2022-2023学年吉林省长春市榆树市八号镇三校联考七年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市榆树市八号镇三校联考七年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知的三个内角度数比为：：，则这个三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

3.  下列正多边形中，能够铺满地面的是(    )

A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形

4.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列变形正确的是(    )

A. 由得
B. 由得
C. 由得
D. 由得

6.  在一次防疫知识竞赛中，共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答都扣分，小明得分要不小于分，他至少要答对多少道题？若设小明答对道题，则下列所列不等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为(    )

A. 或 B. 或
C. 或或 D. 或或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  由方程可得到用表示的式子是        ．

10.  一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是        ．

11.  若关于的方程的解为，则 ______ ．

12.  已知不等式的解集为，求的值为______．

13.  中，：：：：，则是______三角形．

14.  如图，，点是线段的中点，点从点出发，以的速度向右移动，同时点从点出发，以的速度向右移动到点后立即原速返回点，当点到达点时，、两点同时停止运动当时，运动时间的值是        ．

三、解答题（本大题共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
解方程：．

16.  本小题分
解方程组；
解不等式组．

17.  本小题分
解不等式组．
；
解不等式组并在数轴上把解集表示出来．

18.  本小题分
解不等式组，并把它们的解在数轴上表示出来．

 

19.  本小题分
列一元一次方程解应用题．
从甲城到乙城，普通列车原来需行驶个小时，开通高铁以后，路程缩短了千米，车速平均每小时增加了千米，结果只需个小时即可到达求甲乙两城之间开通高铁以后的路程．

20.  本小题分
若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．

21.  本小题分
求不等式的所有正整数解．

22.  本小题分
如图，在中，是的高线，、是的角平分线，且两条角平分线交于点，，．
求的度数；
直接写出        ．

23.  本小题分
疫情期间，为减少交叉感染，催生了以智能技术为支撑的无接触服务某快递公司准备购进，两种型号的智能机器人送快递经市场调查发现，型号机器人的单价比型号机器人贵元，台型号机器人比台型号机器人贵元．
求，两种型号机器人的单价各是多少元？
若该快递公司准备用不超过元购进，两种型号机器人共台，请问该快递公司最多可购进型号机器人多少台？

24.  本小题分
【结论探究】如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点，则有结论：．
请完成上述结论的证明过程：
平分，
______ ．
平分，
．
______ ，
，
，
______ ．
请直接应用上面的结论解决下面问题：
【结论应用】如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数．

【拓展应用】
如图，已知四边形与四边形，平分角，平分外角．
若，，则 ______ ；
若，，则 ______ 用含的代数式表示．

25.  本小题分
如图，点在线段上，，点以的速度从点沿线段向点运动；同时点以的速度从点出发，在线段上做往返运动即沿运动，当点运动到点时，点、都停止运动设点运动的时间为．

当时，求的长．
当点为线段的中点时，求的值．
若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故本选项符合题意；
B.含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
C.未知数的最高次数次，不是一元一次方程，故本选项不合题意；
D.未知数的最高次数次，不是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
一元一次方程的定义：只含有一个未知数元，且未知数的次数是，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：设的三个内角度数分别为：、、．
则．
．
的三个内角度数分别为、、．
，
该三角形为锐角三角形．
故选：．
利用三角形的内角和定理，求出各角后得结论．
本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出三角形各角的度数是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正五边形每个内角为，不能整除，所以不能铺满地面；
B.正六边形每个内角为，能整除，所以能铺满地面；
C.正八边形每个内角为，不能整除，所以不能铺满地面；
D.正十二边形每个内角为，不能整除，所以不能铺满地面；
故选：．
分别求出正多边形各内角的度数，看能否整除即可．
此题考查了平面镶嵌密铺，计算正多边形的内角能否整除是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，不等式两边同时乘以得，，即项不符合题意，
B.若，不等式两边同时减去得，，即项符合题意，
C.若，当时，，即项不符合题意，
D.若，不等式两边同时除以得，，即项不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形不正确的选项即可．
本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由得，原变形错误，不符合题意；
B、由得，原变形错误，不符合题意；
C、由得，原变形错误，不符合题意；
D、由得，正确，符合题意．
故选：．
根据等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：该防疫知识竞赛共有道题，且小明答对道题，
小明答错或不答道题．
根据题意得：．
故选：．
由知识竞赛的题目数及小明答对的题目数，可得出小明答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合小明得分要不小于分，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和定理．
先根据三角形的内角和得出，根据三角形的内角和算出，再利用可得答案．
【解答】
解：如图，

，，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：角是，则友好角度数为；
角是，则，
所以，友好角；
角既不是也不是，
则，
所以，，
解得，
综上所述，“友好角”的度数为或或．
故选：．
分角是、和既不是也不是三种情况，根据友好三角形的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解友好角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得，，
的系数化为得：．
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

10.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
由题意得：，
，
故答案为：．
由多边形内角和定理：，可求多边形的边数．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于的方程的解为，
，
解得：，
故答案为：．
把代入原方程，再解关于的方程即可．
本题考查的是一元一次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得．
，
，，
解得，，
，
故答案为．
解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为，可以求出、的值，从而求得的值．
本题考查了解一元一次不等式组．解此类题时要先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母，的一元一次方程求出字母，的值，再代入所求代数式中即可求解．
 

13.【答案】直角 

【解析】解：：：：：，
可设，，，
，
，
，
，，，
是直角三角形，
故答案为：直角．
根据三角形内角和为度，结合已知条件求出，，的度数即可得到答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：从到所需时间为，从到所需时间为，
当时，，
，
解得，
当时，到的距离为，到的距离为，
，
解得或，
故答案为：或或．
从到所需时间为，从到所需时间为，分两种情况列出方程解决问题．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想列出一元一次方程．
 

15.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】先去括号，再移项，合并同类项，即可得到答案．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
 

16.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
原方程组的解是；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是． 

【解析】根据加减消元法可以解答此方程组；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解为：，
在数轴上表示为：． 

【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：设甲乙两城之间开通高铁以后的路程为千米，则普通列车的路程为千米，
根据题意，得，
解得：，
答：甲乙两城之间开通高铁以后的路程为千米． 

【解析】本题需要找到两个等量关系，、甲乙两城之间开通高铁以后的路程比普通列车的路程少千米，、高铁的速度比普通列车快了千米时，运用其中第一个等量关系来设未知数，第二个等量关系来列方程．
本题主要考查行程问题，根据速度、时间、路程来列方程解应用题．
 

20.【答案】解：，
去分母可得：，
即，
关于的方程的解与方程的解相同，
，
解得：． 

【解析】先解方程可得，再根据方程同解的含义可得，再解关于的方程即可．
本题考查的是同解方程的含义，选择合适的方程进行变形是解本题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
，
故正整数解、、． 

【解析】按照解不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得不等式的解集，进一步得到正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：是的高，，
，
，
又是的平分线，
，
；
，
，
又是的角平分线，
，
，
．
故答案为：．
根据垂直的定义，角平分线的定义，以及角的和差关系即可求解；
根据角平分线的定义，以及三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟悉掌握利用角平分线的性质．
 

23.【答案】解：设型号机器人的单价是元，型号机器人的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：型号机器人的单价是元，型号机器人的单价是元；
设该快递公司购进台型号机器人，则购进台型号机器人，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该快递公司最多可购进型号机器人台． 

【解析】设型号机器人的单价是元，型号机器人的单价是元，根据“型号机器人的单价比型号机器人贵元，台型号机器人比台型号机器人贵元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该快递公司购进台型号机器人，则购进台型号机器人，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】         

【解析】解：结论探究：平分，
．
平分，
．
，
，
，
．
故答案为：，，．
结论应用：如图，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
拓展应用：如图，延长，交于，延长，交于，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
由知，
，
，
，
，
．
故答案为：．
结论探究：由角平分线的定义，三角形外角的性质，即可证明；
结论应用：由角平分线定义推出，应用结论探究中的结论，即可得到答案；
拓展应用：延长，交于，延长，交于，由结论探究中的结论，即可解决问题．
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，关键是应用三角形外角的性质，探究得到的结论．
 

25.【答案】解：当时，，，
，
；
如图，由题意，得： ，，
点运动到点时，点、都停止运动，
，


当时，点从向运动， ，
点为线段的中点，
，即，解得：；
当时，点从向运动，，，
点为线段的中点，
，即，解得：舍去；
当时，点从向运动，，
点为线段的中点，
，即，
解得：；综上所述，当或时，点为线段的中点．
如图，当时，点从向运动， ，


点是线段的中点，
 ，
，此时，的长度保持不变；
当时，点从向运动，，
点是线段的中点，
 ，
，此时，的长度变化；
当时，点从向运动，，
点是线段的中点，
，
，此时，的长度保持不变；
综上所述，当或时，使的长度保持不变；的长度分别为或． 

【解析】当时，，，可得；
由题意，得： ，，根据点运动到点时，点、都停止运动，可得，分三种情况：当时，点从向运动，可求得；当时，点从向运动，求出不合题意；当时，点从向运动，可求得；
存在某个时间段，使的长度保持不变，与一样分三种情况分别探究即可．
本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键．