，平面，平面，

点到平面的距离等于点到平面的距离，

平面平面，直线与平面所成线面角为，且，

点到平面的距离，

三棱锥的体积．

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