北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直教学设计

《两条直线的平行与垂直》教案

1．通过倾斜角与直线方程中参数的联系，推断出两直线平行与垂直的条件.

2．感受利用代数计算解决几何问题的思维方法.

教学重点：两直线平行与垂直的条件．

教学难点：判断两直线的位置关系．

一、新课导入

知识回顾：同学们，我们前面学习了直线方程的斜截式，一起回忆一下它的相关内容.

其中表示直线的斜率，也就是倾斜角的正切值.

表示直线在轴上的截距.

想一想：两条不同的直线的特殊位置关系有平行和垂直，那么我们如何通过直线方程判断两条直线的位置关系呢？

设计意图：本节课的核心内容是两条直线的平行与垂直的判定方法，而主要是通过斜截式中的斜率k进行判断的，所以一开始先带领学生回顾y=kx+b的相关内容作为知识铺垫，随即开始进行知识的探究．

二、新知探究

问题1：观察图中三组平行直线，思考两条直线方程会有什么相同点？

答案：显然，两条不同的直线相互平行，它们的倾斜角大小相等.

若反映在直线方程中，就是斜率相等.

则对于两条不重合的直线和（其中）

∥

若两条直线的斜率都不存在，说明它们都是平行于轴的直线.

问题2：类似的，能否用斜率判断两条直线是否垂直？请大家小组讨论一下.

答案：如图，设两条直线的斜率为

分别是这两条直线的一个方向向量

则两条直线垂直的充要条件是，所以，即

对于两条不重合的直线和

设计意图：我们这个环节的推导难度并不大，可以充分发挥学生自主学习的能力，让他们去自主探究两条直线平行与垂直的条件，可以通过引导的方式让学生往斜率方向上思考，这样能更好地加深学生对于知识点的印象.

三、应用举例

例1：判断下列各组直线是否平行，并说明理由

（1）        

（2）    

（3）         

解：（1）设两条直线的斜率分别为，在轴上截距分别为，易知，且，所以∥

（2）设两条直线的斜率分别为，在轴上截距分别为

把方程变形为：

易知，且，所以∥

（3）易知两条直线都垂直于轴且截距不同，故∥

例2：求经过点，且平行于直线的直线方程.

解：直线化为

设所求直线方程为

因为所求直线与已知直线平行，故

所求直线方程为

即

例3：判断下列各组直线是否垂直，并说明理由

（1）        

（2）    

（3）         

解：（1）设两条直线的斜率分别为

所以⊥

（2）设两条直线的斜率分别为

则

所以⊥

（3）易知∥轴，∥轴，所以⊥

例4：求经过点，且垂直于直线的直线方程.

解：直线化为

设所求直线方程为

因为所求直线与已知直线垂直，故

所求直线方程为

即

四、课堂练习

1. 判断下列各组直线的位置关系（“平行”、“垂直”或“既不平行也不垂直”）

（1）     

（2）      

（3）          

解：（1）设两条直线的斜率分别为，在轴上截距分别为

化为：

所以∥

（2）设两条直线的斜率分别为，在轴上截距分别为

两条直线化为：

所以⊥

（3）设两条直线的斜率分别为，在轴上截距分别为

化为：

所以它们既不平行也不垂直

2. 求经过点，且满足以下条件的直线方程.

（1）平行于直线         （2）垂直于直线

解：设所求直线方程为

（1）直线化为

因为所求直线与已知直线平行，故

所求直线方程为

即

（2）因为所求直线与已知直线垂直，故

所求直线方程为

即

4.已知两条不重合的直线若⊥，求的值

解：设两条直线的斜率分别为

则

因为⊥，故

解得

五、课堂小结

关于两条不重合的直线的位置关系，有以下结论：

∥

六、布置作业

教材P19  练习1、2、3题．