2023年广东省茂名市电白区中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省茂名市电白区中考数学一模试卷，共15页。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）|﹣（﹣2.5）|的相反数是（ ）
A．﹣2.5B．2.5C．D．﹣
2．（3分）方程x2﹣9＝0的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3B．x＝0
C．x1＝x2＝3D．x1＝x2＝﹣3
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3B．（a+b）2＝a2+b2
C．a﹣3÷a6＝D．（a4）5＝a9
5．（3分）平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第四象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠3＝85°，∠2＝35°，则∠1的大小是（ ）
A．35°B．40°C．50°D．55°
7．（3分）多项式a4b+ab﹣b2的次数是（ ）
A．4B．5C．6D．9
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝42°，则∠CAB＝（ ）
A．52°B．58°C．48°D．42°
9．（3分）已知△ABC中，sinA＝，tanB＝1，则△ABC的形状（ ）
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．无法确定
10．（3分）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为（ ）
A．（﹣1，）B．（1，）C．（﹣，1）D．（﹣1，）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：mn﹣m＝ ．
12．（3分）若代数式a2﹣3a的值是4，则的值是 ．
13．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝ ．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，，OC⊥OB于点O，交于点C，连接AB，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若AE＝4，则DE的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：2sin 45°﹣+（﹣）﹣1+|﹣3|．
17．（8分）解不等式1﹣，并写出它的非负整数解．
18．（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，校团委在初一初二年级展开团史知识竞赛，并从初一、初二年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计．整理如下：
初二年级抽取的学生竞赛成绩：80，60，80，90，80，90，90，50，100，90．
初一、初二年级抽取的学生竞赛成绩统计表：初一年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ；b＝ ；
（2）该校初一年级有900名学生，请估计初一学生中竞赛成绩达到90分及以上的共有多少名？
（3）根据以上数据分析，两个年级团史知识竞赛的学生成绩谁更优秀？请选取一个方面进行解释评价．
19．（9分）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
20．（9分）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集．
21．（9分）健康生活，人们越来越喜欢吃新上市的水果，为满足市民的需求，某水果店分别以每千克5元和6元的价格一次性购进了枇杷和桃子个若干千克，共用去了980元．枇杷按每千克获利60%的价格销售，桃子每千克售价是枇杷每千克售价的倍，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利780元．
（1）该水果店此次购进的枇杷和桃子分别是多少千克？
（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些枇杷和桃子，两种水果购进的数量都与上次相同，由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，枇杷每千克售价下调了a%，桃子价格上调了a%，若要求销售完这些枇杷和桃子的利润不得低于768元，求a的最大值．
22．（12分）如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．
（1）求证：PF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．
23．（12分）如图抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线的对称轴上有一点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标；
（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：|﹣（﹣2.5）|＝2.5，
∴|﹣（﹣2.5）|的相反数是﹣2.5，
故选：A．
2． 解：x2﹣9＝0，
变形得：x2＝9，
开方得：x1＝3，x2＝﹣3；
故选：A．
3． 解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
4． 解：∵3﹣2＝，
∴选项A不符合题意；
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴选项B不符合题意；
∵a﹣3÷a6＝a﹣9＝，
∴选项C符合题意；
∵（a4）5＝a20，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5． 解：∵平面直角坐标系中的点P（2﹣m，m）在第四象限，
∴，解得m＜0，
在数轴上表示为：．
故选：C．
6． 解：∵∠3＝85°，∠2＝35°，
∴∠C＝∠3﹣∠2＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠C＝50°．
故选：C．
7． 解：多项式a4b+ab﹣b2的次数是5．
故选：B．
8． 解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝42°，
∴∠CAB＝90°﹣42°＝48°，
故选：C．
9． 解：由sinA＝，得∠A＝30°，
tanB＝1，得∠B＝45°，
∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故是钝角三角形，
故选：C．
10． 解：如图，
∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∵∠A＝30°，
∴OA＝2OB＝2，
∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，
∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，），
第二次旋转后的坐标为（﹣2，0），
第三次旋转后的坐标为（﹣1，﹣），
第四次旋转后的坐标为（1，﹣），
第五次旋转后的坐标为（2，0），
第六次旋转后的坐标为（1，），
•••，
6次一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴第2022次旋转结束时，点A对应点的坐标为（1，），
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝m（n﹣1）．
故答案为：m（n﹣1）．
12． 解：∵a2﹣3a＝4，
∴．
故答案为：﹣3．
13． 解：∵α为方程x2+3x﹣7＝0的根，
∴α2+3α﹣7＝0，
∴α2＝﹣3α+7，
∴α2+4α+β＝﹣3α+7+4α+β＝α+β+7，
∵方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
∴α+β＝﹣3，
∴α2+4α+β＝﹣3+7＝4．
故答案为：4．
14． 解：如图，设AB交OC于点R，过点R作RT⊥OA于点T．
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOR＝30°，
∴RA＝RO，
∵RT⊥OA，
∴AT＝TO＝，
∴RT＝OT•tan30°＝，
∴OR＝2RT＝1，
∴S阴＝S△ROB+S扇形AOC﹣S△AOR
＝×1×+﹣××
＝+．
故答案为：+．
15． 解：∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，
∴BC＝CD＝6，BO＝DO，AO＝CO，AC⊥BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝6，
∴BO＝DO＝3，
∴CO＝＝＝3＝AO，
∵AE＝4，
∴OE＝，
∴DE＝＝＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝2×﹣2﹣3+3﹣
＝﹣2﹣3+3﹣
＝﹣2．
17． 解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x），
去括号得，6﹣3x+6≥2+2x，
移项得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6
合并同类项得，﹣5x≥﹣10，
化系数为1得，x≤2．
∴原不等式的非负整数解为：0，1，2．
18． 解：（1）按照从小到大的顺序排列为50，60，80，80，80，90，90，90，90，100，一共10个数据，
则a＝90，b＝＝85．
故答案为：90，85；
（2），
∴初一年级90分及以上约有360人；
（3）初二更优秀，
因为两个年级平均分相同，但初二的众数及中位数更高．
19． 解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，
以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，
如图1所示．
（2）连接OA，如图2所示：
设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圆的半径为13cm．
20． 解：（1）将A（﹣3，1），C（﹣4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+4，
将A（﹣3，1）代入，
得m＝﹣3，
∴反比例的解析式为y＝﹣（x＜0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，4），
由，解得或，
∴点B的坐标为（﹣1，3），
∴△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD＝＝4；
（3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0．
21． 解：（1）枇杷售价：5×（1+60%）＝8（元/千克），桃子售价：8×＝12（元/千克）
设水果店此次购进的枇杷和桃子分别是x千克、y千克．
根据题意得：，
解得
∴水果店此次购进的枇杷100千克，桃子80千克．
（2）∵枇杷每千克售价下调了a%，
∴枇杷每千克售价：8×（1﹣a%）（元/千克），
∵桃子价格上调了a%，
∴桃子每千克售价：12×（1+a%）（元/千克），
∴100[8×（1﹣a%）﹣5]+80[12×（1+a%）﹣6]≥768
∴a≤15，
∴a的最大值为15．
22． 解：（1）连接OP，BF，EF，
∵∠C＝90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵⊙O与AD相切于点P，
∴OP⊥AD，
∵四边形ABCD的正方形，
∴CD⊥AD，
∴OP∥CD，
∴∠PFD＝∠OPF，
∵OP＝OF，
∴∠OPF＝∠OFP，
∴∠OFP＝∠PFD，
∴PF平分∠BFD；
（2）连接EF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC，
∵tan∠FBC＝，
设CF＝3x，BC＝4x，
∴3x+＝4x，x＝，
∴AD＝BC＝4，
∴EF＝AD＝4．
23． 解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，理由如下：
∵，
∴对称轴为直线，
∵C（0，2），，
∴，设，
当CD＝CP时，，解得n＝4或n＝0（舍去），
∴；
当CD＝DP时，，解得或，
∴或；
综上所述：P点坐标为或或；
（3）当点E运动到（2，1）位置时，△CBF的面积最大，理由如下：
令y＝0，则，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
如图，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，
设，则
∴，
∵，
∴EF最大时，△CBF的面积最大
∴当t＝2时，EF最大为2，此时△CBF的面积最大，
∴，
∴当t＝2时，△CBF的面积最大，最大值为4，此时F（2，3）．
年级
平均数
众数
中位数
初一
81
70
80
初二
81
a
b