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2024版高考数学一轮复习教材基础练第八章平面解析几何第三节圆的方程直线与圆及圆与圆的位置关系教学课件
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这是一份2024版高考数学一轮复习教材基础练第八章平面解析几何第三节圆的方程直线与圆及圆与圆的位置关系教学课件，共60页。PPT课件主要包含了知识点95圆的方程，教材知识萃取，圆的定义与方程，教材素材变式，方法点拨，常用结论，与圆的切线有关的结论，结论拓展，规律总结，圆系方程等内容，欢迎下载使用。
方法技巧求圆的方程的两种方法
方法技巧求与圆有关的轨迹问题的4种方法
1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
3.几何法：利用圆的几何性质列方程.
4.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
3. 已知点P(1,-2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值范围是A.-2
6. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
求圆的方程的常见方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出圆的方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径(r>0)有关,则可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r的值;②设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值,再验证D2+E2-4F是否大于0.(3)若求的是三角形的外接圆方程,则可以先求三角形两边的垂直平分线的方程,然后联立得方程组,求出方程组的解,方程组的解对应的是外接圆圆心的坐标,最后求半径,即可得外接圆的标准方程.
7. 在平面直角坐标系xOy中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径等于 .
8. 已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)在(1)的条件下,直角边BC的中点M的轨迹方程.
知识点96：直线与圆的位置关系
方法技巧直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
方法技巧求解圆的弦长问题的方法
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
【变式探究】[多选]已知直线y=kx-1与圆C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A,B两点,则AB的长度可能为A.6B.8C.12D.16
有关圆的切线方程的常用结论:(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
【变式探究】[多选][2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为 .
4.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
【变式探究】已知直线l:kx-y-k+3=0,若无论k取何值,直线l与圆(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共点,则r的取值范围是A.[3,5]B.(3,+∞)C.[4,6)D.[5,+∞)
知识点97：圆与圆的位置关系
方法技巧两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.
1. 已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,若这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1}D.{3,-3}
2. 圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有A.1条B.2条C.3条D.4条
【变式探究】变式1 已知圆C:x2+y2-2x-4y+m=0与圆D:(x+2)2+(y+2)2=1有三条公切线,则m的值为 .
变式2 [2022新高考Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
破解此题的关键:一是定位置,即能判断两圆的位置关系,一般先把两圆的圆心距求出,再与两圆的半径和、差进行比较,即可判断两圆的位置关系;二是会用几何法,即会利用圆心到直线的距离等于半径,求切线方程;三是“草图不草”,在作圆时,若用尺规作图,就能很快找到解题的通路.
3. 已知圆C1:x2+y2=a(a>0)关于直线l对称的圆为圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,则直线l的方程为A.2x-4y+5=0B.2x+4y+5=0C.2x-4y-5=0D.2x+4y-5=0
4.ABC 故选ABC.
知识点98：与圆有关的最值问题
方法技巧与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
1.利用几何性质求最值借助几何性质求与圆有关的最值问题时，常根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
（1）最小圆（圆的面积最小）问题，转化为求半径最小值问题；
（2）圆上的点到圆外的点（直线）的距离的最值，应先求圆心到圆外的点（直线）的距离，再加上半径或减去半径求得最值；
2.建立函数关系求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.
1. 已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4
2. 已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为A.4B.5C.6D.7
【多维探究】在本题中添加条件“设圆心为M,已知A(0,1),B(0,-1),记d=|MB|2+|MA|2”,则d的最大值为 .
5. 已知圆C1:x2+(y-2)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为直线x+y+2=0上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 .
求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段长度的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,即把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段长度之和转化为同一条直线上的两线段长度之和,一般要利用对称性解决.
一般地,平面内到两个定点A,B(A,B为平面上的相异两点)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.
方法技巧求圆的方程的两种方法
方法技巧求与圆有关的轨迹问题的4种方法
1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
3.几何法：利用圆的几何性质列方程.
4.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
3. 已知点P(1,-2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值范围是A.-2
6. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
求圆的方程的常见方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出圆的方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径(r>0)有关,则可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,求出a,b,r的值;②设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F的值,再验证D2+E2-4F是否大于0.(3)若求的是三角形的外接圆方程,则可以先求三角形两边的垂直平分线的方程,然后联立得方程组,求出方程组的解,方程组的解对应的是外接圆圆心的坐标,最后求半径,即可得外接圆的标准方程.
7. 在平面直角坐标系xOy中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径等于 .
8. 已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)在(1)的条件下,直角边BC的中点M的轨迹方程.
知识点96：直线与圆的位置关系
方法技巧直线与圆的位置关系的判断方法
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
方法技巧求解圆的弦长问题的方法
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
【变式探究】[多选]已知直线y=kx-1与圆C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A,B两点,则AB的长度可能为A.6B.8C.12D.16
有关圆的切线方程的常用结论:(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
【变式探究】[多选][2021新高考Ⅱ卷]已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为 .
4.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
【变式探究】已知直线l:kx-y-k+3=0,若无论k取何值,直线l与圆(x-5)2+(y-6)2=r2(r>0)恒有公共点,则r的取值范围是A.[3,5]B.(3,+∞)C.[4,6)D.[5,+∞)
知识点97：圆与圆的位置关系
方法技巧两圆的公切线问题实质为直线与圆的相切问题，利用两圆圆心到公切线的距离分别等于两圆的半径列方程组，求解公切线方程.
1. 已知圆O1的方程为x2+y2=1,圆O2的方程为(x+a)2+y2=4,若这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1}D.{3,-3}
2. 圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有A.1条B.2条C.3条D.4条
【变式探究】变式1 已知圆C:x2+y2-2x-4y+m=0与圆D:(x+2)2+(y+2)2=1有三条公切线,则m的值为 .
变式2 [2022新高考Ⅰ卷]写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
破解此题的关键:一是定位置,即能判断两圆的位置关系,一般先把两圆的圆心距求出,再与两圆的半径和、差进行比较,即可判断两圆的位置关系;二是会用几何法,即会利用圆心到直线的距离等于半径,求切线方程;三是“草图不草”,在作圆时,若用尺规作图,就能很快找到解题的通路.
3. 已知圆C1:x2+y2=a(a>0)关于直线l对称的圆为圆C2:x2+y2+2x-2ay+3=0,则直线l的方程为A.2x-4y+5=0B.2x+4y+5=0C.2x-4y-5=0D.2x+4y-5=0
4.ABC 故选ABC.
知识点98：与圆有关的最值问题
方法技巧与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
1.利用几何性质求最值借助几何性质求与圆有关的最值问题时，常根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.
（1）最小圆（圆的面积最小）问题，转化为求半径最小值问题；
（2）圆上的点到圆外的点（直线）的距离的最值，应先求圆心到圆外的点（直线）的距离，再加上半径或减去半径求得最值；
2.建立函数关系求最值根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.
1. 已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4
2. 已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为A.4B.5C.6D.7
【多维探究】在本题中添加条件“设圆心为M,已知A(0,1),B(0,-1),记d=|MB|2+|MA|2”,则d的最大值为 .
5. 已知圆C1:x2+(y-2)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为直线x+y+2=0上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 .
求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段长度的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,即把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段长度之和转化为同一条直线上的两线段长度之和,一般要利用对称性解决.
一般地,平面内到两个定点A,B(A,B为平面上的相异两点)的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.
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