2024届高考数学复习第一轮讲练测专题7.4 数列求和 教师版

专题7.4   数列求和

1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】

采用裂项相消法求数列的和

【详解】

因为，

所以

故选C.

2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(    )

A．1盏    B．3盏

C．5盏    D．9盏

【答案】B

【解析】

设塔顶的a1盏灯，

由题意{an}是公比为2的等比数列，

∴S7==381，

解得a1=3．

故选：B．

3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（  ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路

【答案】ACD

【解析】

设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，

因为，所以，解得，

对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；

对于B，由于 ，所以B不正确；

对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；

对于D，由于，所以D正确，

故选：ACD

5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．

【答案】.

【解析】

设等比数列的公比为，由已知

，即

解得，

所以．

6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.

【答案】1023

【解析】

首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.

【详解】

因为数列为等比数列，

所以，解得，

设等比数列的公比为，

因为，

所以即，

解得或，

因为等比数列是递增数列，

所以，，

所以.

故答案为：1023

7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.

【答案】2046

【解析】

先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.

【详解】

设正项等比数列的公比为q，，

因为，，

所以，解得：，所以.

令，解得：.

所以数列中不超过2021的所有项的和为：

.

故答案为：2046.

8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．

（1）求；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由，即可求解；

（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.

【详解】

（1）令，则由可得，

当时，由可得，

两式相减，可得，即，

依题意，为等比数列，故；

（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；

故为首项等于，公比等于的等比数列，

故．

故．

9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．

（1）求和的通项公式；

（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；

（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．

【详解】

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，

因为，所以，整理得，解得q＝2，

所以；

（2），

，

两式相减，得

所以．

10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．

（1）求Sn；

（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；

（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.

【详解】

（1）当时，，又，

所以，

即，

在中，令，可得

因为，所以

故是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为，

所以.

（2）因为

所以

故

1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

根据题意求出n，然后即可求出，再利用错位相减法求出新数列的和.

【详解】

设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，

则从新数列的第1个1到第个1一共有项，

从新数列的第1个1到第个1一共有项，

所以，解得，

而，所以，故A正确，B错误；

，

令，

则，

，，

所以，故D正确，C错误，

故选：AD.

2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为(其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为(其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…)，则（    ）

A．数列是公比为的等比数列 B．

C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和

【答案】BD

【解析】

先得到，即可判断A，再求出，可判断B与C，最后求出，可判断D.

【详解】

如图：

由图知，

对于A：，数列是公比为的等比数列，故A不正确；

对于BC：因为，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确；

对于D：因为，故D正确，

故选：BD.

3．（2022·河南高三月考（文））已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解；

（2）由（1）知，单调，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减法，即可求解.

【详解】

（1）由题意，数列满足，

可得，即，

又因为，可得，

所以，所以，

即数列的通项公式.

（2）由（1）知，可得，

则

.

令，

则，

所以，

所以.

所以.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.

（1）求与的通项公式；

（2）求的前n项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案.

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为d，

由，可得，

解得，则；

设正项等比数列的公比为q，q>0，

由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，

则；

（2）由（1）可得，

所以，

则，

两式相减可得=，

所以.

5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为.

【解析】

（1）由已知条件得到为等比数列，即可得到通项；（2）错位相减求出，根据单调性求出最小值.

【详解】

解：（1）由，得，是以2为公比的等比数列，记公比为，

又，，；

（2），

，，

两式相减，得，

即，又，单调递增，

时，最小，最小值为.

6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若存在正整数，使得，求的最小值.

【答案】（1）；（2）11.

【解析】

（1）设数列的公比为，根据条件列出，求得首项和公比，从而求得通项公式；

（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得满足条件的最小n值.

【详解】

（1）设数列的公比为，则，．由题意得

，即，解得.

故数列的通项公式为.

（2）由（1）有.

由得，，即.

当为偶数时，，上式不成立；-

当为奇数时，，即，则.

综上，的最小值为11.

7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列是以为首项，为公比的等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）在数列中，去掉第项，第项，…，第项（为正整数）得到的数列记为，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由等比数列通项公式可求得，进而得到；

（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为，根据三者之间的关系可整理得到当为偶数时，，当为奇数时，，利用等差数列求和公式可整理求得结果.

【详解】

（1）由题意得：，；

（2）设，数列的前项和为，数列的前项和为；

，，…①，

，…②，

，，…③，

由①知：当时，；由③知：当时，；

当为偶数时，，

；

由②知：当时，，即当为奇数时，；

；

综上所述：.

8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设是等差数列的前项和，其中，且.

（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求证：.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）解：令，则，则，

令，则，得，

∵为等差数列，∴，∴，∴，

∴，，，

∴，

∴，数列的通项公式为；

（Ⅱ）证：由题意得，

∴，

∴，

∴

，

∴，

∵，

∴为递增数列，即，

∴成立．

9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，

（1）令，求证：数列是等比数列；

（2）令 ，当取得最大值时，求的值.

【答案】（I）见解析（2）最大，即

【解析】

（1）

两式相减，得

∴

即：

∴ 数列是以2为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）可知， 即

也满足上式

令，则 ，

∴ 最大，即

10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．

（1）求数列，的通项公式．

（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

方案一：选条件①

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案二：选条件②

（1）

解得或（舍去）

（2）

方案三：选条件③

解得或（舍去）

（2）

1．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

2．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．

【详解】

因为，所以，．

由

，即

根据累加法可得，，当且仅当时取等号，

，

由累乘法可得，当且仅当时取等号，

由裂项求和法得：

所以，即．

故选：A．

3．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设等比数列的公比为，

根据题意，有，解得，

所以；

（2）令，

所以，

根据，可得，

整理得，因为，所以.

5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，

所以，所以数列的通项公式为.

（2）由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个.

所以.

6. （2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

从而得：.

因此，.

所以，数列的前2n项和为.