2023年广东省茂名市茂南区文悦学校中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省茂名市茂南区文悦学校中考数学一模试卷，共18页。试卷主要包含了统计如表等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省茂名市茂南区文悦学校中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣12的相反数是（　　）
A．12 B． C． D．﹣12
2．（3分）“多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人毛泽东通过这首《满江红•和郭沫若同志》告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习．一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（　　）
A．864×102 B．8.64×105 C．8.64×104 D．0.864×105
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6
B．（﹣2a2）3＝﹣8a9
C．8（b﹣a）2﹣3（a﹣b）2＝5（b﹣a）2
D．2a8÷a2＝2a4
4．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（　　）
A．6个 B．15个 C．12个 D．13个
5．（3分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.25
0.27
0.30
0.23
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝5，则BC的长为（　　）

A．7.5 B．10 C．15 D．20
7．（3分）估计的值应该在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
8．（3分）在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠C，AB＝6，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AC于M，交BC于N，连接AN．G为AN上一动点，过G作GF⊥AB，垂足为F，连接GB，则GF+GB的最小值为​（　　）

A．3 B． C．6 D．
10．（3分）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（1，） C．（﹣，1） D．（﹣1，）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：2x2﹣4xy＝　 　．
12．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为 　 　．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝　 　．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，，OC⊥OB于点O，交于点C，连接AB，则图中阴影部分的面积为 　 　．

15．（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC＝120°，AB＝6，则PE﹣PF的值为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2023﹣π）0．
17．（8分）先化简，再求值：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3，其中．
18．（8分）为了解防疫知识宣传教育活动的效果，学校从全校2000名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图所示的不完整统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）本次调查属于 　 　（填“全面调查”或“抽样调查”）；
（2）此次调查共抽取了 　 　名学生，抽取的学生中良好的有 　 　名；
（3）所抽取的学生中，获得优秀的学生占的比例为 　 　（百分数表示）；
（4）请你根据抽样测试的结果估计该校获优秀学生共有 　 　人．

19．（9分）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
20．（9分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA上一点（不与点A、O重合），过点C作CD⊥OA于点C，交弦AB于点E，交过点B的⊙O的切线于点D．
（1）求证：BD＝DE．
（2）若OC＝CA，BE＝2AE，求的值．

21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数0）的图象交于点A（2，6），B（6，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P的坐标．

22．（12分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的面积最大值；
（3）如图2，点N为线段OC上一点，连接AN，求的最小值．


2023年广东省茂名市茂南区文悦学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣12的相反数是12．
故选：A．
2． 解：将数86400用科学记数法表示为8.64×104．
故选：C．
3． 解：A、原式＝2a3，错误，不符合题意；
B、原式＝﹣8a6，错误，不符合题意；
C、原式＝8（b﹣a）2﹣3（b﹣a）2＝5（b﹣a）2，正确，符合题意；
D、原式＝2a6，错误，不符合题意．
故选：C．
4． 解：设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴＝，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的根，
故白球的个数为12个．
故选：C．
5． 解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选丁，
故选：D．
6． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴BD＝2AD＝10，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝5，
∴BC＝BD+CD＝10+5＝15，
故选：C．
7． 解：（3﹣）÷
＝3﹣2，
∵7＜3＜8，
∴5＜3﹣2＜6，
∴估计的值应该在5和6之间．
故选：C．
8． 解：A、二次函数y＝（x﹣1）2+2中的a＝1＞0，则其图象开口向上，不符合题意；
B、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，则当x＞1时，y随x的增大而增大，不符合题意；
C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，不符合题意；
D、二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），符合题意．
故选：D．
9． 解：过B作BE′⊥AC于E′，

根据两点之间线段最短和垂线段最短得：GF+GB≥BE′，
即BE是GF+GB的最小值，
∵ABC＝90°，∠BAC＝2∠C，
∴∠C＝30°，
∴∠CAB＝60°，
由作图得：MN垂直平分AC，
∴AN＝CN，
∴∠CAN＝∠C＝30°，
∴AN平分∠BAC，
∴E′、F关于AN对称，
在Rt△ABE′中，
BE′＝ABcos60°＝3，
故选：B．
10． 解：如图，

∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，
∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，），
第二次旋转后的坐标为（﹣2，0），
第三次旋转后的坐标为（﹣1，﹣），
第四次旋转后的坐标为（1，﹣），
第五次旋转后的坐标为（2，0），
第六次旋转后的坐标为（1，），
•••，
6次一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为（1，），
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：2x2﹣4xy＝2x（x﹣2y）．
故答案为：2x（x﹣2y）．
12． 解：，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＜2m，
∵不等式组无解，
∴2m≤2，
∴m≤1，
故答案为：m≤1．
13． 解：∵α为方程x2+3x﹣7＝0的根，
∴α2+3α﹣7＝0，
∴α2＝﹣3α+7，
∴α2+4α+β＝﹣3α+7+4α+β＝α+β+7，
∵方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+4α+β＝﹣3+7＝4．
故答案为：4．
14． 解：如图，设AB交OC于点R，过点R作RT⊥OA于点T．

∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOR＝30°，
∴RA＝RO，
∵RT⊥OA，
∴AT＝TO＝，
∴RT＝OT•tan30°＝，
∴OR＝2RT＝1，
∴S阴＝S△ROB+S扇形AOC﹣S△AOR
＝×1×+﹣××
＝+．
故答案为：+．
15． 解：设AC交BD于O，

在菱形ABCD中，
∵∠ABC＝120°，AB＝6，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝6，BD⊥AC，
Rt△AOD中，OD＝AD＝3，OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，
Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，
∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
17． 解：（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3
＝x2+4x+4+2+x﹣2x﹣x2﹣3
＝3x+3．
当时，原式＝．
18． 解：（1）根据题意可知为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）这次测试共抽取30÷15%＝200（名），根据频数分布直方图可以得出抽取的学生中良好的有80（名）；
故答案为：200，80；
（3）×100%＝20%
故答案为：20%；
（4）估计该校获优秀学生共有2000×20%＝400（人），
故答案为：400．
19． 解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
20． 证明：（1）连接OB，

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥BO，
∴∠DBE+∠OBA＝90°，
∵CD⊥AO，
∴∠BAO+∠CEA＝90°
∴∠DBE＝∠AEC，且∠AEC＝∠DEB
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE；
（2）解：过点O作OF⊥AB于F，

设AE＝2x，则BE＝4x，AB＝6x，AF＝3x，EF＝x，
设AC＝OC＝y，则cos∠A＝＝，
∴＝，
∴y＝x，则OA＝2y＝2x，
∴＝＝＝．
21． 解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数0）的图象交于点A（2，6），B（6，n），
∴m＝2×6＝6n，
∴m＝12，n＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，B（6，2），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+8；
（2）过点A作A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P，点P即为所求，
∵点A的坐标为（2，6），B（6，2），
∴点A′的坐标为（2，﹣6），
设直线BA′的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴直线BA′的解析式为y＝2x﹣10，
当y＝0时，x＝5，
∴点P的坐标为（5，0）．

22． 解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：
如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠D，
在△ABE和△ADN中，，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAM＝45°＝∠NAM，
在△AEM和△ANM中，，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，
∴BM+DN＝MN；
故答案为：BM+DN＝MN；
（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：
如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，
则∠ABM＝90°＝∠D，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
即∠MAF＝∠BAD＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠FAN＝45°，
在△MAN和△FAN中，，
∴△MAN≌△FAN（SAS），
∴MN＝NF，
∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，
∴DN﹣BM＝MN．
（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABM＝∠MCN＝90°，
∵CN＝CD＝6，
∴DN＝12，
∴AN＝＝＝6，
∵AB∥CD，
∴△ABQ∽△NDQ，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴AQ＝AN＝2；
由（2）得：DN﹣BM＝MN．
设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，
解得：x＝2，
∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2，
∵BC∥AD，
∴△PBM∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PM＝AM＝，
∴AP＝AM+PM＝3．


23． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）y＝x2﹣3x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+m（k≠0），
则：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，
过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设P（t，t2﹣3t﹣4），则：E（t，t﹣4），

∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴；
∵﹣2＜0，
∵点P为BC下方抛物线上一动点，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△BPC的面积最大为8，此时P（2，4﹣6﹣4），即：P（2，﹣6）；
（3）过点C在y轴右侧作直线CF交x轴于点F，使∠OCF＝30°，过点N作NM⊥CF于点M，
则：，
∴，
∴当A，N，M三点共线时，的值最小，即为AM的长，如图：

∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴OA＝1，OC＝4，
∵∠FCO＝30°，
∴∠AFM＝60°，，
∴，
∴；
∴的最小值为．