新教材(广西专版)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件

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知识梳理1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程的判别式Δ.
　把两个交点之间的距离叫做相交弦长
微点拨直线与圆的位置关系将圆的几何性质和代数方法相结合.代数法与几何法思路不同,解题时要根据题目特点灵活选择.
微思考过一点的圆的切线有几条?
提示 应首先判断这点与圆的位置关系.若点在圆上则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,则没有切线.
2.圆与圆的位置关系
判断两圆的位置关系一般用几何法
|r1-r2|微点拨两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.
微思考1用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系?
提示 不能.当两圆方程组成的方程组有一解时,两圆有外切和内切两种可能情况;当方程组无解时,两圆有外离和内含两种可能情况.
微思考2当两圆相交时,怎样求两圆公共弦所在直线的方程?
提示将两圆方程相减得到的直线方程即为两圆公共弦所在直线的方程.
常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.(2)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防漏解).
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　　)(2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.(　　)(3)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.(　　)(4)联立两相交圆的方程,消去二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在直线的方程.(　　)
2.直线l:3x-y-6=0被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长为(　　)
3.已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为　　　　　　　　　　　. 
答案 x=3或4x+3y-15=0　
解析 由题意知P在圆外,圆C的圆心为C(0,0),半径为3.当切线斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线斜率存在时,设斜率为k,所以切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,所以
典例突破例1.(1)(多选)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(3)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为　　　　　. 
(方法2　构造法)设直线OA与直线OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为k1,k2,
设线段AB的中点为E,则O,C,E三点共线,∴△OAB为等腰三角形,∴|OA|=|OB|.
方法总结判断直线与圆的位置关系的两种方法
对点训练1(1)已知m2≥3,则直线y=mx+ 与圆x2+y2=1的位置关系为(　　)A.相切B.相离C.相离或相切D.相交
(2)(一题多解)在圆x2+y2=25上有一点P(4,3),点E,F是y轴上的两点,且满足|PE|=|PF|,直线PE,PF与圆交于C,D两点,则直线CD的斜率是　　　　　　　. 
(2)(方法1　特例法)当F点为坐标原点时,∵|PE|=|PF|,E,F两点关于点(0,3)对称,∴E(0,6),
如图所示(草图),由∠CMN和∠GON都和∠A互余,得∠CMN=∠GON.
(方法3)如图,过点P作x轴的平行线,交 于点G,连接OG,则G点坐标为(-4,3),PG⊥EF.
∵|PE|=|PF|,∴△PEF为等腰三角形.∴PG是∠EPF的角平分线.
(方法4　应用极限的思想)由于E,F是在y轴上运动的,当E,F两点向它们的中点靠拢时,C,D两点也在圆弧上向圆弧的中点靠拢,即弦CD的长度变小.
考向1.弦长问题典例突破
例2.(1)(2023新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值　　　　　. (2)(2023北京石景山一模)已知直线l:kx-y-2k+2=0被圆C: =25所截得的弦长为整数,则满足条件的直线l有(　　)A.6条B.7条C.8条D.9条
(3)(多选)已知过点P(4,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4交于A,B两点,O为坐标原点,则(　　)A.|AB|的最大值为4
解析(1)由条件知圆心C(1,0),点C到直线x-my+1=0的距离
(2)圆C:x2+(y+1)2=25的圆心为C(0,-1),半径r=5,直线l化为k(x-2)-y+2=0,则直线l过定点M(2,2),
由题意,弦长的取值为7,8,9,10.由圆的对称性,故满足弦长为整数的直线l有7条.故选B.
(3)由题意,圆C:(x-3)2+(y-3)2=4的圆心坐标为C(3,3),半径r=2.由点P(4,2)在圆C内部,因为过点P(4,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4交于A,B两点,所以|AB|的最大值为2r=4,所以A正确;
方法总结直线被圆截得的弦长的两种求法
对点训练2(1)已知直线l:x+y-3=0交圆x2+y2+4x-2y-4=0于A,B两点,则|AB|=(　　)
(2)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l被圆C截得的弦长的最小值为2,则m=(　　)
答案 (1)A　(2)C　
解析 (1)圆x2+y2+4x-2y-4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=9,所以其圆心为(-2,1),半径r=3,
考向2.切线问题典例突破例3.(1)已知圆M过点A(1,3),B(1,-1),C(-3,1),则圆M在点A处的切线方程为(　　)A.3x+4y-15=0B.3x-4y+9=0C.4x+3y-13=0D.4x-3y+5=0
(2)(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　)
(3)经过直线y=2x+1上的点作圆x2+y2-4x+3=0的切线,则切线长的最小值为(　　)
答案 (1)A　(2) B　(3)A　
解析 (1)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由题可得
(2) 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,
方法总结解决直线与圆相切问题的策略
对点训练3(1)过点P(m,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=2作切线,则点P到切点距离的最小值为(　　)
典例突破例4.(1)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2+k(4x+3y)-1=0(k∈R,k≠0)的位置关系为(　　)A.相交B.相离C.相切D.无法确定(2)(多选)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是(　　)A.-3B.3C.2D.-2(3)若圆x2+y2=a2(a>0)与圆x2+y2+ay-6=0的公共弦长为2 ,则a=　　　　　. 
答案 (1)A　(2)CD　(3)2　
(2)圆C方程可化为(x-a)2+y2=1,则圆心为C(a,0),半径r1=1.由圆D方程知圆心为D(0,0),半径r2=2.圆C与圆D有且仅有两条公切线,故两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-30).两圆方程相减得公共弦所在直线方程为a2+ay-6=0,原点到公共弦的
名师点析1.处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系判断,一般不采用代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
对点训练4(1)圆x2+4x+y2=0与圆(x-2)2+(y-3)2=r2有三条公切线,则半径r=(　　)A.5B.4C.3D.2(2)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10相交于A,B两点,则直线AB的方程是　 .