北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.5 两条直线的交点坐标教案及反思

《两条直线的交点坐标》教案

1．通过联系二元一次方程组的知识点，解决直线交点坐标的相关问题.

2．感受方程思想在解析几何中的运用.

教学重点：两直线交点坐标的求法．

教学难点：结合上一节课的内容，对两条直线的具体位置关系进行判断．

一、新课导入

知识回顾：上节课我们学习了两条不重合直线平行与垂直的条件，一起回顾一下.

∥

想一想：若两条不重合直线不平行，那么它们的交点坐标怎样求呢？

设计意图：本节课的核心内容是两条直线的交点坐标的求解方法，这个内容其实在初中已经有所铺垫，稍微有点基础的学生都已经掌握了求交点的方法——联立方程组，所以在方法讲解上并不需要花费太多的篇幅，直入主题更好．

二、新知探究

问题1：若两条直线相交，它们的交点应该满足什么条件？

答案：假设两条不重合的直线，交于点P

因为点P在直线上，所以它的坐标必定满足直线的方程

同理，它的坐标也必定会满足直线的方程

因此我们联立，的方程，通过解方程组即可求出交点坐标.

对于两条不重合的直线和

步骤一：利用斜率k判断两条直线是否相交

步骤二：解方程组

得到交点坐标

设计意图：这个环节的解题方法难度并不大，因为学生初中接触过了，所以快速带过，直接进入例题环节，让学生马上运用会更加好.

三、应用举例

例1：求下列各组直线的交点坐标：

（1）        

（2）      

（3）          

解：（1）由

解得

即交点坐标为(-1,1)

（2）由

解得

即交点坐标为(-1,-1)

（3）由

解得

即交点坐标为(-1,-1)

例2：判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标.

（1）        

（2）      

（3）            

解：（1）变形可得        

易知两直线平行.

（2）变形可得  

易知两直线相交

由

解得

即交点坐标为(1,-1)

（3）变形可得

易知两直线相交

由

解得

即交点坐标为(4,-4)

例3：已知A（1，4），B（-2，-1），C（4，1）是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条中线交于一点.

解：易得三条边中点的坐标分别是

利用两点式分别求出三条中线的方程分别为

由

解得

即交点P坐标为 (1,

因为，所以点P满足中线CE所在直线方程，即点P在中线CE所在直线

所以△ABC三条中线交于一点

四、课堂练习

1.判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标.

（1）        

（2）      

（3）        

解：（1）变形可得                

易知两直线相交.

由

解得

即交点坐标为(, )

（2）变形可得      

易知两直线平行

（3）变形可得            

易知两直线相交

由

解得

即交点坐标为(2,-1)

2. 已知直线的倾斜角为45°．

（1）求；

（2）若直线与直线平行，且在轴上的截距为-2，求直线与直线的交点坐标．

解：（1）因为直线的斜率为，

所以

故

（2）依题意可得直线的方程为，

由

解得

故所求交点坐标为（4，2）

3. 已知直线，设直线，的交点为P．

（1）求P的坐标；

（2）若直线过点P且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．

解：（1）联立方程

解得P（-1，-1）

（2）∵直线在两坐标轴上的截距相等，

∴直线的斜率为-1或经过原点，

当直线过原点时，∵直线l过点P，

∴的方程为，

当直线斜率为-1时，∵直线过点P，

∴的方程为

综上所述，直线的方程为或．

五、课堂小结

对于两条不重合的直线和

解方程组

即可得到交点坐标

六、布置作业

教材P20 练习第1题，P25  A组第6题．