2022-2023学年河南省信阳市第二高级中学高一下学期期中模拟考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省信阳市第二高级中学高一下学期期中模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A．{0，1} B．{－1，0}

C．{－1，0，1} D．{－2，－1，0，1，2}

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性求解出的解集为，然后根据集合的交集运算即得.

【详解】因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，

故选：C.

2．若复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数除法几何意义求复数的模.

【详解】由.

故选：B

3．下列四个选项中的命题是真命题的是（　　）

A．若四点不共面，则其中任意三点不共线

B．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分

【答案】A

【分析】A选项用反证法进行判断；BCD选项根据空间图形的位置关系进行判断.

【详解】A选项，对于空间中的个点，若其中个点共线，则这个点共面，

此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A选项正确.

B选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B选项错误.

C选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C选项错误.

D选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D选项错误.

故选：A

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在处函数值的正负排除B和C,得出结果.

【详解】,

为偶函数,排除A.

,排除B和C.

故选:D.

5．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，轴，则中边上的中线的长度为（    ）

A．5 B．10 C． D．

【答案】A

【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.

【详解】由斜二测画法规则知，

即直角三角形，其中,，

所以，

所以边上的中线的长度为.

故选：A.

6．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证. 一名身高1的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为（    ）（参考数据:

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合的正弦值，求出答案.

【详解】如图，，因为，所以，

在 中，由正弦定理得，

所以，

其中

，

故

又，

又，

所以，又该同学身高，所以塔高约为.

故选：.

7．在三角形中，角的对边为，则"成立的必要不充分条件为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合必要不充分条件的定义，利用诱导公式变形判断A．由正弦定理化边为角变形后判断BCD．

【详解】时，ABC均成立，D不一定成立，

A. ，因为是三角形内角，所以，A错误；

B. ，则，，或，即或，B正确；

C. ，则，所以，，C错；

D. 时，由正弦定理得，即，，D错．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查必要不充分条件的判断，方法是利用必要不充分条件的定义，其中掌握正弦定理是解题的关键．

8．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，，在和中应用正弦定理可得到，然后利用结合余弦定理可得，化简可得当时，取得最小值，最后利用面积公式即可

【详解】

设，，，，，

在中，，在中，，

,，，

设，，

，，

，，

，

当时，取得最小值，，，

又，

在中，.

故选：D.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）（多选）

A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥

B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

【答案】ABC

【解析】选项不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项，会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是，构成平面图形，所以错误；选项，可推出侧棱与底面垂直，所以正确.

【详解】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，

故A错误；

选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，

而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，

因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；

选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，

各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；

选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，

又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.

故选:ABC.

【点睛】本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题.

10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数

C． D．复数的模为

【答案】BD

【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.

【详解】对于A，，而，因此复数对应的点位于第一象限，A错误；

对于B，，因此为纯虚数，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，

所以复数的模为，D正确.

故选：BD

11．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D.

【详解】解：对于A，已知，则，

由余弦定理可知，所以，即，

等号两边同时平方，可得，

则，即，

因为，所以，

则，即，

因为，则，

，A选项正确；

对于B，，

因为点O为的外心，所以，，

则，B选项正确；

对于C，由余弦定理，

由正弦定理，则，C选项错误；

对于D，因为，则，

即，所以①，

同理，

即，所以②，

联立①②，解得，，D选项正确；

故选：ABD.

12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．

【详解】因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为，

，A选项正确；

，B选项错误；

，

，，C选项正确；

在上的投影向量为

，D选项正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则的值是__________．

【答案】/－0.6

【分析】由二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．

【详解】，

．

故答案为：．

14．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.

【答案】

【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得、，结合夹角公式计算即可求解.

【详解】因为，与的夹角为，

所以，

所以，

得，又，

所以，

又因为，所以.

故答案为：.

15．已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.

【答案】

【分析】令长方体的长、宽、高分别为，由已知条件及、外接球半径与各棱的关系得到，应用球体面积公式求面积即可.

【详解】令长方体的长、宽、高分别为，则，

由，则，

而长方体外接球半径，故，其表面积.

故答案为：

16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.

【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，

则

，

在正三角形中，，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以的最小值为：

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）求出的坐标，再利用向量平行的坐标公式列方程求解即可；

（2）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可.

【详解】（1），，，

，

或；

（2）由（1）知，

，

，

解得或.

18．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．

(1)若，，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？

(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

【答案】(1)

(2)当时，正四棱柱侧面积最大，最大为

【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；

（2）设，正四棱柱侧面积用x表示，利用基本不等式求最大值.

【详解】（1）∵，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍，∴．

所以仓库的容积

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，设，

则，，．

∴正四棱柱侧面积，

∴，

当且仅当，即时，．

所以当时，正四棱柱侧面积最大，最大为．

19．如图，在平面四边形ABCD中，，，且．

(1)若，求的值；

(2)求四边形ABCD面积的最大值．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式求解；

（2）根据余弦定理得到，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得，再根据三角函数的性质求解.

【详解】（1）因为，，且，

所以在中，，，

所以

；

（2）设，，

在中，由余弦定理，得

，

∵

=

，又，

当时，四边形ABCD面积的最大值．

20．如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．

(1)求证：三线交于点P；

(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证；

（2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证

【详解】（1）证明：连接，，

正方体中，E，F分别是的中点，

∴且，

∵且，

∴且，

∴EC与相交，设交点为P，

∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；

又∵，平面，∴平面，

∴P为两平面的公共点，

∵平面平面，∴，

∴三线交于点P；

（2）

在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，

则FH平面，∴平面，又平面ABCD，

∴平面平面ABCD，

同理，平面平面ABCD，

平面平面ABCD，

∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，

∴P，E，H三点共线．

21．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：

设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：

①（，）；

②（，，）；

③（，，）．

(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；

(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；

(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：，．）

【答案】(1)理由见解析，

(2)刚泡好的乌龙茶大约放置能达到最佳饮用口感

(3)乌龙茶所在实验室的室温约为20℃

【分析】（1）根据题意，结合一次函数，指数函数以及对数函数的特点，分析判断即可得到结果，然后将点的坐标代入即可得到解析式；

（2）结合（1）中结论，然后代入计算，即可得到结果；

（3）根据所选函数模型，代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）选择②（，，）作为函数模型．

由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；

当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．

故应选择②（，，）

将表中前的数据代入，得，解得，

所以函数模型的解析式为：．

（2）由（1）中函数模型，有，即，所以，

即，

所以刚泡好的乌龙茶大约放置能达到最佳饮用口感．

（3）由为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，

所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．

22．函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为的图象与x轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由即可得，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；

（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得在上恒成立，令，按照、、分类，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意点的纵坐标为，为等边三角形，

所以三角形边长为2，所以，解得，

所以，

将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，

再向右平移个单位，得到；

（2）由题意，

所以恒成立，

原不等式等价于在上恒成立.

令，即在上恒成立，

设，对称轴，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.