易错点02方程与不等式-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（解析版）

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备战2023年中考数学考试易错题
易错点02 方程与不等式
1一元一次方程及应用
2解二元一次方程组
3二元一次方程组的应用
4一元二次方程的概念及解法
5根的判别式及根与系数的关系
6一元二次方程的应用
7分式方程及解法
8分式方程的应用
9不等式（组）及解法
10不等式及应用

01 一元一次方程及应用
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．

1．（2022•黔西南州）小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次方程，解题关键在于能准确观察出出错的步骤．
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若ac=bc，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、−13x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
3．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【分析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得（5分），每答错或不答一个扣（1分），列出方程求解即可．
【解答】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
5．（2022•台湾）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．

小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列叙述何者正确？（　　）
A．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
B．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
C．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
D．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
【分析】设两双鞋子的价格分别为x，y（x＜y），则特惠活动花费0.6x+y，使用折价券花费0.8（x+y），由0.6x+y﹣0.8（x+y）＝﹣0.2x+0.2y＝0.2（y﹣x）＞0可得使用折价券的花费较少，由0.2（y﹣x）＝50可得y﹣x＝250，即两双鞋定价相差250元，即可求解．
【解答】解：设两双鞋子的价格分别为x，y（x＜y），
∴特惠活动花费：0.6x+y，使用折价券花费：0.8（x+y），
∵0.6x+y﹣0.8（x+y）
＝﹣0.2x+0.2y
＝0.2（y﹣x）＞0，
∴使用折价券的花费较少，
∵0.2（y﹣x）＝50，
∴y﹣x＝250，
∴两双鞋定价相差250元，
故选：B．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是正确列出代数式．
6．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（　　）
A．25 B．75 C．81 D．90
【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量＝城中人家户数+13×城中人家户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+13x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

【分析】设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h．
【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
8．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）求出从滑雪道A端滑到B端的路程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3），
解得：x＝3，
答：x的值为3；
（2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米），
∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，
∴v=120t．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【分析】（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程＝速度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度；
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度．
【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，
依题意得：12×1.2x＝2+12x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲骑行的速度为24千米/时．
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，
依题意得：30y−301.2y=2060，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲骑行的速度为18千米/时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
10．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设每件真丝围巾降价y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260．
（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
（3）设每件真丝围巾降价y元，
依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）×12×200+（100﹣y﹣80）×12×200≥8000×90%，
解得：y≤8．
答：每件真丝围巾最多降价8元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
02 解二元一次方程组
解二元一次方程组常用的方法有代入消元法和加减消元法.代入法：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.加减法：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数

1．（2022•株洲）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（　　）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可．
【解答】解：y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．
2．（2022•潍坊）方程组2x+3y=13，3x−2y=0的解为 　x=2y=3　．
【分析】由第一个方程得4x+6y＝26，由第二个方程得9x﹣6y＝0，两个方程相加消去y，解出x，再进一步解出y即可．
【解答】解：2x+3y=13①3x−2y=0②，
由①×2得4x+6y＝26③，
由②×3得9x﹣6y＝0④，
由③+④得13x＝26，
解得x＝2，
将x＝2代入②得3×2﹣2y＝0，
解得y＝3，
所以原方程组的解为x=2y=3．
故答案为：x=2y=3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
3．（2022•沈阳）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 　x=1y=2　．
【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：x+2y=5①y=2x②，
将②代入①，得x+4x＝5，
解得x＝1，
将x＝1代入②，得y＝2，
∴方程组的解为x=1y=2，
故答案为：x=1y=2．
【点评】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
4．（2022•随州）已知二元一次方程组x+2y=42x+y=5，则x﹣y的值为 　1　．
【分析】将第一个方程化为x＝4﹣2y，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，将y＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解．
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵x+2y=4①2x+y=5②，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．
5．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　5　．
【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
6．（2022•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
【分析】利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13②，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为x=5y=1．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
7．（2022•荆州）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2kx﹣3y＜5即可得到k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元是解题的关键．
03 二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．

1．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　）
A．30 B．26 C．24 D．22
【分析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x+y的值即可．
【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得：x+2y=32①2x+y=46②，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴x+2=x−y+424−x=x−y+6，
解得：x=10y=2，
∴x+y＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
3．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 　187　两．
【分析】设每头牛x两，每只羊y两，根据5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，列二元一次方程组，两方程相加可得7x+7y＝18，进一步求解即可．
【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得5x+2y=102x+5y=8，
∴7x+7y＝18，
∴x+y=187，
∴1头牛和1只羊共值金187两，
故答案为：187．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　35　．
【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
【解答】解：根据题意，如表格所设：

香樟数量
红枫数量
总量
甲
4x
5y﹣4x
5y
乙
3x
6y﹣3x
6y
丙
9x
7y﹣9x
7y
∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，
∴5y−4x6y−3x=23，
∴y＝2x，
故数量可如下表：

香樟数量
红枫数量
总量
甲
4x
6x
10x
乙
3x
9x
12x
丙
9x
5x
14x
所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，
设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b，
由题意得，
[16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b，
∴12a+25b＝16a+20b，
∴4a＝5b，
设a＝5k，b＝4k，
∴16×(1−6.25%)×0.8×520×1.25×4=35，
故答案为：35．
【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
5．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 　6x+4y=764x+2y=46　；
（2）求兽、鸟各有多少．
【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x，y的二元一次方程组；
（2）解方程组，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵兽与鸟共有76个头，
∴6x+4y＝76；
∵兽与鸟共有46只脚，
∴4x+2y＝46．
∴可列方程组为6x+4y=764x+2y=46．
故答案为：6x+4y=764x+2y=46．
（2）原方程组可化简为3x+2y=38①2x+y=23②，
由②可得y＝23﹣2x③，
将③代入①得3x+2（23﹣2x）＝38，
解得x＝8，
∴y＝23﹣2x＝23﹣2×8＝7．
答：兽有8只，鸟有7只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
【分析】设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×数量，结合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果．
【解答】解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
依题意得：x+2y=4003x+4y=1000，
解得：x=200y=100，
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
【分析】（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据“A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，
根据题意，得x+y=6000x=12y+600，
解得x=2400y=3600，
答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；
（2）设安排m人种植A种苗木，
根据题意，得240050m=360030(350−m)，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，
350﹣m＝350﹣100＝250（人），
答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
8．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据“购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种跳绳m根，则购买B种跳绳（45﹣m）根，利用总价＝单价×数量，结合总价不少于548元且不多于560元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案；
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
依题意得：10x+5y=17515x+10y=300，
解得：x=10y=15．
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元．
（2）∵该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳m根，
∴购买B种跳绳（45﹣m）根．
依题意得：10m+15(45−m)≤56010m+15(45−m)≥548，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m为整数，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买23根A种跳绳，22根B种跳绳；
方案2：购买24根A种跳绳，21根B种跳绳；
方案3：购买25根A种跳绳，20根B种跳绳．
（3）设购买跳绳所需总费用为w元，则w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝25时，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是550元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
04 一元二次方程的概念及解法
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解一元二次方程常用的方法有：直接开配方法、配方法、公式法、因式分解法.

1．（2022秋•小店区校级期末）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，
∴1+a﹣2＝0，
∴a＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决问题的关键．
2．（2022秋•黄州区校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+2＝0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．±1 D．1
【分析】先根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+2＝0是一元二次方程，
∴m−1≠0|m|+1=2，
∴m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+14m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
4．（2022秋•二七区校级期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．10 C．6或10 D．8或10
【分析】先利用一元二次方程解的定义把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得m＝2，则方程化为x2﹣6x+8＝0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣（m+4）x+4m＝0得4﹣2（m+4）+4m＝0，解得m＝2，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
∵2+2＝4，
∴三角形三边为4、4、2，
∴△ABC的周长为10，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．（2022秋•孝南区期末）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（　　）
A．1 B．2 C．12 D．32
【分析】根据方程的根的定义，把x＝a代入方程求出2a2+4a﹣3＝0，易得答案．
【解答】解：∵a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，
∴2a2+4a﹣3＝0，
整理得，a2+2a=32，
∴a2+2a﹣1=32−1=12，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（2022秋•北碚区校级期末）有若干个依次排列的整式：第1个a1＝﹣x2+x是，用a1减去（x﹣1）得到b1，将b1乘以x，得到a2，再a2将减去（x﹣1）得到b2，将b2乘以x，得到a3，以此类推，下列结论中正确的个数为（　　）
①方程a3＝0的实数解为x＝1；
②b2022＝﹣x2023+1；
③a9＝x（1﹣x）（x8+x7+x6+……+x+1）；
④当x＝4时，则b1001−x（x≠1）的值为4100−13．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意可以得出规律，an＝﹣xn+1+x，bn＝﹣xn+1+1，根据规律逐项求解判断即可．
【解答】解：由题意可知，第1个a1＝﹣x2+x，用a1减去（x﹣1）得到b1，将b1乘以x，得到a2，
∴b1＝﹣x2+x﹣（x﹣1）＝﹣x2+1，
∴a2＝（﹣x2+1）x＝﹣x3+x，
∵将第2项a2减去（x﹣1）得到b2，将b2乘以x得到第3项a3，
∴b2＝﹣x3+x﹣（x﹣1）＝﹣x3+1，
∴a3＝（﹣x3+1）x＝﹣x4+x，
…，以此类推，
∴an＝﹣xn+1+x，bn＝﹣xn+1+1，
∴a3＝﹣x4+x，
解方程﹣x4+x＝0，得x＝0，1，
∴方程a3＝0的实数解为0，1，故结论①错误；
∵bn＝﹣xn+1+1，
∴b2022＝﹣x2023+1，故结论②正确；
∵an＝﹣xn+1+x，
∴a9＝﹣x10+x＝x（1﹣x9）＝x（1﹣x）（x8+x7+x6+……+x+1），故结论③正确；
∵bn＝﹣xn+1+1，
∴bk＝﹣xk+1+1＝（1﹣x）（xk+xk﹣1+•••+x+1），
∴bk1−x=xk+xk﹣1+•••+x+1，
当x＝4时，b1001−x=4100+499+•••+4+1=1−41011−4=4101−13，故结论④错误．
所以正确的结论为：②③，一共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律是解答此题的关键，难度较大．
7．（2022秋•中宁县期末）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0．
（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）．
【分析】（1）根据所给方程的系数特点，易于配方，应该用配方法进行解答．
（2）先移项，然后将（3﹣x）变为﹣（x﹣3），即可用提取公因式法对左边进行因式分解，进而用因式分解法解答．
【解答】解：（1）∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
∴x2+4x+4＝5+4，
∴（x+2）2＝9，
∴x+2＝±3
∴x1＝1，x2＝﹣5．
（2）∵（x﹣3）2＝2x（3﹣x），
∴（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3+2x）（x﹣3）＝0，
∴（3x﹣3）（x﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法时，即可考虑用配方法或公式法，这两种方法适用于任何一元二次方程．
8．（2022秋•阜宁县期末）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x+4＝3，
∴（x﹣2）2＝3，
∴x＝2±3．
（2）∵2x（x﹣2）＝x﹣2，
∴2x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x=12或x＝2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
9．（2022秋•未央区校级期末）解方程
（1）x2﹣3x﹣9＝0；
（2）x（x+4）＝2x+8．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，
∴Δ＝b2﹣4ac＝45，
∴x=−b±b2−4ac2a=3±452=3±352，
∴x1=3+352，x2=3−352；
（2）x（x+4）＝2x+8，
x（x+4）﹣2（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键．
10．（2022秋•小店区校级期末）（1）计算：2cos30°+(π−2022)0+|3−2|．
（2）下面是某同学解方程（x+3）2﹣4＝0的过程．
解：移项，得（x+3）2＝4，……第一步
两边开平方，得x+3＝2，……第二步
∴x＝﹣1．……第三步
该同学的解答从第 　二　步开始出错，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2cos30°+(π−2022)0+|3−2|
＝2×32+1+2−3
=3+1+2−3
＝3；
（2）该同学的解答从第二步开始出错，
正确的解答过程如下：
（x+3）2﹣4＝0，
（x+3）2＝4，
x+3＝±2，
x+3＝2或x+3＝﹣2，
x1＝﹣2，x1＝﹣5，
故答案为：二．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
05 根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca

1．（2022秋•市北区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜3且a≠2 D．a＜﹣3
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a﹣2≠0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣2）×1＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3且a≠2．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
2．（2022秋•海港区校级期末）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥−98 B．m≤−98
C．m≥−98且m≠﹣1 D．m≤−98且m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m+1≠0，即m≠﹣1，且Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，
∴m+1≠0，即m≠﹣1，且Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m+1）（m﹣2）≥0，4m+1+4m+8≥0，
解得m≥−98，
∴当m≥−98且m≠﹣1时，方程有两个实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．（2022秋•三河市校级期末）若关于x的方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n＝﹣1的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】先计算方程x2+mx+n＝0根的判别式得到Δ＝m2﹣4n＝0，再计算方程x2+mx+n＝﹣1的判别式得出Δ＝m2﹣4n﹣4＝﹣4＜0，最后根据根的判别式意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴m2﹣4n＝0，
一元二次方程x2+mx+n＝﹣1，即x2+mx+n+1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×（n+1）＝m2﹣4n﹣4＝0﹣4＝﹣4＜0，
使用方程x2+mx+n＝﹣1没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+14m＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b*b﹣a*a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
5．（2022秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（　　）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【分析】利用一元二次方程的解，可得出α2﹣2α＝2022，利用根与系数的关系，可得出α+β＝2，再将其代入α2﹣4α﹣2β﹣2＝（α2﹣2α）﹣2（α+β）﹣2中，即可求出结论．
【解答】解：∵α是方程x2﹣2x﹣2022＝0的实数根，
∴α2﹣2α﹣2022＝0，
∴α2﹣2α＝2022．
∵α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，
∴α2﹣4α﹣2β﹣2＝（α2﹣2α）﹣2（α+β）﹣2＝2022﹣2×2﹣2＝2016．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“α2﹣2α＝2022，α+β＝2”是解题的关键．
6．（2022秋•武昌区校级期末）若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是 　﹣3　．
【分析】根据两根之积为ca，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两个根，
∴x1•x2=ca=−3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积为ca是解题的关键．
7．（2022秋•西安期末）x1，x2为一元二次方程x2﹣2x﹣10＝0的两根，则1x1+1x2=　−15　．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣10，将其代入1x1+1x2=x1+x2x1x2中，即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程x2﹣2x﹣10＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣10，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2−10=−15．
故答案为：−15．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
8．（2022秋•天山区期末）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝　2023　．
【分析】先根据根与系数的关系可求α+β＝2022，αβ＝1，再把α+β，αβ的值整体代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，
∴α+β＝2022，αβ＝1，
∴α+β+αβ＝2022+1＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是注意根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．（2022秋•二七区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k2（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且满足（x1﹣x2）2＝12﹣x1x2，试求出k的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再进行配方法得到Δ＝22+4k2，则根据非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣k2，再利用（x1﹣x2）2＝12﹣x1x2，得到＝0，然后解一次方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k2）
＝4k2+4，
∴Δ＞0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣k2，
∵（x1﹣x2）2＝12﹣x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，
∴4+2k2＝12，
∴k＝±2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
10．（2022秋•金水区校级期末）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求它的另一个根及m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）先把x＝2代入方程得m＝1，则方程化为x2﹣x﹣2＝0，设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝1，然后求出t即可；
（2）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，然后利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义可得到结论．
【解答】（1）解：把x＝2代入方程得4﹣2m+m﹣3＝0，解得m＝1，
方程化为x2﹣x﹣2＝0，
设方程的另一根为t，
则2+t＝1，解得t＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1，m的值为1；
（2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3）
＝m2﹣4m+12
＝（m﹣2）2+8，
∵（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．
11．（2022秋•黄州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝9，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m+1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得：4m+5≥0，
解得：m≥−54；
（2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2m﹣1，x1x2＝m2﹣1，
∵x12+x22＝9，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（﹣1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9，
整理得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1，
则m的值为1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
12．（2022秋•南沙区校级期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标
得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2+2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 　（0，2）．　．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标：
②直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l2相交于点C（1，4）．若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；
（2）①由①Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，即可得出结论；
②先确定出点M的坐标，进而判断出点M在直线y＝x+2上，借助图象即可得出结论；
（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；
【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝2
故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．
故答案为：（0，2）．
（2）x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0，
①∵Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0，
解得：x1＝m﹣2，x2＝m，
方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0的衍生点为M（m﹣2，m）．
②∵直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，
∴A（﹣5，0），
由①得，M（m﹣2，m），
令m﹣2＝x，m＝y，
∴y＝x+2，
∴点M在直线y＝x+2上，刚好和△ABC的边BC交于点（0，2），
令y＝0，则x+2＝0，
∴x＝﹣2，
∴﹣2＜m﹣2＜0；
∴0＜m＜2；
（3）存在．
直线y＝﹣kx+2（4+k）＝﹣k（x+4）+8，过定点M（﹣4，8），
∴x2+bx+c＝0两个根为x1＝﹣4，x2＝8，
∴﹣4+8＝﹣b，﹣4×8＝c，
∴b＝﹣4，c＝﹣32．

【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
06 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即 原数×（1+增长百分率）²=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
（5）销售问题：利润=售价-进价，总利润=利润×销售量

1．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤43223，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1﹣x）2＝48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【解答】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1﹣x）2＝48.6，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20﹣a）件，
由题意可得，[60（1﹣10%）﹣40]a+（48.6﹣40）×（20﹣a）≥200，
解得a≥5527，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
【点评】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．
3．（2022秋•越秀区期末）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，利用五月份的全天包车数＝三月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据公司每月获得的租金总额为8800元，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价10元．
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意得：36（1+x）2＝81，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．
答：全天包车数的月平均增长率为50%；
（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，
根据题意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，
整理得：y2﹣90y+800＝0，
解得：y1＝10，y2＝80，
又∵要尽可能的减少租车次数，
∴y＝10．
答：当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2022秋•白云区校级期末）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？

【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）由矩形菜园面积是320m2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合a＝41，即可确定x的值；
（2）由矩形菜园面积是400m2，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出矩形菜园的面积不能达到400m2；
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．
（1）依题意得：x（54﹣2x+2）＝320，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；
当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．
答：x的值为8或20．
（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到400m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2022秋•双流区期末）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【解答】解：（1）当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝40000，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5．
答：当x为2或5元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元；
（2）该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元，理由如下：
当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为（10﹣x）元，每天可售出（3000+1000x）件，
根据题意得：（10﹣x）（3000+1000x）＝50000，
整理得：x2﹣7x+20＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×20＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
即该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
6．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只花费了1200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，利用数量＝总价÷单价，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每张电影票的原定零售票价是x元，则降价后的零售票价是（x﹣16）元，
根据题意得：2000x=1200x−16，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意．
答：每张电影票的原定零售票价是40元；
（2）设平均每次降价的百分率为y，
根据题意得：40（1﹣y）2＝32.4，
解得：y1＝0.1＝10%，y2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
7．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论；
（3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：2k+b=1005k+b=160，
解得：k=20b=60，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）
＝16×140
＝2240（元）．
答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．
（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
8．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
【分析】（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，利用2021年同期该品牌小家电出厂价＝2019年这个小家电出厂价×（1﹣该小家电出厂价平均每年下调的百分率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，可得出该商品每台的销售定价，再将其代入（1000﹣10y）中，即可求出进货数量．
【解答】解：（1）设该小家电出厂价平均每年下调的百分率为x，
根据题意得：62.5（1﹣x）2＝40，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：该小家电出厂价平均每年下调的百分率为20%；
（2）设该商品每台的销售定价为y元，则每台的销售利润为（y﹣40）元，每月可售出500﹣10（y﹣50）＝（1000﹣10y）台，
根据题意得：（y﹣40）（1000﹣10y）＝8750，
解得：y1＝65，y2＝75，
当y＝65时，1000﹣10y＝1000﹣10×65＝350＞300，不符合题意，舍去；
当y＝75时，1000﹣10y＝1000﹣10×75＝250＜300，符合题意．
答：该商品每台的销售定价为75元，应进货250台．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
07 分式方程及解法
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．

1．（2022秋•定襄县期末）将关于x的分式方程3x−2=52−x−1去分母、去括号后所得整式方程正确的是（　　）
A．3＝﹣5﹣x+2 B．3＝﹣5﹣x﹣2 C．3＝5﹣x+2 D．3＝5﹣x﹣2
【分析】分式方程变形后，两边同乘（x﹣2）去分母，去括号得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程变形得：3x−2=−5x−2−1，
去分母得：3＝﹣5﹣（x﹣2），
去括号得：3＝﹣5﹣x+2，
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
2．（2022•牡丹江）若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则m的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【分析】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x=−2m−3，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
3．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的取值范围．
【解答】解：2−1−2kx−2=12−x，
2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，
2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，
2x＝4﹣2k，
x＝2﹣k，
∵方程的解为正数，
∴2﹣k＞0，
∴k＜2，
∵x≠2，
∴2﹣k≠2，
∴k≠0，
∴k＜2且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
4．（2022•营口）分式方程3x=2x−2的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
【分析】方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x﹣2）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：3x=2x−2，
方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
5．（2022•黄石）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是 　a＜1且a≠0　．
【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
【点评】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．
6．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b=1a−1b．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 　56　．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：
12x−1−12=1，
解得：x=56．
经检验，x=56是原方程的根，
∴x=56．
故答案为：56．
【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
7．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是 　m＞0且m≠1　．
【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
【解答】解：1x−2+2x+2=x+2m(x+2)(x−2)，
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
8．（2022•永州）解分式方程2x−1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 　x（x+1）　．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
9．（2022•西宁）解方程：4x2+x−3x2−x=0．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
【点评】本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．
10．（2022•青海）解方程：xx−2−1=4x2−4x+4．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：xx−2−1=4x2−4x+4，
xx−2−1=4(x−2)2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
08 分式方程的应用
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间

1．（2021•德州）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶（　　）
A．30km B．36km C．40km D．46km
【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，由题意：小王家距上班地点18km，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶xkm，则乘公交车平均每小时行驶（x+10）km，
由题意得：18x+10=18x×34，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
则x+10＝40，
即小王乘公交车上班平均每小时行驶40km，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程
2．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列方程可得结论．
【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则5030=30x，
解得：x=30×35=18（升），
经检验：x＝18是原分式方程的解，
答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，本题首先要弄清题意，正确列分式方程是本题的关键．
3．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（　　）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h，乙的速度为803−xkm/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【解答】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为180xkm/h，乙的速度为803−xkm/h，
根据题意得：180(3−x)x=80x3−x，
解得：x1＝1.8，x2＝9，
经检验：x1＝1.8，x2＝9是原方程的解，
x2＝9不合题意，舍去，
故选：C．
【点评】考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是能够分别表示出各自的实际速度，难度中等．
4．（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 　500　棵．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，
依题意得：6000x−6000(1+25%)x=3，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝500．
故答案为：500．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2020•西宁）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是　2.5　元．
【分析】设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，根据数量＝总价÷单价结合两次共购进口罩2200个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，
依题意得：600021.2x+60002x=2200，
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2016•盘锦）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒　60　元．
【分析】设第一批鲜花礼盒的进价是每盒x元，则第二批鲜花礼盒的进价是每盒（x﹣10）元，根据题意找出等量关系列出方程解答即可．
【解答】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒x元，则第二批鲜花礼盒的进价是每盒（x﹣10）元，根据题意可得：
3000x×2=5000x−10，
解得：x＝60，
经检验得：x＝60是原方程的根．
故答案为：60．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意．
7．（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意得：330x+30=240x，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，
依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，
解得y≤623，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，由等量关系：用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个列出方程，解方程即可；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，由题意：购买篮球和排球的总费用不多于28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，
依题意得：3200x−36001.5x=10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，
依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以购买100个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，利用数量＝总价÷单价，结合用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B款套装的单价，再将其代入1.2x中即可求出A款套装的单价．
【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
依题意得：99001.2x−7500x=5，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×150＝180．
答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：60×0.6a=36a（元），
即新能源车的每千米行驶费用为36a元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴40×9a−36a=0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
09 不等式（组）及解法
根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

1．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A．x＜1x＜−1 B．x＜1x＞−1 C．x＞1x＜−1 D．x＞1x＞−1
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【解答】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
2．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．
【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式，解答本题的关键是理解“不大于”的意思，列出不等式．
3．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　）
A．m﹣2＜n﹣2 B．−12m＞−12n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
【分析】A、不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变；
B、不等式的两边同时乘以−12，不等号的方向改变；
C、不等式的两边同时减去m，不等号的方向不变；
D、不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变．
【解答】解：A、m﹣2＞n﹣2，∴不符合题意；
B、−12m＜−12n，∴不符合题意；
C、m﹣n＞0，∴不符合题意；
D、∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
∴1﹣2m＜1﹣2n，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的3个性质是解题关键．
4．（2022•聊城）关于x，y的方程组2x−y=2k−3，x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（　　）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
【分析】两个方程相减可得出x+y＝k﹣3，根据x+y≥5列出关于k的不等式，解之可得答案．
【解答】解：把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，
根据题意得：k﹣3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力、不等式的基本性质等知识点．
5．（2022•济宁）若关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，
∵关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．（2022•德州）不等式组3(x+2)−x＞41+2x3＞x−1的解集是 　﹣1＜x＜4　．
【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可．
【解答】解：3(x+2)−x＞4①1+2x3＞x−1②，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，
故答案为：﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查解不等式组，解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集．
7．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 　1≤n＜3　．
【分析】先解方程13x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到1≤n2n−6＜0，然后解n的不等式组即可．
【解答】解：解方程13x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组x−2≤n2n−2x＜0的解，
∴1≤n2n−6＜0，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了解一元一次方程的解．
8．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 　0＜1m≤15　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式2x+3≥x+m，得：x≥m﹣3，
解不等式2x+53−3＜2﹣x，得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴m﹣3≥2，
∴m≥5，
∴0＜1m≤15，
故答案为：0＜1m≤15．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2022•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式3x−62＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
10．（2022•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

10 不等式及应用
由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．

1．（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（　　）
A．8 B．6 C．7 D．9
【分析】设可以打x折出售此商品，根据售价﹣进价＝利润，利润＝进价×利润率可得不等式，解之即可．
【解答】解：设可以打x折出售此商品，
由题意得：240×x10−120≥120×20%，
解得x≥6，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次不等式的应用，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键
2．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 　32　元．

【分析】设该护眼灯可降价x元，根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价x元，
根据题意，得320−x−240240×100%≥20%，
解得x≤32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
3．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【分析】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250，(120−100)x+(100−75)y=2350．
解这个方程组，得x=30，y=70．，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，能根据题意列出方程组和不等式组是解此题的关键．
4．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是（x+20）元，
根据题意得：10（x+20）+10x＝1760，
解得：x＝78，
∴x+20＝78+20＝98，
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”（50﹣a）个，
根据题意得：98a+78（50﹣a）≤4500，
解得：a≤30，
∴a最大值是30，
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．
5．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，可得：3x+2y=5602x+4y=640，即可解得每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，可得：120m+100（10﹣m）≤1100，即可解得最多可以购买5个篮球．
【解答】解：（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：3x+2y=5602x+4y=640，
解得x=120y=100，
∴每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元；
（2）设购买m个篮球，
根据题意得：120m+100（10﹣m）≤1100，
解得m≤5，
答：最多可以购买5个篮球．
【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
6．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，利用总产量＝亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：7200x−96002x=4，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×600＝1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
（2）设把y亩B块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600（7200600−y）+1200y≥17700，
解得：y≥1.5．
答：至少把1.5亩B块试验田改种杂交水稻．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
7．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，解得m的范围，解得一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元．
【解答】解：（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）∵7×35＝245＜255，8×35＝280＞255，
∴租车总费用最少时，至少租8两辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．
8．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：2a+3b=5103a+5b=810，
解得a=120b=90，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴x≥30120x+90(50−x)≤5500，
解得30≤x≤3313，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
9．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【分析】（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，根据“购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，利用总价＝单价×数量，结合购进A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每件A种农产品的价格是x元，每件B种农产品的价格是y元，
依题意得：2x+3y=690x+4y=720，
解得：x=120y=150．
答：每件A种农产品的价格是120元，每件B种农产品的价格是150元．
（2）设该经销商购进m件A种农产品，则购进（40﹣m）件B种农产品，
依题意得：m≤3(40−m)120m+150(40−m)≤5400，
解得：20≤m≤30．
设两种农产品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（160﹣120）m+（200﹣150）（40﹣m）＝﹣10m+2000．
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝20时，w取得最大值，此时40﹣m＝40﹣20＝20．
答：当购进20件A种农产品，20件B种农产品时获利最多．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
10．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进mkg菠萝，则购进1700−5m6kg苹果，根据“菠萝的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，
依题意得：x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴（6﹣5）x+（8﹣6）y＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg菠萝，则购进1700−5m6kg苹果，
依题意得：m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6＞500，
解得：88≤m＜100．
又∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案1：购进88kg菠萝，210kg苹果；
方案2：购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．