精品解析：河北正定中学2022-2023学年高二下学期月考三数学试题（解析版）

河北正定中学高二年级下学期月考三

数学

一､单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合子集的个数为（    ）

A. 3个 B. 4个 C. 8个 D. 16个

【答案】D

【解析】

【分析】用列举法写出集合即可得解.

【详解】，

集合子集个数为个.

故选：D.

2. 复数的虚部是（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算法则与复数的概念即可求解.

【详解】因为，

所以复数的虚部是.

故选：C.

3. 函数的部分图象可能为（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇偶性排除D；根据特殊区间上函数值的符号排除BC可得答案.

【详解】的定义域为，关于原点对称，又因为，

所以是奇函数，其图象关于原点对称，故D不正确；

当时，，，则，故B不正确；

当时，，，故，故C不正确.

故选：A

4. 已知，则的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用换元法即可得解.

【详解】令，则，

又，所以，则，

故选：C.

5. 已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】利用抛物线的定义可求得点的坐标，从而求得的值，由此求得双曲线的离心率.

【详解】结合双曲线与抛物线的对称性，不妨设点为第一象限内的点，则，

因为抛物线为，由抛物线的定义可得，解得，

所以，可得，即点，

因为双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，

所以，则所求双曲线的离心率为.

故选：A.

6. 有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球和1个红球，乙袋中有2个红球和中1个白球，这6个球手感上不可区别.现从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，则收到红球的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用条件概率及古典概率的计算公式，结合全概率公式即可求解.

【详解】设“从甲袋放入乙袋的是白球”， “从甲袋放入乙袋的是红球” “从乙袋中任取一球是红球”，则

.

故选：B.

7. 已知函数，数列满足，，则的值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇函数的定义可判断 为奇函数，根据数列的递推关系可知数列为周期数列且周期为4，即可由周期性求值.

【详解】由于的定义域为,所以，

所以 为奇函数，因此由得，

由得，

所以数列为周期数列且周期为4，

又 ，故，

故选：D

8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值.

【详解】由题意，当，

有，

，

是方程的两个不等实数根，

，，

而，

，即，

，

令，则，

则当时，有最小值且为.

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 是的子集

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出集合、，根据集合的交并补运算可得答案.

【详解】由，得或，所以或，，

所以，故A正确；，故B错误；易知，故C正确；又，所以是的真子集，故D正确.

故选：ACD.

10. 命题“，恒成立”是假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】ACD

【解析】

【分析】先讨论和时求出“，恒成立”对应的的范围，再利用充分不必要条件的性质即可得解.

【详解】当，恒成立时，

当时，恒成立，满足题意，

当时，，解得，

综上，“，恒成立”对应的的范围为，

所以命题“，恒成立”是假命题时，对应的的范围为，

故它的一个充分不必要条件是的真子集，故ACD正确.

故选：ACD.

11. 若，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C.

【详解】因为，且，

对于A：，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B：，

当且仅当，即、时取等号，故B正确；

对于C：，当且仅当、时取等号，故C不正确；

对于D：，

当且仅当时取等号，故D正确.

故选：ABD

12. 若关于的不等式恒成立，则实数的可能取值有（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】将不等式等价变形为恒成立，构造函数， ，利用导数求解单调性，即可由单调性求解最值进行求解.

【详解】由得，进而得，

令，则，当时，单调递增，当

单调递减，故 ，

令，则，

当时，在恒成立，此时单调递增，故 ，故符合题意，

当时，当 当 ，所以在单调递减，在 单调递增，所以 ，

记，此时在 单调递减，又 ，所以 ，

综上可知，的取值范围为，

故选：ABC

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

13. 若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据题意，分类讨论和两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.

【详解】因为椭圆的离心率为，易知，

当时，椭圆焦点在轴上，，，

所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.

当时，椭圆焦点在轴上，，，

所以，得，满足题意，

此时，所以椭圆的长轴长为.

故答案为：或.

14. 展开式的常数项是__________．（用数字作答）

【答案】24

【解析】

【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.

【详解】展开式的通项公式是，

由，得，

所以展开式的常数项为.

故答案为：24

15. 已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据分式不等式求出，设条件对应的集合为，条件对应的集合为，由p是q的充分条件，可得，进而可得出答案.

【详解】由，得，解得，

设，

因为p是q的充分条件，所以，

所以，解得，

所以实数k的取值范围是.

故答案为：.

16. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则________．

【答案】2525

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.

【详解】因为为偶函数，则，即，

则，即，

故的图象关于点对称，且；

又为偶函数，则，

则，即，

故的图象关于点对称，且，

又将代入得，则；

令，由可得，则；

同理可得，则；，则，

由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，

故，

故答案为：2525

【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求当时，函数的解析式；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，则，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；

（2）将转化为，再判断的单调性，由其单调性可求出不等式的解集.

【小问1详解】

设，则，

所以，

因为是定义在上的奇函数，

所以，

所以，

所以

即当时，函数的解析式为，

【小问2详解】

由，得，

因为为奇函数，所以，

当时，，

所以在上单调递增，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以在上单调递增，

所以，解得，

即实数的取值范围为

18. 如图，是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得平面，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，写出对应坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，通过向量的夹角公式即可求得答案.

小问1详解】

依题意，即，又，，，平面，  

所以平面，由于平面，

所以平面平面 .

【小问2详解】

由（1）知，在面内的射影必在CB上，，易知.

因为直线与直线所成的角为，所以.

在中，由余弦定理得.

在中，

建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，.

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，令，则

又平面的一个法向量为

设与所成的角为，则，

故平面与平面夹角的余弦值为.

19. 设等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式;

（2）设数列满足 ，求的前项和.

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，由基本量法列方程组解得，得通项公式；

（2）求出通项公式，用错位相减法求和．

【小问1详解】

设等差数列的首项为，公差为.

由，得，

解得，

所以；

【小问2详解】

由可得

当时，，

当时，

所以，，

又，

两式相减得

所以

20. 某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品.

（1）完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？

（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这2个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；

（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

附，其中；.

【答案】（1）列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．   

（2）答案见解析    （3）需要对该箱余下的所有零件进行检验，理由见解析

【解析】

【分析】（1）作出列联表，求出，，依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．

（2）任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．

（3）由二项分布可知，求出，分别求出对剩下的所有零件检测和不检测的费用，比较大小即可求解.

【小问1详解】

由题意得列联表如下：

，

，

依据小概率值的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．

【小问2详解】

由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，

任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，

的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

．

【小问3详解】

由已知零件为三等品的频率为，

设余下的40个零件中三等品个数为，则，

，

设检验费用与赔偿费用之和为，

若不对余下的所有零件进行检验，则,所以

若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为元，

，

应对剩下零件进行检验．

21. 定义，，.已知函数，其中，.

（1）若，求函数的零点；

（2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用给定的定义求出函数的解析式，再解方程求出零点作答.

（2）由方程零点的意义分离参数并构造函数，利用函数探讨函数的性质，再把问题转化为直线与函数图象交点求解.

【小问1详解】

依题意，得，

当时，，令，得或，

所以当时，的零点为，.

【小问2详解】

函数有且仅有两个零点等价于方程有两个根，

即有两个根，即有两个根，

即函数图象与函数的图象有两个交点，

求导得，

由，得或，由，得，

因此，上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，

注意到，当时，恒成立，则恒成立，

作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，直线与函数的图象有两个交点时，或，

所以实数m的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键有二，一是理解新定义，求得的解析式；二是第2小问使用参变分离，结合图像即可得解.

22. 已知椭圆（a>0，b>0）的右焦点F在直线上，A，B分别为C的左、右顶点，且．

（1）求C的标准方程；

（2）过点的直线l与C交于P，Q两点，线段PQ的中点为N，若直线AN的斜率为，求直线l的斜率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出焦点F的坐标，进而根据列出方程，求出，得到，求出答案；

（2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，进而表达出N点的坐标，根据直线AN的斜率求出答案.

【小问1详解】

设，其中．

由直线与x轴的交点坐标为，得c＝1

因为，所以，则，

代入，得，所以，故C的标准方程为．

【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，直线l与无交点，舍去，

设直线l的方程为，

设，

联立方程，消去y并整理得，

由，得．

因为，所以N的横坐标为，

N的纵坐标为．

易知，所以直线AN的斜率为，

解得或．

因为，所以，即直线l的斜率为．