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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第05讲数列求和(练习)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第05讲数列求和(练习)(原卷版+解析)，共29页。
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366B．367C．368D．369
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ）
A．1011B． C．1012D．
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列，，，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．656B．660C．672D．674
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
20．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)求．
1．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
4．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
6．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
7．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
8．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
第05讲 数列求和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366B．367C．368D．369
【答案】A
【解析】设，由题意是公差为的等差数列，则，
故，则，
故
于是
.
故选：A
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以
，
故选：B
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，
又，即 ， ，代入①，解得，，
则，
所以
；
故选：A.
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若数列与数列的公共项，
则设，即
，
因为为偶数，所以也为偶数，
所以令数列与数列的公共项为：
，
所以，
所以
，
故选：B.
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ）
A．1011B． C．1012D．
【答案】B
【解析】第一个正方形的边长为，面积为，
第二个正方形的边长为，面积为，
第三个正方形的边长为，面积为，……,进而可知：是以公比为2，首项为1的等比数列，所以，
由于 ,所以
，
故选：B
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】等比数列满足各项均为正数，，
则的公比为，，
，
，
；，
当时，，
令，，
令，，
当时，，即为增函数，故，
即当时，为增函数，故，
则单调递增，，时，
综上，则的取值范围为.
故选：A.
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列，，，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．656B．660C．672D．674
【答案】D
【解析】由题意知数列是一个周期为的数列.穷举法找规律，
易发现从第项开始，每项重复出现，故只需要分段计算即可.
，共个分段，每段的和为，
，，，，所以，
故.
故选：D.
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，所以
故A正确；
因为，所以，即，
所以，而，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
【答案】BC
【解析】对于A，设等差数列的公差为，由得，①
由等比数列得，，②
由①②解得，，所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以
所以，①
，②
①②得，，
则，故D错误.
故选：BC.
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【解析】由题意数列满足，，，
可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，
故，
所以，
故
，
，
故，
由可知都大于3，
所以只能是其中之一，
若，即，即，无解；
若，即，
若，即，
故选：AB
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】
【解析】当时，，
∴，
又，
满足，
∴，，
即，
∴
.
故答案为：.
13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以为奇数时，故都是集合中的元素.
又，所以为偶数时，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
则集合中所有元素的和为.
故答案为：2520.
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
【答案】6066
【解析】设等和数列的公和为m．
因为，所以，，，，…，
所以，
又，所以，
所以．
故答案为：6066
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
【答案】
【解析】由，，
可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
进而可得，
则数列的前50项和为
．
故答案为：．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
化简得，
∴数列是以为首项，为等差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴数列的前项和.
∵，
∴单调递增，∴，
∵，
∴，
若使得对一切恒成立，则，解得，
∴实数的取值范围是.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
.
（2）由（1）可得，
.
令，，
单调递增，.
，，.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选条件①：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件②：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件③：因为是与的等比中项，所以，由，可得，
设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
（2）令，
则①，
②，
①②得，
所以.
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
【解析】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
20．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)求．
【解析】（1）依题意，，
，
，
由及，得，解得，于是，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，，
所以
.
1．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
2．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
4．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解析】（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，
即，
综上，
即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，
即，
即，
当，，，
，
时，，
，
即，
即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
6．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
7．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即．
8．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366B．367C．368D．369
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ）
A．1011B． C．1012D．
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列，，，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．656B．660C．672D．674
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
20．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)求．
1．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
2．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
4．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
6．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
7．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
8．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
第05讲 数列求和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366B．367C．368D．369
【答案】A
【解析】设，由题意是公差为的等差数列，则，
故，则，
故
于是
.
故选：A
2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
所以该数列的周期为6，
所以
，
故选：B
3．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，
又，即 ， ，代入①，解得，，
则，
所以
；
故选：A.
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若数列与数列的公共项，
则设，即
，
因为为偶数，所以也为偶数，
所以令数列与数列的公共项为：
，
所以，
所以
，
故选：B.
5．（2023·山东淄博·统考三模）如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ ）
A．1011B． C．1012D．
【答案】B
【解析】第一个正方形的边长为，面积为，
第二个正方形的边长为，面积为，
第三个正方形的边长为，面积为，……,进而可知：是以公比为2，首项为1的等比数列，所以，
由于 ,所以
，
故选：B
6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】等比数列满足各项均为正数，，
则的公比为，，
，
，
；，
当时，，
令，，
令，，
当时，，即为增函数，故，
即当时，为增函数，故，
则单调递增，，时，
综上，则的取值范围为.
故选：A.
7．（2023·四川成都·树德中学校考三模）已知数列，，，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．656B．660C．672D．674
【答案】D
【解析】由题意知数列是一个周期为的数列.穷举法找规律，
易发现从第项开始，每项重复出现，故只需要分段计算即可.
，共个分段，每段的和为，
，，，，所以，
故.
故选：D.
8．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由题意可知：，于是有，
显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，，
显然适合上式，，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
9．（多选题）（2023·浙江·校联考模拟预测）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，所以
故A正确；
因为，所以，即，
所以，而，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
10．（多选题）（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
【答案】BC
【解析】对于A，设等差数列的公差为，由得，①
由等比数列得，，②
由①②解得，，所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以
所以，①
，②
①②得，，
则，故D错误.
故选：BC.
11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，，，记数列的前项和为，若存在正整数，，使得，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
【解析】由题意数列满足，，，
可得数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，
故，
所以，
故
，
，
故，
由可知都大于3，
所以只能是其中之一，
若，即，即，无解；
若，即，
若，即，
故选：AB
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】
【解析】当时，，
∴，
又，
满足，
∴，，
即，
∴
.
故答案为：.
13．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以为奇数时，故都是集合中的元素.
又，所以为偶数时，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
则集合中所有元素的和为.
故答案为：2520.
14．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为 ．
【答案】6066
【解析】设等和数列的公和为m．
因为，所以，，，，…，
所以，
又，所以，
所以．
故答案为：6066
15．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
【答案】
【解析】由，，
可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
进而可得，
则数列的前50项和为
．
故答案为：．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
化简得，
∴数列是以为首项，为等差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴数列的前项和.
∵，
∴单调递增，∴，
∵，
∴，
若使得对一切恒成立，则，解得，
∴实数的取值范围是.
17．（2023·浙江·校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，
.
（2）由（1）可得，
.
令，，
单调递增，.
，，.
18．（2023·河南·校联考模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知公差不为0的等差数列的前项和为是与的等比中项，___________.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选条件①：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件②：设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
选条件③：因为是与的等比中项，所以，由，可得，
设等差数列的公差为，
则，所以，得，
所以数列的通项公式为.
（2）令，
则①，
②，
①②得，
所以.
19．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
【解析】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
20．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
21．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是公比为q的等比数列．对于给定的，设是首项为，公差为的等差数列，记的第i项为．若，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)求．
【解析】（1）依题意，，
，
，
由及，得，解得，于是，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，，
所以
.
1．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
2．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
4．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解析】（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，
即，
综上，
即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，
即，
即，
当，，，
，
时，，
，
即，
即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
5．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
6．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
7．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解析】（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即．
8．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
【解析】（1），，成等差数列，，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，，
，
．
（2）证明：由（1）知，，
，
，①
，②
①②得，，
，
，
．
9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，，
，，
所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
所以．
另由题意可得，，
其中，，
于是，．
（2）由（1）可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前20项和为．
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
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