19.1 函数-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

19.1 函数

一、变量、函数

1、变量：在一个变化过程中， 我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

2、函数：一般地，在一个变化过程中有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说是自变量，是因变量，是的函数。

3、函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。有三种类型的问题：

（1）当已知自变量的值求函数值，就是求代数式的值；

（2）当已知函数值求自变量的值，就是解方程；

（3）当给定函数值的一个取值范围，求自变量的取值范围时，实质上是解不等式或不等式组。

4、函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。

二、函数自变量的取值范围（能够使函数有意义的自变量的取值全体）

1、函数关系式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；

2、函数关系式为分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数；

3、函数关系式为二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数；

4、当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零。

注：确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义，二是使函数在实际问题中有实际意义；

三、函数的三种常用表达方式

1、解析式法：用解析式把变量的对应关系表述出来，能确定变化值之间的关系，简洁、便于计算。

2、列表法：用表格的方式把变量的对应关系一一列举出来，便于把握具体数值。

3、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出变量的函数关系，能直观地把握数值变化情况和变化值之间的关系。

四、函数的图像

1、概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

2、描点法画函数图象的一般步骤

第一步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

第二步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；

第三步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。

注：表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法。

五、函数图像上的点与其解析式的关系

1、函数图像上任意一点中的满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值都在函数的图像上；

2、判断点是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上；如果不满足函数关系式，那么这个点就不在函数的图像上。

题型一 函数与变量的理解

【例1】一本练习本每本元，买x本共付y元，则和y分别是（　　）

A．常量，常量 B．常量，变量 C．变量，变量 D．变量，常量

【变式1-1】小王上学时以每小时 的速度行走，他所走的路程（ ）与时间（h）之间的关系为： ，则下列说法正确的是（    ）

A．s、t和6都是变量 B．s是常量，6和t是变量

C．6是常量，s和t是变量 D．t是常量，5和s是变量

【变式1-2】圆周长C与半径r之间的关系式C=2πr中自变量是____，因变量是________，常量是_______．

 【变式1-3】一根蜡烛原长厘米，点燃后燃烧时间为分钟，所剩余蜡烛的长为厘米，其中是变量的是（   ）

A． B． C． D．

【变式1-4】指出下列关系式中的常量和变量：

（1）；

（2）．

题型二 求自变量的取值范围

【例2】在函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A． B．  C．  D．

【变式2-1】在函数中，自变量的取值范围是______．

【变式2-2】函数中，自变量的取值范围是_______________．

【变式2-3】某水池的容积为，水池中已有水，现按的流量向水池注水，则水池中水的体积与进水时间t（h）之间的函数表达式为______，自变量t的取值范围是______．

【变式2-4】等腰三角形顶角的度数与底角的度数之间的函数关系是，则自变量的取值范围是______．

题型三 求自变量的值或函数值

【例3】在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（　　）

A． B．8 C． D．22

【变式3-1】一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间（秒）与滑下的路程（米）之间的函数关系式是，当运动员滑下的时间秒时，他滑下的路程为_________米．

【变式3-2】物理学中把作为热力学温度的零度，热力学温度与摄氏温度之间有如此数量关系：，当摄氏温度为时，热力学温度为______．

【变式3-3】用的铁丝围成长为、宽为的长方形，当时，______．

【变式3-4】历史上，数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，多项式，例如时，，记为，那么等于_____．

题型四 函数的表达方式---解析式法

【例4】有下面四个关系式: ①； ②；③；④，其中y是x的函数的是（    ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④

【变式4-1】某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为___________．

【变式4-2】当前我市95号汽油的价格是8.93元/升，小明爸爸用一张面额为1000元的加油卡付费，若加油x（升）后油卡上的余额为y（元），则y与x的函数关系式是________．

【变式4-3】平行四边形相邻的两边长为 ，，周长是 ，则 与 的函数关系式是___________．（不用写出自变量的取值范围）

【变式4-4】佳佳爸爸计划用一根长为的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长与宽之间的关系式为(　　)

A． B． C． D．

题型五 函数的表达方式---列表法

【例5】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：

下列说法正确的是（　　）

A．当时， B．随着h逐渐升高，t也逐渐变大

C．h每增加，t减小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快

【变式5-1】根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系：下列说法不正确的是(   )

A．弹簧不挂重物时的长度为

B．与都是变量，且是自变量，是因变量

C．随着所挂物体的重量增加，弹簧长度逐渐变长

D．所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加

【变式5-2】下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（    ）

A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数

B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元

C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元

D．y不是x的函数

【变式5-3】一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ）

A．每分钟放水

B．水池里的水量是因变量，放水时间是自变量

C．放水10分钟后，水池里还有水

D．水池里的水全部放完、需要24分钟

【变式5-4】随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势：

（1）上表中_____________是自变量，_____________是因变量；

（2）你预计该地区从___________年起入学儿童的人数不超过人．

题型六 函数的表达方式---图像法

【例6】一年365天，天安门广场的升旗仪式与太阳的节奏同步，唤醒一座城市的梦，唤醒一个国家的清晨．当升旗手匀速升旗时，旗子的高度（米）与时间（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（    ）

A． B．

C． D．

【变式6-1】历史上某地曾干旱缺水，因此在全国开展了献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图，如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度和时间之间的关系的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【变式6-2】小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　）

A． B． C． D．

【变式6-3】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．

【变式6-4】一家快递公司的收费标准如图．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数．

（1）填写下表．

（2）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？若，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？

题型七 函数图像的识别

【例7】下列图像，表示y是x的函数的是（   ）

A． B．

C． D．

【变式7-1】如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（    ）

A． B． 

C． D．

【变式7-2】下列图形中的曲线不表示是的函数的是（      ）

A． B． 

C． D．

【变式7-3】小明向各种空水壶内匀速注水，壶内水的深度（单位：）与注水时间（单位：）的函数关系如图所示，选项中是各种水壶的平面图，则小明使用的水壶是（    ）

A． B． C． D．

【变式7-4】规定表示不大于的最大整数，例如，，那么函数的图象为（    ）

A． B．

C． D．

题型八 从函数图像获取信息解题

【例8】如图，一只兔子和一只小狗从同一地点出发．下面说法正确的是（　　）

A．小狗的速度始终比兔子快

B．整个过程中，小狗和兔子的平均速度相同

C．在前3秒内，小狗比兔子跑得快

【变式8-1】“二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、清明、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关．如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中，白昼时长超过小时的节气是（       ）

A．清明 B．立秋 C．白露 D．立冬  

【变式8-2】一辆汽车的速度与时间之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．时间是因变量，速度是自变量

B．汽车在时匀速行驶

C．汽车在时匀速行驶

D．汽车最快的速度是

【变式8-3】数学是一门可融入日常生活的学科，在研究其他领域中，可以用已知的数学知识对自己的猜想进行验证．某生物研究小组在研究“温度对生菜成熟叶片光合速率和呼吸速率的影响”实验中，得到了一份实验数据，如图所示．不测量长度，结合所学的几何方面的知识，可判断出曲线图中当光合作用相对速率与呼吸作用相对速率差值最大时，处理温度是(   )

A． B． C． D．

【变式8-4】某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为，④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（    ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①③

题型九 用描点法画函数图像

【例9】作出函数的图象．

【变式9-1】在同一直角坐标系中画下列函数的图象：

（1）．

（2）．

（3）．

【变式9-2】一根蜡烛长，蜡烛的燃烧速度是．

（1）写出蜡烛的剩余长度h与燃烧时间t之间的函数关系式；

（2）画出这个函数的图象．

【变式9-3】已知等腰三角形周长为，若底边长为（），一腰长为x（）．

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求自变量x的取值范围；

（3）画出这个函数的图像．

【变式9-4】函数图象是研究函数的重要工具，探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程；请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．

（1）列表，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当时，函数图象关于直线对称；

②当时，函数有最小值为；

③时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是______（请写出所有正确命题的序号）．

（3）结合图象，请直接写出不等式的解集．

题型十 动点问题的函数图像

【例10】如图，李老师早晨出门去锻炼，一段时间内沿的半圆形路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间之间的函数关系的大致图象是（    ）

A． B． 

C． D．

【变式10-1】在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【变式10-2】图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以1/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度（）随运动时间（秒）变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是_______．

【变式10-3】如图，点P是菱形边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（        ）

A． B．

C． D．

【变式10-4】如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．