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易错点02方程与不等式-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（原卷版）
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这是一份易错点02方程与不等式-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（原卷版），共18页。
备战2023年中考数学考试易错题
易错点02 方程与不等式
1一元一次方程及应用
2解二元一次方程组
3二元一次方程组的应用
4一元二次方程的概念及解法
5根的判别式及根与系数的关系
6一元二次方程的应用
7分式方程及解法
8分式方程的应用
9不等式（组）及解法
10不等式及应用
01 一元一次方程及应用
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
1．（2022•黔西南州）小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2
3．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
4．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．（2022•台湾）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．
小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列叙述何者正确？（ ）
A．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
B．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
C．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
D．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
6．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
7．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
8．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
9．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
10．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
02 解二元一次方程组
解二元一次方程组常用的方法有代入消元法和加减消元法.代入法：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.加减法：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数
1．（2022•株洲）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
2．（2022•潍坊）方程组2x+3y=13，3x−2y=0的解为 ．
3．（2022•沈阳）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 ．
4．（2022•随州）已知二元一次方程组x+2y=42x+y=5，则x﹣y的值为 ．
5．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
6．（2022•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
7．（2022•荆州）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
03 二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
1．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
2．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
4．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
5．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
6．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
7．（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
8．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
04 一元二次方程的概念及解法
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解一元二次方程常用的方法有：直接开配方法、配方法、公式法、因式分解法.
1．（2022秋•小店区校级期末）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
2．（2022秋•黄州区校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+2＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．±1 D．1
3．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
4．（2022秋•二七区校级期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．6或10 D．8或10
5．（2022秋•孝南区期末）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．32
6．（2022秋•北碚区校级期末）有若干个依次排列的整式：第1个a1＝﹣x2+x是，用a1减去（x﹣1）得到b1，将b1乘以x，得到a2，再a2将减去（x﹣1）得到b2，将b2乘以x，得到a3，以此类推，下列结论中正确的个数为（ ）
①方程a3＝0的实数解为x＝1；
②b2022＝﹣x2023+1；
③a9＝x（1﹣x）（x8+x7+x6+……+x+1）；
④当x＝4时，则b1001−x（x≠1）的值为4100−13．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋•中宁县期末）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0．
（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）．
8．（2022秋•阜宁县期末）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2x（x﹣2）＝x﹣2．
9．（2022秋•未央区校级期末）解方程
（1）x2﹣3x﹣9＝0；
（2）x（x+4）＝2x+8．
10．（2022秋•小店区校级期末）（1）计算：2cos30°+(π−2022)0+|3−2|．
（2）下面是某同学解方程（x+3）2﹣4＝0的过程．
解：移项，得（x+3）2＝4，……第一步
两边开平方，得x+3＝2，……第二步
∴x＝﹣1．……第三步
该同学的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
05 根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca
1．（2022秋•市北区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜3且a≠2 D．a＜﹣3
2．（2022秋•海港区校级期末）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−98 B．m≤−98
C．m≥−98且m≠﹣1 D．m≤−98且m≠﹣1
3．（2022秋•三河市校级期末）若关于x的方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n＝﹣1的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
5．（2022秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
6．（2022秋•武昌区校级期末）若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是 ．
7．（2022秋•西安期末）x1，x2为一元二次方程x2﹣2x﹣10＝0的两根，则1x1+1x2= ．
8．（2022秋•天山区期末）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝ ．
9．（2022秋•二七区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k2（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且满足（x1﹣x2）2＝12﹣x1x2，试求出k的值．
10．（2022秋•金水区校级期末）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求它的另一个根及m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
11．（2022秋•黄州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝9，求m的值．
12．（2022秋•南沙区校级期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标
得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2+2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标：
②直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l2相交于点C（1，4）．若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
06 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即 原数×（1+增长百分率）²=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
（5）销售问题：利润=售价-进价，总利润=利润×销售量
1．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
2．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
3．（2022秋•越秀区期末）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
4．（2022秋•白云区校级期末）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
5．（2022秋•双流区期末）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
6．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只花费了1200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
7．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
8．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
07 分式方程及解法
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
1．（2022秋•定襄县期末）将关于x的分式方程3x−2=52−x−1去分母、去括号后所得整式方程正确的是（ ）
A．3＝﹣5﹣x+2 B．3＝﹣5﹣x﹣2 C．3＝5﹣x+2 D．3＝5﹣x﹣2
2．（2022•牡丹江）若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
3．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
4．（2022•营口）分式方程3x=2x−2的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
5．（2022•黄石）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是 ．
6．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b=1a−1b．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
7．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是 ．
8．（2022•永州）解分式方程2x−1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
9．（2022•西宁）解方程：4x2+x−3x2−x=0．
10．（2022•青海）解方程：xx−2−1=4x2−4x+4．
08 分式方程的应用
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
1．（2021•德州）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
2．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
3．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
4．（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．
5．（2020•西宁）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是 元．
6．（2016•盘锦）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒 元．
7．（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
8．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
9．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
10．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
09 不等式（组）及解法
根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
1．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x＜1x＜−1 B．x＜1x＞−1 C．x＞1x＜−1 D．x＞1x＞−1
2．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
3．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．−12m＞−12n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
4．（2022•聊城）关于x，y的方程组2x−y=2k−3，x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
5．（2022•济宁）若关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
6．（2022•德州）不等式组3(x+2)−x＞41+2x3＞x−1的解集是 ．
7．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 ．
8．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 ．
9．（2022•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
10．（2022•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
10 不等式及应用
由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
1．（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A．8 B．6 C．7 D．9
2．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
3．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
4．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
5．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
6．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
7．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
8．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
9．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
10．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
备战2023年中考数学考试易错题
易错点02 方程与不等式
1一元一次方程及应用
2解二元一次方程组
3二元一次方程组的应用
4一元二次方程的概念及解法
5根的判别式及根与系数的关系
6一元二次方程的应用
7分式方程及解法
8分式方程的应用
9不等式（组）及解法
10不等式及应用
01 一元一次方程及应用
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
1．（2022•黔西南州）小明解方程x+12−1=x−23的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2
3．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
4．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．（2022•台湾）某鞋店正举办开学特惠活动，如图为活动说明．
小彻打算在该店同时购买一双球鞋及一双皮鞋，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若小彻计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列叙述何者正确？（ ）
A．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
B．使用折价券的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
C．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差100元
D．参加特惠活动的花费较少，且两双鞋的定价相差250元
6．（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
7．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
8．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
9．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
10．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
（1）求真丝衬衣进价a的值．
（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？
02 解二元一次方程组
解二元一次方程组常用的方法有代入消元法和加减消元法.代入法：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.加减法：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数
1．（2022•株洲）对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
2．（2022•潍坊）方程组2x+3y=13，3x−2y=0的解为 ．
3．（2022•沈阳）二元一次方程组x+2y=5y=2x的解是 ．
4．（2022•随州）已知二元一次方程组x+2y=42x+y=5，则x﹣y的值为 ．
5．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
6．（2022•淄博）解方程组：x−2y=312x+34y=134．
7．（2022•荆州）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
03 二元一次方程组的应用
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
1．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
2．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2022•枣庄）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．
4．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
5．（2022•徐州）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
（1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
（2）求兽、鸟各有多少．
6．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
7．（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
8．（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
04 一元二次方程的概念及解法
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解一元二次方程常用的方法有：直接开配方法、配方法、公式法、因式分解法.
1．（2022秋•小店区校级期末）已知x＝1是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
2．（2022秋•黄州区校级期末）关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+2mx+2＝0是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．±1 D．1
3．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
4．（2022秋•二七区校级期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．10 C．6或10 D．8或10
5．（2022秋•孝南区期末）已知a是方程2x2+4x﹣3＝0的一个根，则a2+2a﹣1的值是（ ）
A．1 B．2 C．12 D．32
6．（2022秋•北碚区校级期末）有若干个依次排列的整式：第1个a1＝﹣x2+x是，用a1减去（x﹣1）得到b1，将b1乘以x，得到a2，再a2将减去（x﹣1）得到b2，将b2乘以x，得到a3，以此类推，下列结论中正确的个数为（ ）
①方程a3＝0的实数解为x＝1；
②b2022＝﹣x2023+1；
③a9＝x（1﹣x）（x8+x7+x6+……+x+1）；
④当x＝4时，则b1001−x（x≠1）的值为4100−13．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋•中宁县期末）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0．
（2）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）．
8．（2022秋•阜宁县期末）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2x（x﹣2）＝x﹣2．
9．（2022秋•未央区校级期末）解方程
（1）x2﹣3x﹣9＝0；
（2）x（x+4）＝2x+8．
10．（2022秋•小店区校级期末）（1）计算：2cos30°+(π−2022)0+|3−2|．
（2）下面是某同学解方程（x+3）2﹣4＝0的过程．
解：移项，得（x+3）2＝4，……第一步
两边开平方，得x+3＝2，……第二步
∴x＝﹣1．……第三步
该同学的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程．
05 根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca
1．（2022秋•市北区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜3且a≠2 D．a＜﹣3
2．（2022秋•海港区校级期末）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−98 B．m≤−98
C．m≥−98且m≠﹣1 D．m≤−98且m≠﹣1
3．（2022秋•三河市校级期末）若关于x的方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n＝﹣1的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2022秋•新化县校级期末）定义运算：a*b＝a（1﹣b），若a，b是方程x2−x+14m=0(m＜0)的两根，则b*b﹣a*a的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
5．（2022秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣2x﹣2022＝0的两个实数根，则α2﹣4α﹣2β﹣2的值是（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
6．（2022秋•武昌区校级期末）若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是 ．
7．（2022秋•西安期末）x1，x2为一元二次方程x2﹣2x﹣10＝0的两根，则1x1+1x2= ．
8．（2022秋•天山区期末）已知α，β是方程x2﹣2022x+1＝0的两个根，则α+β+αβ＝ ．
9．（2022秋•二七区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k2（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且满足（x1﹣x2）2＝12﹣x1x2，试求出k的值．
10．（2022秋•金水区校级期末）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为2，求它的另一个根及m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
11．（2022秋•黄州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝9，求m的值．
12．（2022秋•南沙区校级期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标
得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若一元二次方程为x2+2x＝0，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ．
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0
①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根：并求出该方程的衍生点M的坐标：
②直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l2相交于点C（1，4）．若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请直接写出b，c的值；若没有，请说明理由．
06 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²，即 原数×（1+增长百分率）²=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
（5）销售问题：利润=售价-进价，总利润=利润×销售量
1．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
2．（2021•滨州）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
3．（2022秋•越秀区期末）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？
4．（2022秋•白云区校级期末）用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．
（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？
5．（2022秋•双流区期末）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品．
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
6．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在只花费了1200元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
7．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
8．（2022秋•平遥县期末）某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；
（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；
（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？
07 分式方程及解法
解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
1．（2022秋•定襄县期末）将关于x的分式方程3x−2=52−x−1去分母、去括号后所得整式方程正确的是（ ）
A．3＝﹣5﹣x+2 B．3＝﹣5﹣x﹣2 C．3＝5﹣x+2 D．3＝5﹣x﹣2
2．（2022•牡丹江）若关于x的方程mx−1x−1=3无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
3．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
4．（2022•营口）分式方程3x=2x−2的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
5．（2022•黄石）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是 ．
6．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b=1a−1b．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
7．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是 ．
8．（2022•永州）解分式方程2x−1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
9．（2022•西宁）解方程：4x2+x−3x2−x=0．
10．（2022•青海）解方程：xx−2−1=4x2−4x+4．
08 分式方程的应用
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
1．（2021•德州）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34．小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
2．（2021•株洲）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
3．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
4．（2021•衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树 棵．
5．（2020•西宁）开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是 元．
6．（2016•盘锦）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒 元．
7．（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
8．（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
9．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
10．（2022•衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9a元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
09 不等式（组）及解法
根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
1．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x＜1x＜−1 B．x＜1x＞−1 C．x＞1x＜−1 D．x＞1x＞−1
2．（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0
3．（2022•包头）若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．−12m＞−12n C．n﹣m＞0 D．1﹣2m＜1﹣2n
4．（2022•聊城）关于x，y的方程组2x−y=2k−3，x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8 B．k＞8 C．k≤8 D．k＜8
5．（2022•济宁）若关于x的不等式组x−a＞0，7−2x＞5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
6．（2022•德州）不等式组3(x+2)−x＞41+2x3＞x−1的解集是 ．
7．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x﹣1＝0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x＜0的关联方程，则n的取值范围是 ．
8．（2022•绵阳）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3＜2−x无解，则1m的取值范围是 ．
9．（2022•淮安）解不等式组：2(x−1)≥−43x−62＜x−1并写出它的正整数解．
10．（2022•菏泽）解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1＞x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
10 不等式及应用
由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
1．（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）
A．8 B．6 C．7 D．9
2．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
3．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
4．（2022•资阳）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
（1）求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
（2）某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
5．（2022•朝阳）某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
6．（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．
（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
7．（2022•内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
8．（2022•遂宁）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
9．（2022•泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
10．（2022•绵阳）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
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