2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.

【详解】.

故选：D

2．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

【答案】C

【分析】根据与的大小判断可得.

【详解】因为，，，

所以，所以满足条件的三角形有2个.

故选：C

3．若为第三象限角且 ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.

【详解】因为，则.

故选：B.

4．下列说法正确的是（    ）

A．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角

B．若向量满足且同向，则

C．若三点满足则三点共线

D．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为

【答案】A

【分析】根据象限角的概念判断A，利用向量的定义以及共线定理判断B,C，利用任意角的定义判断D.

【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，

且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A正确；

因为两个向量不能比较大小，所以B错误；

由可得，

根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C错误；

将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了，

所以分针转过的角的弧度数为，所以D错误，

故选:A.

5．将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则的一个可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.

【详解】将函数的图象沿轴向左平移 个单位后的函数为，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，.

故选：C

6．已知函数，的部分图象如图，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由图象可求得，.然后根据，结合的取值即可推出，根据，求出，即可得出.然后将代入，即可得出答案.

【详解】由图象可知，，所以.

由可得，，所以.

又，所以，

所以，所以.

因为，所以，.

又，所以，所以，

所以，

所以.

故选：C.

7．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.

【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，

则，直线所在直线方程为，

设，，则，，

，

当时，，当时，，

故其取值范围为，

故选：B.

8．在锐角三角形ABC中，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用，即，结合余弦函数的单调性可判断ABC，取特值可判断D.

【详解】因为为锐角三角形，所以，

所以，所以

所以，故A正确；

同理，，所以，故B错误；

同上，，所以，故C错误；

又时，，故D错误.

故选：A

二、多选题

9．下列四个命题为真命题的是（    ）

A．若向量、、，满足，，则

B．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底

C．若向量，，则在上的投影向量为

D．若向量、满足，，，则

【答案】BC

【分析】取，可判断A选项；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，若且，，则、不一定共线，A错；

对于B选项，若向量，，则，则、不共线，

所以，、可作为平面向量的一组基底，B对；

对于C选项，因为向量，，

所以，在上的投影向量为

，C对；

对于D选项，因为向量、满足，，，

则，D错.

故选：BC.

10．已知函数，则下面结论正确的是（    ）

A．的对称轴为

B．的最小正周期为

C．的最大值为，最小值为

D．在上单调递减

【答案】ABC

【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为，

当时，即当时，

，即，

此时，；

当时，即当时，

，即，

此时，.

所以，.

作出函数的图象如下图中实线所示：

对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称，

对任意的，

，

所以，函数的对称轴为，A对；

对于B选项，对任意的，

，

结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对；

对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为，

要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，，

因为，，

所以，，

因此，的最大值为，最小值为，C对；

对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D错.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.

11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则

B．，，，则

C．若为的内心，，则

D．若为的重心，则

【答案】ACD

【分析】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；

对于B选项，由 ，，可知，

又，所以，

由可得，，，

所以，B错；

对于C选项，若为的内心，，则，

又（为内切圆半径），

所以，，故，C对；

对于D选项，如下图所示，

因为为的重心，延长交于点，则为的中点，

所以，，，且，，

所以，，由“奔驰定理”可得，D对.

故选：ACD.

12．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．若，则

C．若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有1个

D．若，则的取值范围是

【答案】BCD

【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A；根据中心对称求值即可判断B；利用函数平移求出，再结合A选项即可判断C；结合已知单调区间得出范围后即可判断D．

【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以，

所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误；

对于B，由，则的图像关于点对称，所以，故B正确；

对于C，由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，

所以，所以，再结合A选项知，所以，

又，所以，所以，即满足条件的有且仅有1个，故C正确；

对于D，由题意可知为单调递减区间的子集，

所以，其中，解得，

当时，，当时，，

故的取值范围是，故D正确．

故选：BCD．

【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质．

三、填空题

13．请写出终边落在射线上的一个角___________ (用弧度制表示).

【答案】（满足即可，答案不唯一）

【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得，进而即可求得答案.

【详解】设的终边落在射线上，则为第一象限角，

取上的一个点，

根据三角函数的定义可得，，

又为第一象限角，

所以，取，可得.

故答案为：.

14．在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若，则_______________.

【答案】2

【分析】由已知可推得，.结合图象及已知，用表示出以及.然后根据三点共线，得出，有.然后列出方程组，即可求出答案.

【详解】

取基底，

由图可知，

因为，所以，

所以，显然.

又是的中点，所以，

所以.

又，

三点共线，所以，有，

即.

因为不共线，所以有，解得.

故答案为：.

15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.

【答案】20.5/

【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．

【详解】据题意得 ，

解得 ，

所以

令 得 .

故答案为：20.5

四、双空题

16．为所在平面内一点，且满足

|则点为的_________心.若,，，则  ___________

【答案】     垂    

【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为，

则，即，

即，

即，

即，

所以，，同理可得，，

故点为的垂心，

因为

，即，

因为，解得，

因此，，

解得，

因此，.

故答案为：垂；.

五、解答题

17．已知向量，满足，.

(1)若，求;

(2)若与的夹角为，求.

【答案】(1)或

(2)2

【分析】（1）分为，方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；

（2）根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.

【详解】（1）若，方向相同，则；

若，方向相反，则.

（2）由已知可得，，

所以.

18．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；

(2)若在上有两根，求的取值范围.

【答案】(1)表格见解析，

(2)

【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得；

（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.

【详解】（1）补充表格:

由最大值为最小值为可知又，故

再根据五点作图法，可得，得

故

(2)令，则

所以=有两个根，转化为在上有两个根.

即在上有两个根.

由在的图像和性质可得：,

所以

故实数的取值范围为

19．已知向量，．

(1)求的取值范围；

(2)求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的取值范围；

（2）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的最大值．

【详解】（1）因为，所以，

又，则，所以，

所以．

（2）因为，，

则，

所以当时，取得最大值，且最大值为．

20．的内角，，的对边分别为，，.

（1）求的三个角中最大角的大小；

（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术可以已知三边求三角形的面积.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数；

（2）利用三角形面积公式，以及，且，从而证明结论的成立，代入、、即可求出三角形ABC面积．

【详解】（1）∵、、∴角最大.由余弦定理得：

，又角为内角，

∴.

（2）在中，

∵，且

∴

，即证.

当、、时，

，

即面积为.

【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.

21．已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，．

(1)若，求证：为等腰三角形；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意得到，再根据正弦定理可得到，进而即可证明结论；

（2）根据题意化简整理可得到，再根据余弦定理即可得到，进而即可求得的面积．

【详解】（1）因为，，且，所以，

由正弦定理可得，所以，所以为等腰三角形．

（2）因为，，且 ，

所以，                               

又，则，

因为， ，

则由余弦定理可得，解得，  

所以的面积为．

22．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】对于小问(1)，由图像过可以求的值，由函数相邻两个对称轴之间距离可以求的值，结合上述两个条件之一，再由函数的图像关于点对称可以求或的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式转化为进行求解.

【详解】（1）

选择①②:

因为函数的图像过点，

所以，解得，

因为  所以

因为函数的图像关于点对称，则

可得，因为，所以，

所以.   

选择①③:

若函数的图像过点

所以，解得，因为所以

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，解得：.

所以.                  

选择②③:

因为函数相邻两个对称轴之间距离为，

所以，所以，解得：.

若函数的图像关于点对称，则

可得，因为  所以，

所以.

(2)当时，，

令，则，记，

则  

因为在轴对称，

所以，即，

所以，即，

解得：  

所以实数的范围是：.