2025年高考数学一轮复习专题7.4 数列求和-(原卷版+解析版)

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题型一倒序相加法
例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，则__________；数列满足，则这个数列的前2015项的和等于__________.
【答案】 /1007.5
【分析】根据，化简即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【详解】由，
得，所以，
设数列前项之和为，
则，
，
两式相加得，所以，
即这个数列的前2015项的和等于.
故答案为：；.
练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.
【详解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数，则________.
【答案】/
【分析】可令，，利用倒序相加法，将角度之和为的两项结合（如化简整理即可．
【详解】解：，
，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案为：.
练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数，则___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得，再利用倒序相加法即可求解.
【详解】由，得，
所以，
设,
,
由，得
即，于是有，解得，
所以.
故答案为：.
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______.
【答案】4042
【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..
【详解】由，令可得，，
且，
则，
所以，函数关于点对称，即
由已知，，
又
两式相加可得，
所以，.
故答案为：4042.
练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数，设，．求数列的通项公式．
【答案】
【分析】通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可.
【详解】；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
题型二分组求和法
例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，且，.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，然后解出即可得答案；
（2）利用分组求和法求出答案即可.
【详解】（1）∵，
∴，，解得，∴；
（2）由题可知，∴，
∴，
例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列满足，．
(1)①求公差；
②求数列的通项公式；
③设数列的前项和为，求使得最小的的值；
(2)若数列是首项为，公比为的等比数列．
①求数列的通项公式；
②求数列的前项和．
【答案】(1)①；②；③，当时，取最小值
(2)①；②
【分析】（1）①根据直接求解；
②根据等差数列的通项公式可求得的表达式；
③根据等差数列的求和公式可求得，利用二次函数的基本性质可求得当取最小值时的值；
（2）①求出数列的通项公式，结合数列的通项公式可求得数列的通项公式；
②利用分组求和法可求得.
【详解】（1）解：①因为，，则；
②；
③，
由二次函数的基本性质可知，当时，取最小值.
（2）解：①因为数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，；
②
.
练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列的前项和为，公比，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分组求和即可求解.
【详解】（1）解：，解得，
；
（2）

.
练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为．
(1)求，，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相邻两个三角形的面积关系可得，即可求解通项，
（2）先利用并项求和法求得为偶数的情况的和，再利用所得结论求得奇数的情况的和，然后写成分段形式.
【详解】（1）由题意可知,，...，
由此可知，故是以公比为的等比数列，所以.
（2）由得，，
当为偶数时，
，
当为奇数时，，
故.
练习8．（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列的前n项和为，且，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．32B．33C．44D．45
【答案】D
【分析】分为奇数和为偶数两种情况，得到的通项公式，进而分为奇数和为偶数两种情况求和，解不等式，求出答案.
【详解】①，
当时，②，
两式相减得，
当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，
所以，
中，令得，故，
故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，
所以，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
当为奇数时，令，解得，
当为偶数时，令，解得，
所以成立的n的最小值为.
故选：D
练习9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，．
(1)令，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）计算，确定，得到证明.
（2）计算，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.
【详解】（1），则，
，
故是以首项为3，公比为3的等比数列．
（2），故，
.
练习10．（2023·重庆·校联考三模）已知数列满足：，，
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求.
【答案】(1)；
(2)1024144.
【分析】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论求出的通项公式.
（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差数列前n项和公式求解作答.
【详解】（1）数列满足：，，，
当时，，数列是首项，公差为2的等差数列，
因此，即当为偶数时，，
当时，，即，由，得，
因此，即当为奇数时，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
.
题型三并项求和法
例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项的和．
【答案】(1)，
(2)210
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的性质计算即可；
（2）利用分组求和法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，所以．
因为是一个等比数列的前三项，所以．
即又，所以
所以数列的通项公式为，
（2）由（1）知数列的前项和
所以，数列的前20项的和为
例6．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及给定的条件求出公差d和；
（2）根据数列的周期性求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
对于任意，有，
所以，
故数列的前2023项和为
.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系即可联立求解，
（2）根据偶数项和奇数项的关系可得，进而根据分组求和即可.
【详解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）当时，，
当时，，
两式相加可得，得，
由于，所以

练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，…，是以1为首项，1为公差的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列前2n项的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意和等差数列前n项求和公式可得当时，，验证符合该式即可；
（2）由（1）可得，，结合等差数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】（1）当时，，
又，符合上式，
∴；
（2）由（1）知，，
，
∴
.
练习13．（2023·全国·模拟预测）记为正项数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由可得出的值，当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，计算出，然后分为偶数、为奇数两种情况讨论，利用分组求和法可求得的表达式.
【详解】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
所以，
整理得，
对任意的，，则，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
故
（2）由（1）可知，，则，
所以，对任意的，，
当为偶数时，设，
则；
当为奇数时，设，则，
.
综上所述，.
练习14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求的前100项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与关系得数列为等差数列，进而结合通项公式求解即可；
（2）结合题意得，，进而，再求和即可.
【详解】（1）解：当时，，,，
由得当时，递推得，
所以，两式作差得：，即，
因为数列各项均为正数，
所以，
又因为，
所以，数列为等差数列，公差、首项均为，
所以.
（2）解：由得，，
；
令，
则.
练习15．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列满足（n≥2，），．
(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）构造等比数列，再求其通项；
（2）利用等比数列求和公式以及分组求和法得出结果.
【详解】（1）∵，
∴，
所以，又，
∴是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上．
题型四奇偶数列求和
例7．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的基本量计算即可求解，
（2）由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由，得
所以数列为等差数列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）当为奇数时，．当为偶数时．
所以
例8．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件求出公比，，直接写出等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）得，分组求和即可，注意分类讨论的思想.
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)已知求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到；
（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可.
【详解】（1）当时，可得，
当时，，
，
上述两式作差可得，
因为满足，所以的通项公式为.
（2）因为，
所以，
.
所以数列的前20项和为.
练习17．（2023春·全国·高三期中）已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
（2）分为偶数和奇数两种情况讨论，再结合分组求和法即可得解.
【详解】（1），得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以；
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则______．
【答案】
【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公式，然后可算出答案.
【详解】令，
因为，且，
所以，，
所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，
所以，即，
所以，
故答案为：
练习19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，（），，（）
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，可求数列的通项公式；
对于数列，当时，，先求出递推公式，从而得到的通项公式；
（2）利用分组求和的方法可求数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得
，解得，所以，（）；
对于数列，由已知，当时，，得，
当时，， ，
两式相减，得，所以数列为等比数列，
得，（）.
（2）由（1）可得设,
所以
练习20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项直接由递推关系式即可求出；B选项由即可判断；C选项由即可判断；D选项由分组求和及等比数列求和公式即可判断.
【详解】，故选项A正确；
对于，有，
两式相加，得，则，故选项B正确；
由，知，
则，故选项C错误；
由偶数项均为，可得为偶数时，，
则
，
则，故选项D正确.
故选：ABD.
题型五裂项相消法
例9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列前项和为，数列前项积为.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求得数列的公差，由此求得.利用求得.
（2）利用裂项相消求和法求得.
【详解】（1）是等差数列，，
即：，又，
，
.
又，
当时，，符合上式，
.
（2）由（1）可得：，
.
例10．（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的通项公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）对裂项，用累加法求数列的通项公式.
【详解】（1）设的公差为，首项为，因为
所以解得
所以.
（2）由题设，
所以当时，，
将上式累加可得：，
又，则.
又，也适合上式，故.
练习21．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据裂项相消法求和即可.
【详解】因为，
所以数列的前2022项的和为：
.
故选：D
练习22．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列的前项和.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①；②；③.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，根据，作差得到，当时两边同除，即可得到为常数数列，从而求出，即可证明；
（2）设的公差为，根据等比中项的性质得到方程，求出，即可求出的通项，再根据所选条件，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，即，当时，解得，
当时，所以，
即，
所以，
当时上述式子恒成立，
当时两边同除可得，
即，所以为常数数列，即，
所以，即，
当时上述也成立，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，解得，所以；
若选①，则，
所以.
若选②，则，
所以.
若选③，则，
所以
.
练习23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可证等比数列，根据等比数列的通项公式可得;
（2）根据裂项求和法可求出结果.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
练习24．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求通项公式；
（2）先根据求出，再把拆项为，然后求和．
【详解】（1）∵，，当时，，∴．
由，，两式相减可得：．
∴，又．
∴是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴．
（2）因为，
，
所以
.
练习25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列，其前项和为，且满足，数列满足，其前项和，设，若对任意恒成立，则的最小值是___________.
【答案】1
【分析】利用，得出，即可判断数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，，，，根据，不等式恒成立，转化为，不等式且恒成立，即可得出结论.
【详解】由题意知，，且，
则当时，，
两式相减得，
所以，
而，即，
又，解得，
数列是首项为3，公差为2的等差数列，因此，
则，
，
，
数列是单调递增的，，
而数列是单调递减的，，
因为，不等式恒成立，
则，不等式且恒成立，
因此且，即有，
又，所以的最小值是1.
故答案为：1
题型六含绝对值数列求和
例11．（2023·河北·统考模拟预测）在正项数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意因式分解可得，即，再根据等比数列的通项即可得解；
（2）分和两种情况去绝对值符号，再根据等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】（1）由，
得，
因为，所以，
又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2），
当时，，
当时，
，
综上所述，.
例12．（2023·全国·高三对口高考）等差数列中，是它的前n项的和，且满足.则的最大值为__________；数列的前n项和__________.
【答案】
【分析】由已知得，进而求通项，根据的正负，即可确定取得最大值时的值，进而可求；由已知得是首项为，公差为的等差数列，由，得时，时，，由此分类能求出数列的前项和.
【详解】∵，设等差数列的公差为，
∴，∴.
∴＝.
∴当时，，时，，
∴当时，取得最大值，且最大值为.
又因为等差数列的前n项和为，
，
设的前n项和为
当时，，
当时，
因此
故答案为：；.
练习26．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，那么满足的整数k的个数为______．
【答案】2
【分析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果．
【详解】∵，
∴若，则，
∴与矛盾，
∴，
∴
，
解得或，
∴满足的整数，5，即整数k的个数为2，
故答案为2．
【点睛】本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．
练习27．（2023春·高三课时练习）已知数列的通项公式，则（ ）
A．150B．162C．180D．210
【答案】B
【分析】根据对勾函数性质得到数列单调性，再根据大小关系去掉绝对值符号得到答案.
【详解】由对勾函数的性质可知：
当时，数列为递减；当时，数列为递增.
所以
=
===162.
故选：B.
【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定数列单调性是解题的关键.
练习28．（2022·高三课时练习）已知数列是公比为3的等比数列，若，则数列的前100项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据数列是公比为3的等比数列，求出，再判断出数列各项符号后，去掉绝对值可求得结果.
【详解】∵，∴.又∵数列是公比为3的等比数列，
∴，可得.
易得当时，，当时，，
∴数列的前100项和
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据通项公式判断出各项符号，去掉绝对值符号求解是解题关键.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，设，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，证明数列是首项为，公比为的等比数列即可求解；
（2）结合（1）得，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：由，得，
两式相减，得，
所以，即.
又因为时，，所以，
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）解：由（1）得，.
当时，，
当时，
综上，
练习30．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，若，则（ ）
A．578B．579
C．580D．581
【答案】B
【分析】由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.
【详解】当时，
当时，，经检验时，不成立.
故得到.
令，则，解得，且，
当时，
，
当时，
，
故：，.
故选：B.
题型七数列求和与不等式
例13．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.
【详解】数列满足，①
当时，，②
①②得，，故，
则，
则，
由于恒成立，
故，
整理得：，
因随的增加而减小，
所以当时，最大，且为，
即.
故选：D
例14．（河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根据等比数列得，利用裂项求和可得，结合不等式的性质代入求解即可得答案.
【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，
所以，则，
不等式整理得，
当时，左边，右边，显然不满足不等式；
当时，左边，右边，显然满足不等式；
且当时，左边，右边，则不等式恒成立；
故当不等式成立时的最小值为9.
故选：B.
练习31．（2023春·北京·高三北京四中校考期中）已知数列的前项和，数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求使不等式成立的最小正整数的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)8
【分析】（1）根据求出，为公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出答案；
（2）利用错位相减法求和得到答案；
（3）在（2）的基础上，解不等式结合单调性得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
经检验，，满足，
综上：，
故，
因为①，当时，②，
两式相减得，即，
中，令得，，
故为公比为2的等比数列，首项为1，
所以，
（2），
则，
两式相减得，
故；
（3），
因为当时，，又单调递增，
故在单调递增，
又，又，
解得，
故最小正整数的值为8.
练习32．（2023·云南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解.
【详解】（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴，即，
∴当时，
，
又不满足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
①−②得：，
整理得，
又因为对任意的正整数，恒成立，所以，
∵，
∴在上单调递增，，
由，可得，
所以实数的取值范围是.
练习33．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.
(1)求；
(2)若对于，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用裂项相消法求和可得答案；
（2）根据的表达式，求出的范围，得到的最大值，可得答案.
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）当n为正奇数时，，
且随n的增大而增大，所以，所以，
当n为正偶数时，，
且随n的增大而减小，所以，
所以，综上可得且，则，
所以的最大值为（当且仅当时取得）.
因为恒成立，所以恒成立，所以，
所以的取值范围为.
练习34．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，求满足条件的最大整数．
【答案】2021
【分析】根据等比数列求和公式可得，结合的取值范围分析运算即可.
【详解】∵，
所以
，
因为，即，
∵，则，
故，则，
因为为正整数，所以的最大值为.
练习35．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和.若存在，使不等式成立，求实数的最大值.
【答案】
【分析】利用裂项相消的方法得到，即可得到存在，使成立，然后根据函数的单调性得到，即可得到.
【详解】解：因为一般项，所以
.
于是，即存在，使成立.
因为在上单调递增，所以，所以，
所以.
故实数的最大值是.
题型一
倒序相加法
题型二
分组求和法
题型三
并项求和法
题型四
奇偶数列求和
题型五
裂项相消法
题型六
含绝对值数列求和
题型七
数列求和与不等式