专题15 相交线与平行线（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

专题15 相交线与平行线

一、单选题

1．（2022·辽宁鞍山·）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据平行线的性质求解，找出图中，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．

【详解】

解：如图，作，

三角尺是含角的三角尺，

，

，

，

，

，，

，

，

故选：C．

2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【答案】B

【分析】

利用平行线的性质求出∠3可得结论．

【详解】

解：如图，

∵a∥b，

∴∠1＝∠3＝25°，

∵∠2＋∠3＝45°，

∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，

故选：B．

3．（2022·江苏淮安·）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（    ）

A．70° B．90° C．100° D．110°

【答案】D

【分析】

根据邻补角得出∠3的度数，进而利用平行线的性质解答即可．

【详解】

解：∵∠1＝70°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝110°，

故选：D．

4．（2018·广东九年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB//DF的是（　　）

A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A

【答案】D

【分析】

利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．

【详解】

解：A、因为∠A=∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．

B、因为∠A+∠2=180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．

C、因为∠1=∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．

D、因为∠1=∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．

故选：D．

5．（2022·全国九年级单元测试）下列命题中，正确的命题是（   ）

A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧

C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD      D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径

【答案】A

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确， 

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故原命题错误，

C、在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD，错误，

D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故原命题错误，

故选A．

6．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠C＝120°，则∠MPB＝（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】D

【分析】

根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠EFP=∠CEF=120°，

∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，

∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，

故选：D．

7．（2022·湖南九年级期末）如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ）

A．40° B．60° C．80° D．120°

【答案】C

【分析】

先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解

【详解】

解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故选D．

8．（2022·湖北九年级期中）一副三角板按如图所示放置，AB//DC，则∠CAE的度数为( )

A．15° B．20° C．25° D．30°

【答案】C

【分析】

由平行线的性质可得∠BAC=∠ACD=30°，由三角形内角和定理可求解．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD=30°，

∵∠AED=45°，

∴∠AEC=135°，

∵∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，

∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-30°-135°=15°，

故选C．

9．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，已知，∠A＝52°，∠E＝16°，则∠C的度数是（　　）

A．36° B．34° C．32° D．30°

【答案】A

【分析】

过点作，则，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合可得出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．

【详解】

解：过点作，则，如图1所示．

，

∴∠AEF＝∠A＝52°，

∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝52°﹣16°＝36°．

又，

∴∠C＝∠CEF＝36°．

故选：A．

10．（2022·福建省福州屏东中学）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】

首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．

【详解】

解：点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），

∴AB＝，

即AB＝CD＝5，

∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，

点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，

由平移的性质得：BC//AD，BC＝AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴当BC⊥CD时，BC的值最小，

∵C（m,﹣m)

∴点C在直线y＝﹣x上运动，

∵BC⊥直线y＝﹣x，

∴直线BC平行直线y＝x,

∴直线BC的解析式为y＝x+b，

把B（ ，1）代入y＝x+b得：

1＝5+b，

解得：，

∴,

联立方程组得：,

解得:

∴C（2,﹣2），

∴m＝2，

故选：C．

二、填空题

11．（2022·佛山市华英学校九年级一模）如图，直线a，b，a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为______．

【答案】20°

【分析】

先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【详解】

解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3＝∠1＝70°．

∵a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，

∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．

故答案为：20°．

12．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，直线，若，则____．

【答案】

【分析】

利用平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数．

【详解】

解：如图，

，，

，

．

故答案为：．

13．（2022·吉林九年级期末）如图，将一个直角三角板ACB（∠C=90°）绕60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C旋转到AB的延长线上的点E处，则三角板旋转了_________度．

【答案】120

【分析】

先利用邻补角计算得出∠CBE=180°-∠ABC=120°，再根号旋转的性质得到∠CBE等于旋转角，即可得出结论．

【详解】

解：∵∠ABC=60°，

∴∠CBE=180°-∠ABC=120°，

∵直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，

∴∠CBE等于旋转角，

∴三角板旋转了120°．

故答案为120．

14．（2022·靖江市靖城中学九年级一模）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．

【答案】y=90°-x+z．

【分析】

作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．

【详解】

解：作CG∥AB，DH∥EF，

∵AB∥EF，

∴AB∥CG∥HD∥EF，

∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z

∵∠BCD＝90°

∴∠1+∠2=90°，

∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，

∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，

∴∠y=∠z+90°-∠x．

即y=90°-x+z．

15．（2020·山东九年级一模）如图所示，，则的度数为______．

【答案】125°

【分析】

结合题意，根据对顶角相等的性质，通过证明，得，再根据补角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图：

∵，且

∴

∴

∴

∴

故答案为：125°．

三、解答题

16．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知：如图，D，E，F分别是，，上的点，，，求证：．

【答案】见解析

【分析】

先根据DE∥BC，得到，从而得到，则EF∥AB，由此即可求解．

【详解】

证明：∵DE∥BC，

∴，

∵，

∴，

∴EF∥AB，

∴．

17．（2020·山东）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．

【答案】15﹣5

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．

【详解】

解：

过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，

∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10，

∵AB∥CF，

∴∠BCM＝∠ABC＝30°．

∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，

CM＝BC•cos30°＝10×＝15，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDF＝45°，

∴MD＝BM＝5，

∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．

18．（2022·全国九年级专题练习）如图，若之间有什么关系？

【答案】∠B+∠E-∠C=180°．

【分析】

过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E=∠1+∠2整理即可得解．

【详解】

解：如图，过点E作EF∥AB，
则∠1=180°-∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠C，
∵∠1+∠2=∠BEC，
∴180°-∠B+∠C=∠BEC，
∴∠B+∠BEC-∠C=180°．

19．（2022·全国九年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：

【答案】见解析

【分析】

先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】

解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，

，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．

20．（2022·全国九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．

（1）求证：；

（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．

【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析

【分析】

（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；

（2）利用勾股定理求出，,然后证明即可.

【详解】

解：（1）过点C作CF⊥AB于F，

∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∴∠D=90°，

∴四边形ADCF是矩形，

∴AF=CD=1,AD=CF，

∴BF=AB-AF=1，

∴，

∵E是AD的中点，

∴，

∴，

∴，

又∵∠D=∠A=90°，

∴△CDE∽△EAB；

（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：

∵，,

∴，，，

∴ ，

∴△CDE∽△CEB.

21．（2022·全国九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D

【答案】见解析

【分析】

过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．

【详解】

证明：过点E作EF∥CD，如图

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BOD，

∵EF∥CD（辅助线），

∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；

∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），

∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．

22．（2022·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．

（1）求证：AM∥BN；

（2）求y关于x的关系式；

（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2

【答案】（1）见解析；（2）；（3），证明见解析

【分析】（1）根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明；

（2）作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于的函数关系式；

（3）根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据作差法比较它们的大小．

【详解】

（1）证明：是直径，、是切线，

，，

．

（2）解：过点作于，则．

由（1），

四边形为矩形．

，．

、，、都是切线，

根据切线长定理，得，．

在中，，，，

，

化简，得．

（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积，

即．

，当且仅当时，等号成立．

，即．

23．（2022·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O的直径，过点作⊙O的切线，与的延长线相交于点．

（1）求证：；

（2）若⊙O的半径，，求的长．

【答案】（1）见解答；（2）

【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据平行线的判定方法得到结论；

（2）过点作于，如图，利用圆周角定理得到，，，则可判断和都是等腰直角三角形，于是可计算出，利用勾股定理计算出，则，接着证明，利用相似比得到，设，，所以，解方程求出，从而得到的长．

【详解】

（1）证明：连接，如图，

∵为的切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）过点作于，如图，

∵为的直径，

∴，

∵，

∴，，

∴和都是等腰直角三角形，

∴，，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，，

∴，解得，

经检验为方程的解，

∴．