易错点01数与式-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（解析版）

这是一份易错点01数与式-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（解析版），共44页。试卷主要包含了0−8+tan45°，﹣1等内容，欢迎下载使用。

备战2023年中考数学考试易错题
易错点01 数与式
1. 实数的有关概念
2. 平方根、算术平方根与立方根
3. 实数的运算
4. 整式的化简求值
5. 因式分解
6. 分式的有关概念
7. 二次根式
8. 分式的混合运算与化简求值
9. 数字的变化规律
10. 图形的变化规律
01 有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。弄不清绝对值与数的分类。选择题考得比较多。

1．（2022•德州）下列实数为无理数的是（　　）
A．12 B．0.2 C．﹣5 D．3
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解析】A．12是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．3是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2．（2022•淄博）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．12
【分析】根据相反数的定义求出a的值，代入代数式求值即可．
【解析】∵实数a的相反数是﹣1，
∴a＝1，
∴a+1＝2．
故选：A．
【点评】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
3．（2022•巴中）下列各数是负数的是（　　）
A．（﹣1）2 B．|﹣3| C．﹣（﹣5） D．3−8
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．
【解析】（﹣1）2＝1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|﹣3|＝3，是正数，故 B 选项不符合题意；
﹣（﹣5）＝5，是正数，故 C 选项不符合题意；
3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2022•镇江）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（　　）

A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
【分析】首先利用数轴上的信息确定a、b的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解析】根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
5．（2022•黄石）1−2的绝对值是（　　）
A．1−2 B．2−1 C．1+2 D．±（2−1）
【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案．
【解析】1−2的绝对值是2−1；
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握定义是解题关键．
6．（2022•资阳）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么3在数轴上对应的点可能是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】由1＜3＜2，再结合数轴即可求解．
【解析】∵1＜3＜2，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，确定3的范围是解题的关键．
02 平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．

1．（2022•攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．2 D．±2
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解析】因为（±2）2＝2，
所以2的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（2022•兰州）计算：4=（　　）
A．±2 B．2 C．±2 D．2
【分析】利用算术平方根的性质求解．
【解析】∵4=22=2．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
3．（2022•绵阳）正整数a、b分别满足353＜a＜398、2＜b＜7，则ba＝（　　）
A．4 B．8 C．9 D．16
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算ba．
【解析】∵353＜364＜398，2＜4＜7，
∴a＝4，b＝2．
∴24＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a、b的值是解决本题的关键．
4．（2022•临沂）满足m＞|10−1|的整数m的值可能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】用夹逼法估算无理数的大小，根据正数的绝对值等于它本身得到2＜|10−1|＜3，从而得出答案．
【解析】∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∴2＜10−1＜3，
∴2＜|10−1|＜3，
∴m可能是3，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
5．（2022•台湾）2022的值介于下列哪两个数之间？（　　）
A．25，30 B．30，35 C．35，40 D．40，45
【分析】估算2022介于哪两个平方数之间便可．
【解析】∵442＝1936，452＝2025，1936＜2022＜2025，
∴44＜2022＜45，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是得出正确答案的前提．
03 关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

1．（2022•内蒙古）计算：（−12）﹣1+2cos30°+（3﹣π）0−3−8．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再计算得出答案．
【解析】原式＝﹣2+2×32+1+2
＝﹣2+3+1+2
=3+1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
2．（2022•菏泽）计算：（12）﹣1+4cos45°−8+（2022﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解析】原式＝2+4×22−22+1
＝2+22−22+1
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
3．（2022•济南）计算：|﹣3|﹣4sin30°+4+（13）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解析】原式＝3﹣4×12+2+3
＝3﹣2+2+3
＝6．
【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2022•湘西州）计算：16−2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．
【分析】先计算开方、绝对值、零指数幂、特殊的三角函数值，再合并即可．
【解析】原式＝4﹣2×1+3+1
＝4﹣2+3+1
＝6．
【点评】此题考查的是实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
5．（2022•益阳）计算：（﹣2022）0+6×（−12）+8÷2．
【分析】利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简运算即可．
【解析】原式＝1+（﹣3）+2
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
6．（2022•西宁）计算：（﹣2）3+12+（13）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
【解析】原式＝﹣8+23+3
＝23−5．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，二次根式的化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2022•西藏）计算：|−2|+（12）0−8+tan45°．
【分析】根据绝对值的意义，零指数幂的定义，数的开方法则以及特殊角的三角函数的值代入计算即可．
【解析】原式=2+1−22+1
＝2−2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则和方法是解本题的关键．
8．（2022•盐城）|﹣3|+tan45°﹣（2−1）0．
【分析】先计算（2−1）0，化简绝对值、代入tan45°，最后加减．
【解析】原式＝3+1﹣1
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
9．（2022•郴州）计算：（﹣1）2022﹣2cos30°+|1−3|+（13）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解析】（﹣1）2022﹣2cos30°+|1−3|+（13）﹣1
＝1﹣2×32+3−1+3
＝1−3+3−1+3
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
10．（2022•深圳）（π﹣1）0−9+2cos45°+（15）﹣1．
【分析】利用零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂计算即可．
【解析】原式＝1﹣3+2×22+5＝3+1＝4．
【点评】本题考查了零指数幂，特殊三角函数及负整数指数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
04 整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.

1．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解析】原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
2．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a=2−4．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a=2−4时，原式＝4+2−4
=2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解析】x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022•常州）计算：
（1）（2）2﹣（π﹣3）0+3﹣1；
（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．
【分析】（1）利用实数的运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得出答案．
【解析】（1）原式＝2﹣1+13
=43；
（2）原式＝（x2+2x+1）﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
【点评】此题主要考查了整式的运算、实数运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（2022•无锡）计算：
（1）|−12|×（−3）2﹣cos60°；
（2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．
【解析】（1）原式=12×3−12
=32−12
＝1；
（2）原式＝a2+2a﹣（a2﹣b2）﹣b2+3b
＝a2+2a﹣a2+b2﹣b2+3b
＝2a+3b．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，单项式乘多项式，平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
6．（2022•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：
（1）（x−1x）2；
（2）x4+1x4．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解析】（1）∵(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2，
∴(x−1x)2=x2−2⋅x⋅1x+1x2
=x2+2x⋅1x+1x2−4x⋅1x
=(x+1x)2−4x•1x
＝32﹣4
＝5；
（2）∵(x−1x)2=x2−2+1x2，
∴x2+1x2
=(x−1x)2+2
＝5+2
＝7，
∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，
∴x4+1x4
=(x2+1x2)2−2
＝49﹣2
＝47．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
05 因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．

1．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　a（a﹣3）2　．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解析】原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案为：a（a﹣3）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
2．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝　（m+n﹣3）2　．
【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解析】原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
3．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝　2022（x﹣1）2　．
【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝2022（x2﹣2x+1）
＝2022（x﹣1）2．
故答案为：2022（x﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
4．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　24　．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
【解析】∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．
5．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝　x2（1+x）（1﹣x）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】原式＝x2（1﹣x2）
＝x2（1+x）（1﹣x）．
故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 　10　．
【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+9
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+9
＝a+b+9
＝10．
方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10
＝a2﹣（b﹣1）2+10
＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．
又∵a+b＝1，
∴原式＝10．
【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
7．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是 　6　．
【分析】将a2b+ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【解析】a2b+ab2＝ab（a+b），
∵ab＝2，a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝　（a2+1）（a+2）（a﹣2）　．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．
【解析】a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．
06 分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

1．（2022•凉山州）分式13+x有意义的条件是（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x≠0，然后进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
3+x≠0，
∴x≠﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．使分式x−1x2−3x+2有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≠2
C．x≠1且x≠2 D．x可为任何数
【分析】分式有意义的条件是分母≠0，即x2﹣3x+2≠0，解得x．
【解析】∵x2﹣3x+2≠0即（x﹣1）（x﹣2）≠0，
∴x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x≠1且x≠2．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
3．（2022•广西）当x＝　0　时，分式2xx+2的值为零．
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
2x＝0且x+2≠0，
∴x＝0且x≠﹣2，
∴当x＝0时，分式2xx+2的值为零，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
4．（2022秋•灵宝市期末）已知x+2x−2−（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　x≠2且x≠1　 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0解答．
【解析】由题意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0，
解得x≠2且x≠1．
故答案为：x≠2且x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
5．（2022春•包河区期末）若2a＝8b＝32c，则a+3b−5ca−b的值是 　32　．
【分析】逆用幂的乘方法则把8b、32c写成底数为2的幂的形式，得到a、b、c间关系，代入分式求值即可．
【解析】∵2a＝8b＝32c，
即2a＝23b＝25c，
∴a＝3b＝5c．
∴a+3b−5ca−b
=3b+3b−3b3b−b
=3b2b
=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
6．（2021春•射洪市月考）已知3x−4y−z=02x+y−8z=0，则x2+y2+z2xy−yz+2xz的值是　75　．
【分析】先解三元一次方程组，求出x＝3z，y＝2z，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解析】3x−4y−z=0①2x+y−8z=0②，
②×4得：8x+4y﹣32z＝0③，
①+③得：11x﹣33z＝0，
解得：x＝3z，
把x＝3z代入①得：9z﹣4y﹣z＝0，
解得：y＝2z，
∴x2+y2+z2xy−yz+2xz=9z2+4z2+z26z2−2z2+6z2
=14z210z2
=75，
故答案为：75．
【点评】本题考查了分式的值，解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
7．（2021春•浦江县期末）已知xx2−x+1=17，则x2x4−x2+1=　161　．
【分析】先求已知的倒数等于7，化简后两边平方得62，再把所求式子的倒数求出结果为61，最终结果算出．
【解析】∵xx2−x+1=17，
∴x2−x+1x=7．
∴x﹣1+1x=7．
∴x+1x=8．
∴x2+1x2=62．
∵x4−x2+1x2=x2﹣1+1x2=61，
∴x2x4−x2+1=161．
故答案为161．
【点评】考查分式值的计算，解题的关键是先求倒数．
8．（2020秋•平舆县期末）若1m+1n=3，则分式2m+2n−5mn−m−n的值为　−13　．
【分析】由1m+1n=3可得m+n＝3mn，再将原分式的分子、分母化为含有（m+n）的代数式，进而整体代换求出结果即可．
【解析】∵1m+1n=3，
∴m+nmn=3，即m+n＝3mn，
∴原式=2(m+n)−5mn−(m+n)
=6mn−5mn−3mn
=mn−3mn
=−13，
故答案为：−13．
【点评】本题考查分式的值，理解分式有意义的条件，掌握分式值的计算方法是解决问题的关键．
07 二次根式
二次根式的基本性质：



1．（2022秋•市北区校级期末）下列计算正确的是（　　）
A．|3−9|＝3 B．64=±8
C．(−7)2=−7 D．3(−13)3=−13
【分析】根据二次根式的性质求解．
【解析】|3−9|=39，64=8，(−7)2=7，3(−13)3=−13，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2022秋•江北区校级期末）代数式6−2x有意义，那么x应满足的条件是（　　）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≠3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案．
【解析】∵代数式6−2x有意义，
∴6﹣2x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（2022秋•屯留区期末）下列运算中，正确的是（　　）
A．(23−5)(23+5)=1 B．125−45=25
C．28÷(−127)=−8 D．sin260°+23=532
【分析】根据二次根式的乘法，除法，加法，减法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解析】A、（23−5）（23+5）＝12﹣5＝7，故A不符合题意；
B、125−45=55−35=25，故B不符合题意；
C、28÷（−127）=28×（−27）＝﹣4，故C不符合题意；
D、sin260°+23=（32）2+23=34+23，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022秋•市北区校级期末）计算式子（3−2）2021（3+2）2020的结果是（　　）
A．﹣1 B．3−2 C．2−3 D．1
【分析】先根据积的乘方进行变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【解析】（3−2）2021（3+2）2020
＝[（3−2）×（3+2）]2020×（3−2）
＝（﹣1）2020×（3−2）
＝1×（3−2）
=3−2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和积的乘方等知识点，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
5．（2022秋•南安市期中）x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z=5882+2352+22，则x、y、z的大小关系是（　　）
A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【分析】提取公因数求出x，将2021×2019写成（2020+1）×（2020﹣1），再利用平方差公式进行计算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可．
【解析】x＝591×2021﹣591×2020，
＝591×（2021﹣2020），
＝591，
y＝20202﹣2021×2019，
＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1），
＝20202﹣20202+1，
＝1，
z=5882+2×588×2+22
=(588+2)2，
＝590，
∵1＜590＜591，
∴y＜z＜x．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式和实数的大小比较，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，本题难点在于对z的整理．
6．（2022秋•北碚区校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简a2−8a+16+(a−11)2结果为（　　）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解析】∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式=(a−4)2+(a−11)2
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
7．（2022•南京模拟）设△ABC的三条边为a，b，c，且a，b，c，满足关系式：(a−3)2+|4−b|+(c−5)2=0，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【分析】利用非负数的性质，勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】∵(a−3)2+|4−b|+(c−5)2=0，(a−3)2≥0，|4﹣b|≥0，（c﹣5）2≥0，
∴a﹣3＝0，4﹣b＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5．
∵a2+b2＝25＝c2，△ABC的三条边为a，b，c，
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，非负数的意义，勾股定理的逆定理，利用非负数的意义求得三角形的三边长度是解题的关键．
二．解答题（共3小题）
8．（2022秋•裕华区校级期末）计算：
（1）(π−2009)0+12+|3−2|+(−14)−2；
（2）(3+2)(2−3)+(3−2)2．
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解析】（1）原式＝1+23+2−3+16
＝19+3；

（2）原式＝22﹣（3）2+（3）2﹣2×3×2+（2）2
＝4﹣3+3﹣26+2
＝6﹣26．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算和二次根式的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
9．（2022秋•沈阳期末）计算：
（1）（2+3）2−24；
（2）（13+27）×3−|5−2|．
【分析】（1）先根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则和绝对值进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解析】（1）原式＝2+26+3﹣26
＝5；

（2）原式=13×3+27×3−（5−2）
＝1+9−5+2
＝12−5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．观察下列等式：
①12+1=2−1；
②13+2=3−2；
③14+3=4−3；……．
（1）请用字母表示你所发现的规律：1n+1+n=　n+1−n　（n为正整数）；
（2）计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12016+2017．
【分析】（1）利用分母有理化的方法，化简即可．
（2）利用分母有理化的方法，化简即可．
【解析】（1）观察题目，可知
12+1=2−1，
13+2=3−2，
14+3=4−3，
……
依次类推，可得规律
1n+1+n=n+1−n；
故答案为：n+1−n；

（2）根据（1）中的规律，
原式=(2−1)+(3−2)+⋯⋯+(2017−2016)
=2017−1．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化等知识，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
08 分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

1．（2022秋•东昌府区校级期末）先化简，再求值：a2−4a÷(a−4a−4a)−2a−2，其中a=(π−2022)0+(12)−1．
【分析】先化简分式，再求出a的值代入化简后的式子求值．
【解析】a2−4a÷（a−4a−4a）−2a−2
=(a+2)(a−2)a×a(a−2)2−2a−2
=a+2a−2−2a−2
=aa−2，
∵a=(π−2022)0+(12)−1
＝1+2
＝3，
代入得：原式=33−2=3．
【点评】本题考查分式方程的化简以及特殊三角函数值的运用，计算能力是本题解题关键．
2．（2022秋•九龙坡区校级期末）先化简，再求值：（−6xx−3−x+3）÷x2+9x÷3xx2−9，其中x为不等式组x+4＞05x+1＜2(x−1)的整数解．
【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求出x不能为3、0、﹣3，取x＝﹣2，最后代入求出答案即可．
【解析】（−6xx−3−x+3）÷x2+9x÷3xx2−9
=−6x−(x−3)2x−3•xx2+9•(x+3)(x−3)3x
=−x2−9x−3•xx2+9•(x+3)(x−3)3x
=−(x2+9)x−3•xx2+9•(x+3)(x−3)3x
=−x+33，
解不等式组x+4＞05x+1＜2(x−1)得：﹣4＜x＜﹣1，
所以不等式组的整数解是﹣3，﹣2，
要使分式：（−6xx−3−x+3）÷x2+9x÷3xx2−9有意义，x﹣3≠0且3x≠0且x+3≠0，
所以x不能为3、0、﹣3，
取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式=−−2+33=−13．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
3．（2022秋•西城区期末）已知a=−12，求代数式(a+2a+1a)÷a+1a2的值．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解析】(a+2a+1a)÷a+1a2
=a2+2a+1a•a2a+1
=(a+1)2a•a2a+1
＝a（a+1）
＝a2+a，
当a=−12时，原式＝（−12）2+（−12）=14−12=−14，
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
4．（2022秋•泰山区校级期末）计算：
（1）(x2+1x−2)÷x2−1x；
（2）先化简，再求值：8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)，其中|x|＝2．
【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后算乘法即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x＝﹣2，最后代入求出答案即可．
【解析】（1）(x2+1x−2)÷x2−1x
=(x2+1x−2xx)⋅xx2−1
=x2+1−2xx•x(x+1)(x−1)
=(x−1)2x⋅x(x+1)(x−1)
=x−1x+1；

（2）8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)
=8(x−2)2÷[x2x−2−(x+2)(x−2)x−2]
=8(x−2)2÷x2−(x2−4)x−2
=8(x−2)2÷x2−x2+4x−2
=8(x−2)2•x−24
=2x−2，
要使分式8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)有意义，必须x﹣2≠0且x≠0，
所以x不能为2和0，
∵|x|＝2，
∴x＝±2，舍去x＝2，
当x＝﹣2时，
原式=2−2−2=−12．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
5．（2022秋•越秀区校级期末）先化简（x2−1x2−2x+1+11−x）÷x2x−1，若x的取值范围是﹣1≤x≤1，且为整数，求该式的值．
【分析】先约分，再根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为1和0，取x＝﹣1，最后代入求出答案即可．
【解析】（x2−1x2−2x+1+11−x）÷x2x−1
＝[(x+1)(x−1)(x−1)2−1x−1]÷x2x−1
＝（x+1x−1−1x−1）•x−1x2
=x+1−1x−1•x−1x2
=xx−1•x−1x2
=1x，
要使分式（x2−1x2−2x+1+11−x）÷x2x−1有意义，x﹣1≠0且x≠0，
即x不能为1和0，
∵xx的取值范围是﹣1≤x≤1，且为整数，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原是=1−1=−1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
6．（2022秋•西城区期末）阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
x+2x+3−x+1x+2=1x+2−1x+3；①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
x+3x+4−x+2x+3=1x+3−1x+4；②
x+4x+5−x+3x+4=1x+4−1x+5；③
x+5x+6−x+4x+5=1x+5−1x+6；④
…
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 　x+6x+7−x+5x+6=1x+6−1x+7　；
（2）第n个等式是 　x+n+1x+n+2−x+nx+n+1=1x+n+1−1x+n+2　；
（3）请你证明第n个等式成立．
【分析】（1）先根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可；
（2）先根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可；
（3）先变形，再根据分式的除法法则进行计算，最后根据分式的加减法法则进行计算即可．
【解答】（1）解：第⑤个等式是x+6x+7−x+5x+6=1x+6−1x+7，
故答案为：x+6x+7−x+5x+6=1x+6−1x+7；

（2）解：第n个等式是x+n+1x+n+2−x+nx+n+1=1x+n+1−1x+n+2，
故答案为：x+n+1x+n+2−x+nx+n+1=1x+n+1−1x+n+2；

（3）证明：x+n+1x+n+2−x+nx+n+1
=(x+n+2)−1x+n+2−(x+n+1)−1x+n+1
＝（1−1x+n+2）﹣（1−1x+n+1）
＝1−1x+n+2−1+1x+n+1
=1x+n+1−1x+n+2，
即x+n+1x+n+2−x+nx+n+1=1x+n+1−1x+n+2．
【点评】本题考查了分式的混合运算和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
09 数字的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程

1．（2022秋•荔湾区校级期末）观察下面三行数：
第①行：2、4、6、8、10、12、…
第②行：3、5、7、9、11、13、…
第③行：1、4、9、16、25、36、…
设x、y、z分别为第①、②、③行的第100个数，则2x﹣y+z的值为（　　）
A．10199 B．10201 C．10203 D．10205
【分析】从数字找规律，进行计算分别求出x，y，z的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解析】观察第①行：2、4、6、8、10、12、…2n，
∴第100个数＝2×100＝200，
∴x＝200；
观察第②行：3、5、7、9、11、13、…（2n+1），
∴第100个数＝2×100+1＝201，
∴y＝201；
观察第③行：1、4、9、16、25、36、…n2，
∴第100个数＝1002＝10000，
∴z＝201；
∴2x﹣y+z＝2×200﹣201+10000＝10199，
故选：A．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．
2．（2022秋•桥西区校级期末）如图表示3×3的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以3*1＝2．若2*3＝（2x+1）*2，则x的值为（　　）

A．1，2 B．1，3 C．0，2 D．1，0
【分析】首先根据题意，由2*3＝（2x+1）*2，可得：（2x+1）*2＝3，然后根据数表，可得：2x+1＝3或2x+1＝1，据此求出x的值为多少即可．
【解析】∵2*3＝（2x+1）*2，
∴（2x+1）*2＝3，
根据数表，可得：2x+1＝3或2x+1＝1，
解得：x＝1或x＝0．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
3．（2022秋•天山区校级期末）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2023次输出的结果是（　　）

A．3 B．4 C．2 D．1
【分析】根据输出结果呈现循环，找出循环规律得出结果即可．
【解析】由题知，从第2次开始，输出的结果按6，3，8，4，2，1的顺序出现循环，
（2023﹣1）÷6＝337，
∴第2023次输出结果为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，得出输出结果的循环规律是解题的关键．
4．（2022秋•万源市校级期末）有一列数a1，a2，a3，…，an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2022为（　　）
A．2022 B．2 C．12 D．﹣1
【分析】本题可分别求出n＝2、3、4…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2022代入求解即可．
【解析】依题意得：a1＝2，a2＝1−12=12，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2；
周期为3；
2022÷3＝674
所以a2012＝a3＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键．
5．（2022秋•九龙坡区期末）有n个依次排列的整式，第一项为4x2，第二项是4x2+4x+1，第二项减去第一项的差记为a1，将a1+2己为a2，将第二项加上a2作为第三项，将a2+2记为a3，将第三项与a3相加记为第四项，以此类推，以下结论正确的有（　　）个
①a5＝4x+9
②当x＝2时第4项的值为49．
③若第三项与第四项的和为145，则x＝3，
④第2022项为（2x+2022）2
⑤当n＝k时，a1+a2+a3+⋯+ak＝4kx+k2
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先求出前几项的值，再求出a1，a2，a3的值，找到它们的变化规律，再逐一判断求解．
【解析】由题意得：第一项为：（2x）2，第二项为：（2x+1）2，第三项为：（2x+2）2，第，四项为：（2x+3）2，……，
a1＝4x+1，a2＝4x+3，a3＝4x+5，a4＝4x+7，……，
∴①a5＝4x+9，
故①是正确的；
②当x＝2时，第四项的值为：（2×2+3）2＝49，
故②是正确的；
③解（2x+2）2+（2x+3）2＝145得：x＝3或x＝﹣5.5，
故③是错误的；
④第2022项为（2x+2021）2，
故④是错误的；
⑤当n＝k时，a1+a2+a3+⋯+ak
＝（4x+1）+（4x+3）+……+（4x+2k+1）
＝4kx+k2+k，
故⑤是错误的；
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化类，找到数字的变化规律是解题的关键．
6．（2022秋•江夏区校级期末）观察下列等式找出规律①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；…，则（﹣5）3+（﹣6）3+（﹣7）3+…+（﹣15）3的值是（　　）
A．14400 B．﹣14400 C．14300 D．﹣14300
【分析】将所求的式子化为﹣[13+23+33+…+153﹣（13+23+33+43）]，再求解即可．
【解析】∵①13＝12；②13+23＝32；③13+23+33＝62；④13+23+33+43＝102；…，
∴（﹣5）3+（﹣6）3+（﹣7）3+…+（﹣15）3
＝﹣（53+63+73+…+153）
＝﹣[13+23+33+…+153﹣（13+23+33+43）]
＝﹣（1202﹣102）
＝﹣14300，
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出运算结果的一般规律，并能灵活应用规律是解题的关键．
7．（2022秋•沙坪坝区校级期末）根据绝对值定义：可将|a|表示为|a|=a(a≥0)−a(a＜0)，故化简|a|+|b|可得a+b，a﹣b，﹣a﹣b或﹣a+b四种不同结果，给出下列说法：
①化简|x|+|y|+|z|一共有8种不同的结果；
②化简|x|+|x﹣1|+|x+2|一共有8种不同的结果；
③若an＝|2n﹣9|，Sn＝a1+a2+…+an（n为正整数），则当Sn＝916时，n＝34．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①由于|x|、|y|、|z|的结果分别有两种，则|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2＝8种；
②根据x的取值，化简绝对值运算可得当x≥1时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝3x+1；当0≤x＜1时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝x+3；当﹣2≤x＜0时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝﹣x﹣1；当x＜﹣2时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝﹣3x+3；则|x|+|x﹣1|+|x+2|的结果共有4种，
③根据题意求出Sn＝16+（n﹣4）2，再由16+（n﹣4）2＝916，解出n即可．
【解析】①∵|x|的结果有两种，|y|的结果有两种，|z|的结果有两种，
∴|x|+|y|+|z|的结果共有2×2×2＝8种，
故①符合题意；
②当x≥1时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝x+x﹣1+x+2＝3x+1；
当0≤x＜1时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝x+1﹣x+x+2＝x+3；
当﹣2≤x＜0时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝﹣x+1﹣x+x﹣2＝﹣x﹣1；
当x＜﹣2时，|x|+|x﹣1|+|x+2|＝﹣x+1﹣x﹣x+2＝﹣3x+3；
∴|x|+|x﹣1|+|x+2|的结果共有4种，
故②不符合题意；
③∵an＝|2n﹣9|，
∴Sn＝a1+a2+…+an
＝7+5+3+1+1+3+5+7+…+2n﹣9
＝16+（n﹣4）2，
∵Sn＝916，
∴16+（n﹣4）2＝916，
解得n＝34或n＝﹣26（舍），
∴n＝34，
故③符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质，一元二次方程的解法是解题的关键．
8．（2022秋•九龙坡区校级期末）对于任意一个正整数xi可以按规则生成无穷数串：x1，x2，x3，…，xn，xn+1，…（其中n为正整数），规则为：xn+1=12xn(当xn为偶数)3xn+1(当xn为奇数)．下列说法中，其中正确的个数是（　　）个．
①若x1＝4，则生成的这数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
②若x1＝6，生成的前2022个数之和为55；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32；
④若x4＝7，则x1的值是9或56．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据定义，x1＝4是偶数，按xn+1=12xn计算，可得x2=12x1＝2，2是偶数，同理可得x3＝1，1是奇数，按xn+1＝3xn+1代入可得x4＝4，依次可得生成的数串为4，2，1，4，2，1，•••，发现每3个数一循环，有xi＝xi+3（i为正整数），可作判断；
②同理可得若x1＝6，生成的数串为6，3，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，•••，由此可计算生成的前2022个数之和可作判断；
③计算16的前一个数，可能是32或5两种情况，从而作判断；
④计算第4个数是7时，前3个数，分情况讨论可作判断．
【解析】①若x1＝4，即xn是偶数，x2=12x1=12×4＝2，
x3=12x2=12×2＝1，
x4＝3x3+1＝3×1+1＝4，
x5=12x4＝2，
•••，
每3个数一循环，有x1＝x4，x2＝x5，•••，
∴若x1＝4，则生成的数串中必有xi＝xi+3（i为正整数）；
故①正确；
②若x1＝6，即xn是偶数，x2=12x1=12×6＝3，
x3＝3x2+1＝3×3+1＝10，
x4=12x3+1=12×10＝5，
x5＝3x4+1＝3×5+1＝16，
x6=12x5=12×16＝8，
x7=12x6=12×8＝4，
x8=12x7=12×4＝2，
•••，
从x7开始，每3个数一循环，4+2+1＝7，
∴生成的前2022个数之和＝6+3+10+5+16+8+7×]（2022﹣6）÷3]＝4752，
故②错误；
③若生成的数中有一个xi+1＝16，
则xi有两种情况：
当xi是偶数时，16=12xi，xi＝32；
当xi是奇数时，16＝3xi+1，xi＝5；
若生成的数中有一个xi+1＝16，则它的前一个数xi应为32或5；
故③错误；
④当x4＝7时，有两种情况：
当x3是偶数时，7=12x3，x3＝14，x2＝28，x1＝56或9；
当x3是奇数时，7＝3x3+1，x3＝2（不符合题意，舍）；
故④正确；
其中正确的结论是①④，2个．
故选：B．
【点评】本题考查新定义：无穷数串，有难度，知道这一组数都和前一个数有关系，能够理解定义，分别计算出每一组数串是解题的关键．
10 图形的变化规律类
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

1．（2022秋•宛城区校级期末）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第11个图案中共有小三角形的个数是（　　）


A．34 B．35 C．37 D．40
【分析】观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n﹣1＝3n+4个；由此代入n＝11求得答案即可．
【解析】观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；
第2个图形共有三角形5+3×2﹣1个；
第3个图形共有三角形5+3×3﹣1个；
第4个图形共有三角形5+3×4﹣1个；
…；
则第n个图形共有三角形5+3n﹣1＝3n+4个；
当n＝11时，共有小三角形的个数是3×11+4＝37．
故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
2．（2022秋•南宫市期末）下列各图均是由大小相等的正方形按一定规律进行排列的，若按此规律排列，则图n中正方形的个数是（　　）

A．n+3 B．2n+2 C．3n+1 D．n2+n
【分析】设第n幅图有an个小正方形（n为正整数），根据各图形中小正方形个数的变化可得出变化规律“an＝3n+1（n为正整数）”．
【解析】设第n幅图有an个小正方形（n为正整数），
∵a1＝2+2×1＝4，a2＝3+2×2＝7，a3＝4+2×3＝10，
…，
∴an＝2n+（n+1）＝3n+1（n为正整数），
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中小正方形个数的变化，找出变化规律“an＝5n+3（n为正整数）”是解题的关键．
3．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（　　）

A．297 B．301 C．303 D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解析】观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
4．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（　　）

A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解析】由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．
5．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解析】∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，
∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，

由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝AF＝，
∴AE＝2AM＝2，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2．
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．
6．（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBn∁nDn的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接A1C1，D1B1，可知四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的一半，则S1＝ab，再根据三角形中位线定理可得C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，则S2＝C1×B1D1＝ab，依此可得规律．
【解析】如图，连接A1C1，D1B1，

∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1BCC1是矩形，
∴A1C1＝BC，A1C1∥BC，
同理，B1D1＝AB，B1D1∥AB，
∴A1C1⊥B1D1，
∴S1＝ab，
∵顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，
∴C2D2＝C1，A2D2＝B1D1，
∴S2＝C1×B1D1＝ab，
……
依此可得Sn＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S1、S2发现规律是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　　根．

【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解析】由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键．
8．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 　π　．

【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为π，半圆②弧长为（）2π，半圆③弧长为（）3π，......半圆⑧弧长为（）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
【解析】∵AB＝2，
∴AA1＝1，半圆①弧长为＝π，
同理A1A2＝，半圆②弧长为＝（）2π，
A2A3＝，半圆③弧长为＝（）3π，
.....．
半圆⑧弧长为＝（）8π，
∴8个小半圆的弧长之和为π+（）2π+（）3π+...+（）8π＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．
9．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为 　（1+）2022　．

【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出前几项，然后即可得到PnKn的式子，从而可以写出线段P2023K2023的长．
【解析】由题意可得，
P1K1＝OP1•tan60°＝1×＝，
P2K2＝OP2•tan60°＝（1+）×＝（1+），
P3K3＝OP3•tan60°＝（1+++3）×＝（1+）2，
P4K4＝OP4•tan60°＝[（1+++3）+（1+）2]×＝（1+）3，
…，
PnKn＝（1+）n﹣1，
∴当n＝2023时，P2023K2023＝（1+）2022，
故答案为：（1+）2022．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是发现PnKn的变化特点．
10．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，50节链条总长度为 　91　cm．

【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解析】由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案为：91．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
11．（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：

其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 　45　．
【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解析】图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，数学常识，解题的关键是找出变化规律．
12．（2022•遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 　127　．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解析】∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个），
故答案为：127．
【点评】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．