精品解析：江苏省镇江中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

2023镇中高二6月月考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由可得，求解即可.

【详解】因为，故，故，

则，解得：，

则.

故选：C.

2. 设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A. 63 B. 36 C. 45 D. 27

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.

【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，

即，，成等差数列，所以，所以.

即.

故选：C

3. 在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先证明四点共面的条件，再根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．

【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；

对于A，因为，所以不能得到，，，四点不共面；

对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；

对于C，由条件可得，则，，为共面向量，所以与,一定共面；

对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．

故选：C．

4. 下列说法中正确的是（    ）

①若随机变量，则

②若随机变量且，则

③甲、乙、丙、丁四人到四个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则

④设随机变量X，则，

A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③

【答案】D

【解析】

【分析】①，根据二项分布的定义求出概率；②，利用正态分布的对称性进行求解特殊区间的概率；③，利用条件概率公式进行计算；④，根据性质得到.

详解】①，，①正确；

②，若随机变量，故为对称轴，

因为，所以，

故，②错误；

③，由题意得，，

故，③正确；

④，设随机变量X，则，，④错误.

故选：D

5. 已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 在上单调递增

B.

C. 曲线在处的切线的斜率为0

D. 至多有3个零点

【答案】D

【解析】

【分析】由导函数图像得出原函数的单调性，即可判断选项.

【详解】设，且．

由图可得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．

所以在上先递减后递增，A错误；

，B错误，

曲线在处的切线的斜率为，且，C错误；

由零点存在性定理以及单调性可知，函数至多有3个零点，D正确.

故选：D

6. 若的展开式中的系数为20，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式可求出结果.

【详解】，

的通项公式为，

令，得（舍），令，得，

依题意得，得.

故选：B

7. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学排队，若丙在甲、乙的中间（可不相邻），则不同的排法有（    ）种.

A. 20 B. 40 C. 60 D. 80

【答案】B

【解析】

【分析】满足条件的排法可分步完成，第一步，从五个位置中任取三个位置，并将甲，乙，丙排入其中，第二步，将丁，戊排入余下的两个位置，结合排列组合知识及分步乘法计数原理可得结论.

【详解】满足条件的排法可分步完成，

第一步，从五个位置中任取三个位置，并将甲，乙，丙排入其中，有种方法，

第二步，将丁，戊排入余下的两个位置，有种方法，

由分步乘法计数原理可得共有种排法，

故选：B.

8. 已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.

【详解】∵  抛物线的方程为，

∴  ，抛物线的准线方程为，

∵ 方程可化为，

∴过定点，

设，设的中点为，则，因为，为垂足，

∴，所以，

即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

过点作准线的垂线，垂足为，则,

∴ ,，又，当且仅当三点共线且之间时等号成立，

∴ ，

过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，

∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，

所以的最小值为，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符得合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．

若y关于x的经验回归方程为，则下列说法中正确的有（    ）

A. y与x的样本相关系数 B.

C. 经验回归方程经过点 D. 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，由相关系数的计算公式即可判断A，由经验回归方程必过样本中心即可判断BCD.

【详解】由题意可得，，，

，

，

，

则与的样本相关系数.故A错误；

由关于的经验回归方程为恒过样本中心点，则有，解得，故B正确，C正确；

由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确；

故选：BCD

10 已知，则（    ）

A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中二项系数最大项为第1012项

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】选项A，令，由此即可求解；选项B，根据的值以及二项式系数的性质即可求解；选项C，分别令，，建立方程即可求解；选项D，先对已知关系式求导，然后令，即可求解.

【详解】选项A，令，则展开式的各项系数和为，A 选项正确；

选项B，因为，所以展开式中二项式系数最大项为第1012项与第1013项，B选项错误；

选项C，令，则，令，则，

所以，C选项正确；

选项D，已知关系式两边同时取导，则，

令，则，D选项错误；

故选：AC.

11. 已知随机事件的概率分别为，且，则（    ）

A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互对立

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.

【详解】对A，根据题意可得

由条件概率公式可得，又

所以，又易知，

所以；

即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；

对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；

对C，易知，即C正确；

对D，由条件概率公式可得，所以D错误.

故选：AC

12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）

A. 直线平面

B. 三棱锥的体积为定值

C. 异面直线与所成角的取值范围是

D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；

在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；

在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；

在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.

【详解】在选项A中，∵，，，

且平面，

∴平面，平面，

∴，

同理，，

∵，且平面，

∴直线平面，故A正确；

在选项B中，

∵，平面，平面，

∴平面，

∵点在线段上运动，

∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，

∴三棱锥的体积为定值，故B正确；

在选项C中，

∵，

∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.

易知为等边三角形，

当为的中点时，；

当与点或重合时，直线与直线的夹角为.

故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；

在选项D中，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正方体的棱长为1，

则，，，，

所以，.

由A选项正确：可知是平面的一个法向量，

∴直线与平面所成角的正弦值为：，

∴当时，直线与平面所成角正弦值的最大值为，故D正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.

【答案】0.957##95.7%

【解析】

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】设=“取到合格品”，=“取到的产品来自第i批”（i=1，2），则，，

由全概率公式得：.

故答案为：0.957

14. 在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.

【详解】由题设，可得如下示意图，

∴，

设，则，又，

所以，，，

所以以

.

，

所以

故答案为：.

15. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.683，至少要测量__________次.（附：若，则）

【答案】16

【解析】

【分析】依题意根据正态曲线的性质，即可得到不等式，解得即可.

【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在内的概率不小于0.683，

则且，，所以，可得.

故答案为：16.

16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为椭圆上一点，直线与直线交于点，的角平分线与直线交于点，若，的面积是面积的6倍，则椭圆的离心率是______.

【答案】

【解析】

【分析】利用垂直关系而得出，利用内角平分线定理.利用面积比值得出结论。

【详解】由题意知，，，，当时，.

由，得，.

又的角平分线与直线交于点，可知，所以.

，解得，椭圆的离心率是.

故答案为：.

四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知为数列的前项和，且满足，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.

【答案】（1）证明见详解；   

（2）

【解析】

【分析】（1）已知与的关系求解，然后证明即可；

（2）由（1）求出，进而由裂项相消法求出数列的前项和，求解不等式即可.

【小问1详解】

当时，，解得：.

当时，，

所以，即，

所以

所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

【小问2详解】

由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以，所以，.

.

所以时，即，所以，所以的最大值为.

18. 人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

（1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？

（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.

附：，其中.

【答案】（1）没有    （2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；

（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

根据表中数据得，

所以根据小概率值的独立性检验，

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

【小问2详解】

由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，

有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，

有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，

则的可能取值为，

又，

所以的分布列为

所以.

19. 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．

【详解】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得．

（1）向量，，故． ∴．

（2）向量，设为平面的法向量，则，即，

不妨令，可得为平面的一个法向量．

于是有，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3），

由点在棱上，故，

由，得，解得，即．

设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．

易知，二面角是锐角，∴其余弦值为．

【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20. 已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析，﹒

【解析】

【分析】(1)由双曲线的一个焦点坐标为可求c，根据一条渐近线的倾斜角的正切值为可求，结合a、b、c的关系求解、得到双曲线方程；

(2)设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求出k与m的关系．联立l与渐近线方程求出M和N的坐标，通过，化简即可．

【小问1详解】

由题可知，解得，则：；

【小问2详解】

由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，，

令，则，则．

联立得，，

则，即．

双曲线两条渐近线方程为，

联立得，，

联立得，，

，

故的面积为定值．

21. 邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为，各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）记答题结束时答题个数为，当时，若，求的取值范围；

（2）（i）记答题结束时答对个数为，求；

（ii）当时，求使的的最小值．

参考数据：，.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）9

【解析】

【分析】（1）时求出，解不等式即可；

（2）求出的分布列，按照求数学期望的公列式计算即可.

【小问1详解】

根据题意，可取1，2，3，

，，，

所以，

由得，又，

所以的取值范围是.

【小问2详解】

（ⅰ），其中，，

所以的数学期望为

，

设，

利用错位相减可得，

所以.

另解：

.

（ⅱ）依题意，，即，

即，

所以，又，

故的最小值为9.

22. 已知函数．

（1）求函数的最大值；

（2）证明：当时，．

（参考数据：）

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出的单调性即可求解；

（2）结合（1）的结论把所证不等式转化为证成立，构造函数

，求出即可得证.

【小问1详解】

．

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

则．

故最大值为．

【小问2详解】

证明：由（1）可得，

所以，即．

要证当时，，可证当时，．

令函数，．

令函数，．

令函数，．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，所以存在，使得．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

又因为，，所以当时，，当时，，

即当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，所以，即，

所以．

故当时，．

【点睛】关键点点睛：本题第2问考查的是用导数证明不等式，将要证的原不等式转化为证时，成立，构造函数需求的最小值，在求的单调性的时候需求三阶导函数并结合函数隐零点的处理方法，属于难题.