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2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第八章平面解析几何第三节圆的方程
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这是一份2022届高考数学理一轮复习新人教版课件：第八章平面解析几何第三节圆的方程，共48页。
D2＋E2－4F>0
2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2
1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．(基本方法：求圆的方程)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．(基本方法：求圆的方程)△AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为_________________________．答案：x2＋y2－4x－3y＝0
4．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________________．
5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为___________________________．
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
[典例剖析][典例] (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．
方法总结求圆的方程的方法
[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，可设圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为____________________________．
x2＋y2－3x＋y＋2＝0
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
答案：x2＋y2＋2x－3＝0
类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程 [例2] 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法；(2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法；(3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．
[题组突破]1．(2020·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解析：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[对点训练] 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________________．解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
D2＋E2－4F>0
2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2
1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)
2．(基本方法：求圆的方程)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
3．(基本方法：求圆的方程)△AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为_________________________．答案：x2＋y2－4x－3y＝0
4．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________________．
5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为___________________________．
答案：(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
[典例剖析][典例] (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．
方法总结求圆的方程的方法
[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，可设圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为____________________________．
x2＋y2－3x＋y＋2＝0
(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
答案：x2＋y2＋2x－3＝0
类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程 [例2] 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法；(2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法；(3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．
[题组突破]1．(2020·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．解析：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).
2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[对点训练] 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________________．解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b).∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
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