专题15 相交线与平行线（讲通）-【讲通练透】2023中考数学一轮（全国通用）

专题15 相交线与平行线

1、复习线段、角有关的概念、性质及计算，并能应用于解决实际问题；

2、使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质。

一、线段

1．线段的性质

所有连接两点的线中，线段最短，即过两点有且只有一条直线．

2．同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有  平行， 相交 两种。垂直与相交的

的关系：垂直是特殊的相交。

3．垂线及其性质

垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直

性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短(简说成：垂线段最短)．

4．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

例1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠COE＝65°，则∠BOD为（　　）

A．40° B．35° C．30° D．25°

【答案】D

【分析】

根据垂直的定义求得；然后根据余角的定义可以推知；最后由对顶角的性质可以求得．

【详解】

解：，

；

又，

，

（对顶角相等）．

故选：．

二、余角和补角：

1、余角：

定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

性质：同角或等角的余角相等。

2、补角：

定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

性质：同角或等角的补角相等。

例2．如图，将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠，则∠的大小是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据平行线的性质和互为余角的性质解答即可．

【详解】

解：如图示：

∴由题意可知，，

∴，

∴，

故选：D．

三、对顶角

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

例3．如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（    ）

A．75° B．80° C．100° D．120°

【答案】A

【分析】

根据对顶角相等可得：∠1=∠2=30°，从而得∠BOC=150°，进而即可求解．

【详解】

解：∵∠1+∠2=60°，∠1=∠2，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠BOC=180°-30°=150°，

∵平分，

∴==×150°=75°．

故选A．

四、同位角、内错角、同旁内角

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

例4．下列各图中，∠与∠是一定相等的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据邻补角、同旁内角、对顶角的定义，分别进行判断即可得到答案．

【详解】

解：根据题意，

A、∠与∠是邻补角，不一定相等；

B、∠与∠是同旁内角，不一定相等；

C、∠与∠是任意的两个角，不一定相等；

D、∠与∠是对顶角，则∠=∠；

故选：D．

五、平行线的判定

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

简称：同位角相等，两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条线互相平行

例5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（   ）

A．①④是真命题 B．①③是真命题

C．②③是真命题 D．①②④是真命题

【答案】A

【分析】

根据垂线段，平行线的判定和性质判断即可；

【详解】

解：①同旁内角互补，两直线平行；该命题正确，②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；该命题不正确，应改为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；该命题不正确，应改为：两直线平行，同位角相等；④垂线段最短；该命题正确；

故选择：A

六、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

注意：已知平行用特征，探索平行用判定

例6．如图，已知直线a//b，c//b，∠1=60°，则∠2的度数是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．45°

【答案】B

【分析】

根据平行线的传递性可得，进而可得，即可求解．

【详解】

a//b，c//b，

，

，

∠1=60°，

．

故选B．

1．（2022·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（    ）

A．38° B．104° C．142° D．76°

【答案】D

【分析】

根据角平分线的定义，对顶角相等即可求得．

【详解】

射线平分，，

，

，

．

故选D．

2．（2022·山东济宁学院附属中学）如图，直线，将含有45°角的三角板的直角顶点C放在直线b上，若，则的度数是（　　）

A．25° B．20 C．35 D．30

【答案】A

【分析】

过作直线，推出，根据平行线性质得出，，根据求出，即可得出答案．

【详解】

解：过作直线，

直线，

∴，

，，

，

，

故选：A．

3．（2022·杭州市十三中教育集团（总校）九年级二模）小明从处出发沿北偏东50°方向行走至处，又从处沿南偏东70°方向行走至处，则等于（    ）

A．130° B．120° C．110° D．100°

【答案】B

【分析】

根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．

【详解】

解：如图：

∵小明从A处沿北偏东50°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，

∴∠DAB=50°，∠CBE=70°，

∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，

∴∠ABE=∠DAB=50°，

∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°．

故选B．

4．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，AB∥EF，FD平分∠EFC，若∠DFC＝50°，则∠ABC＝（    ）

A．50° B．60° C．100° D．120°

【答案】C

【分析】

先根据角平分线的性质得到，再由平行线的性质得到即可．

【详解】

解：∵平分，，

∴，

∵AB∥EF，

∴．

故选C．

5．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（    ）

A．70° B．100° C．110° D．120°

【答案】C

【分析】

由已知条件，可得，由平角的性质可得代入计算即可得出答案．

【详解】

解：如图，

，

，

，

．

故选：．

6．（2022·全国九年级课时练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据平行线的性质和圆周角定理计算即可；

【详解】

∵，，

∴，

∵，

∴．

故选A．

7．（2022·杭州市采荷中学九年级二模）如图，，分别与，交于点，．若，，则______．

【答案】25°

【分析】

直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF=60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC=180°，

∵∠EFC=120°，

∴∠ABF=180°-∠EFC=60°，

∵∠A+∠E=∠ABF，∠E=35°，

∴∠A=25°．

故答案为：25°．

8．（2022·如皋市实验初中九年级期末）如图，直线，直线与，分别交于，两点，过点作交直线于点，若，则__________度．

【答案】55

【分析】

先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠1+∠ABC+∠2=180°，再根据BC⊥AB，∠1=35°，即可得出∠2的度数．

【详解】

∵直线a∥b，

∴∠1+∠ABC+∠2=180°，

又∵BC⊥AB，∠1=35°，

∴∠2=180°-90°-35°=55°，

故答案为：55

9．（2022·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）70°

【分析】

（1）根据角角边求证即可；

（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．

【详解】

解：（1）证明：∵，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（2）∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

10．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．

（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；

（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．

【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18

【分析】

（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；

（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；

【详解】

解：（1）结论：点在直线上；

∵，，

∴，

∴，即．

∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．

（2）作于，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，，

∴，即以、为邻边的正方形面积．