精品解析：江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题（解析版）

2022—2023镇江高二4月期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.

【详解】∵，∴，

∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．

故选：D．

2. 函数的导函数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.

【详解】依题知，，即，

由求导公式：，

复合函数的求导法则：设，则

得：，

故选：D.

3. 已知，，，则是（    ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据两点间的距离公式计算出，，的长度即可判断

【详解】，，，

，

，，

，

是直角三角形．

故选：A．

4. 已知等差数列的前项和为，且，则（    ）

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质即可求出结果.

【详解】因为，又，所以.

故选：D.

5. 青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，

设抛物线的方程为，其焦点为，

碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，

所以，解得，所以抛物线的方程为，

设，过中点作轴，

由抛物线的定义可得，解得，

所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.

故选：B.

6. 从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，则至少有一名女生当选的不同选举结果为（    ）

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，先求出从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记的方法总数，再求出没有一名女生当选的方法总数，即可得出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，

共有：种，

没有一名女生当选，共有种，

故至少有一名女生当选的不同选举结果为种.

故选：B.

7. 已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.

【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，

由椭圆的性质，可得.

过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，

.

等于的最小值的3倍，

.

椭圆中，

，即，

则.

，

，解得或（舍）.

故选：B.

8. 求和：（    ）

A. 512 B. 1024 C. 5120 D. 10240

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合组合数公式，以及倒序法，即可求解．

【详解】令，①

则，即，②

①②可得，，

故．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知虚数，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 是方程的一个根

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用复数的四则运算和复数的模长公式可判断AB选项；利用复数的乘法方法则与共轭复数的定义可判断C选项；解方程可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，

所以，故A错；

对于B选项，，

所以，故B对；

对于C选项，，故C对；

对于D选项，由，可得，

解得或，故D对.

故选：BCD.

10. 已知，则（    ）

A.

B.

C. 数列，，，…，，的最大项为

D.

【答案】BD

【解析】

【分析】求出的通项，令，求出可判断A；赋值法可判断B；利用的通项知可判断C；对二项式两边同时求导结合赋值法可判断D.

【详解】对于A，的通项为：，

令，则，故A错误；

对于B，令可得：，故B正确；

对于C，由的通项知，，

故数列，，，…，，的最大项不为，故C错误；

对于D，对函数两边同时取导，

可得：，

令可得：，故D正确.

故选：BD

11. 已知函数，则（    ）

A. 函数有两个极值点 B. 函数的所有极值的和为2

C. 函数只有1个零点 D. 是函数图像的一条切线

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得，得出函数的单调性，求得极小值为，极大值为，求得，结合当时，，得到函数只有一个零点，设切点为，利用导数的几何意义，求得切线坐标，即可求解.

【详解】由函数，可得，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以函数当时，取得极小值，极小值为，

当时，取得极大值，极大值为，

所以，

又由当时，，所以函数只有一个零点，所以A、B、C正确.

假设是曲线的切线，设切点为，

则，解得或，

显然点和均不在曲线上，所以D错误.

故选：ABC.

12. 已知点，，动点在：上，则（    ）

A. 直线与相交

B. 线段的中点轨迹是一个圆

C. 的面积最大值为

D. 在运动过程中，能且只能得到4个不同的

【答案】BD

【解析】

【分析】求出直线的方程，利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误，求线段的中点轨迹判断B的正误，利用圆的圆心到直线的距离，转化求解三角形的面积的最在值判断C，判断为直径的圆与已知圆的位置关系，结合直角三角形的定义，判断D的正误.

【详解】对于A，因为，，所以，

所以直线的方程，即，

由，得，

所以圆心，半径为3，

所以圆心到直线距离为，

所以直线与圆相离，所以A错误，

对于B，设线段的中点为，则，

因为点在圆上，

所以，即表示一个圆，

所以线段的中点轨迹是一个圆，所以B正确，

对于C，的面积最大值为，

所以C错误，

对于D，①设与直线垂直且过点的直线为，

则，得，即直线为，

因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆有两个交点，

所以以为直角顶点的直角三角形有2个，

②设与直线垂直且过点的直线为，

则，得，即直线为，

因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆相离，无公共点，

所以以为直角顶点的直角三角形不存在，

③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为，

所以，

因为，

所以以为直径的圆与圆相交，

所以以为直角顶点的直角三角形有2个，

综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，所以D正确，

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在展开式中，项的系数为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据组合数的运算，展开式中的系数为，结合组合数的运算性质，即可求解.

【详解】由题意，多项式，

根据组合数的运算，展开式中的系数为，

又由.

故答案为：.

14. 双曲线：（，）的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】先根据点到直线的距离公式求出点到渐近线的距离，结合已知即可得出，进而得出答案.

【详解】由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐进线方程为，

则点到渐近线，即的距离.

又因为，所以，

所以，双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

15. 今天是第一天星期一，则第天是星期______.

【答案】一

【解析】

【分析】先将化为，根据二项式定理展开可得，除以7的余数为1，即可得出答案.

【详解】因为，

所以，除以7的余数为1，

所以，第天是星期一.

故答案为：一.

16. 某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为______万元，到第______年的年初，可以一次性还清贷款.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据题意列出第年年初时借贷总额和总收益，即可求解.

【详解】由题知，到第年年初，

借贷总额为，

总收益为，

当时，，

当时，，

故第年年初该项目总收益为，

到第年的年初，可以一次性还清贷款.

故答案为：；

四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，二项式.

（1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；

（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.

【答案】（1）；   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；

（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，设第项的系数最大得，求解即可.

【小问1详解】

因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，

所以，解得，

则展开式的通项公式为

，

令，解得，代入通项公式有：，

所以的系数为；

【小问2详解】

二项式通项公式为：

，

所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，

第三项的系数为：，

由于前三项的系数成等差数列，

所以，解得，或，

因为至少有前三项，所以（舍），故，

二项式通项公式为：，

设第项的系数最大，故，

即，即，

解得，

因为，所以或，

故系数最大的项为或.

18. 喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.

【答案】最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.

【解析】

【分析】根据题设可得，，利用对勾函数的性质可求该函数的最小值.

【详解】设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为，

油耗为，

则总费用，

，

由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增，

因为，所以当时，取到最小值，

最小值为.

最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.

19. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）由题意可得，解方程即可求出，即可求出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，通过将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式求解直线的斜率，进而得出直线方程.

【小问1详解】

设椭圆的方程为：，

因为椭圆的面积为，点在椭圆上.

所以解得：，

所以椭圆的标准方程为：.

【小问2详解】

因为经过点的直线与曲线交于，两点，

当直线的斜率不存在时，，此时，

因为与椭圆的面积比为，但，即直线斜率存在；

不妨设直线的方程为，联立，

消去并整理可得：，

不妨设，则，

因为，

，

所以

，

因为与椭圆面积比为，

所以，化简为，

即，即，

解得：，所以直线的方程为或，

所以直线的方程为或.

20. 已知数列中，，点在直线上，数列中，，且对任意，满足：.

（1）分别求数列和的通项公式；

（2）请比较与的大小，并证明你的结论.

【答案】（1）
   

（2）当时,;当或时,
 

【解析】

【分析】（1）用递推关系构造出等差、等比数列，进而解出通项公式.

（2）作差法，得到的表达式，然后构造函数，判断函数单调性，进而借助几个关键的值来比较大小即可.

【小问1详解】

因为点在直线上,所以有,即数列是首项为,公差为4的等差数列.

则.所以数列的通项公式为.

因为,则,又因为，所以.所以数列是首项为1,公比为2的等比数列，

则,即.所以数列 的通项公式为.

【小问2详解】

证明：,,.构造函数,递增.

当时,,函数递减,

则时,;当时,,即时,.

当时，,函数递增.

当时,;当时,.

综上,当时，;当或时，.

21. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，.

（1）若过点的直线交双曲线于，两点，求直线的斜率范围；

（2）过原点的直线与双曲线相交于，两点（在轴的上方），直线，与圆分别交于，，直线与直线的斜率分别为，，求.

【答案】（1）直线的斜率范围为且   

（2）

【解析】

【分析】（1）由直线与双曲线有两个交点，联立方程组（注意排除直线与渐近线平行）求解即可；

（2）设出直线的方程，联立方程组求出，点坐标，然后计算直线与直线的斜率即可求解.

【小问1详解】

过点的直线的方程设为：，

联立得：.

因为直线交双曲线于，两点，

所以，解得且.

故直线的斜率范围为且.

【小问2详解】

如图：

设：，，则令

所以的方程为，联立得.

所以，，

由于，两点关于原点对称，所以，

所以的斜率为，

所以，又，

所以，即.

所以，，

所以.

，所以

22. 已知.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围.

【答案】(1) 增区间是，递减区间是；(2)

【解析】

【分析】（1）求得函数的导函数，对分成，两种情况，讨论函数的单调区间.（2）根据（1）的结论，首先判断时没有两个零点，当时，根据函数的单调性和零点存在性定理，求得的取值范围.

【详解】解:(1)的定义域是R，且.

①当时，恒成立，在R上单调递增，

②当时，令，则，即函数的增区间是，

同理，由得函数的递减区间是.

(2)由(1)知，当时，函数单调递增，与条件不符.

当时，函数)在上单调递增，在上单调递减，

∴

由条件得，，解得.

又∵，

∴上存在唯一零点，

.

令，则

∴当时，单调递增，.

∴

即在上存在唯一零点．

综上所述：.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数零点问题，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.