2022-2023学年河南省濮阳市濮阳外国语学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省濮阳市濮阳外国语学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.

【详解】由得：，，.

故选：A.

2．已知中，内角所对的边分别，若，，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理可直接求得结果.

【详解】在中，由正弦定理得：.

故选：B.

3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）

A．两条相交直线确定一个平面

B．两条平行直线确定一个平面

C．四点确定一个平面

D．直线及直线外一点确定一个平面

【答案】A

【分析】利用平面的基本性质求解.

【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，

所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.

故选：A

4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（    ）

A．16 B．12 C． D．

【答案】A

【分析】根据斜二测画法分析运算.

【详解】在直观图中，，

可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，

则另一边长为，所以原图形的周长为．

故选：A.

5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，由正弦定理得，可令，再利用余弦定理求解.

【详解】由正弦定理：

得

又因为，所以

令

所以

故选：D.

6．已知平面，且，，则直线a，b的关系为（    ）

A．一定平行 B．一定异面

C．不可能相交 D．相交、平行或异面都有可能

【答案】C

【分析】根据空间线面间的位置关系判断．

【详解】由平面，且，可知直线a，b没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．

故选：C．

7．已知P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在（    ）

A．边所在直线上 B．边所在直线上

C．边所在直线上 D．的内部

【答案】B

【分析】根据，利用平面向量的线性运算转化为，再利用平面向量共线定理求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以点P在边所在直线上．

故选：B

【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.

8．有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出柱形石料的高，利用柱体体积减去四个球体体积可得结果.

【详解】设底面是边长为的等边三角形的内切圆的半径为，

由等面积法可得，解得，

若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则该柱形石料的高至少为，

因此，至少需要打磨掉的石料废料的体积为.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题错误的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】CD

【分析】根据复数的运算，逐一分析即可.

【详解】解：，故A对，因为，故，故B对,

虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错.

故选：CD.

10．下列说法不正确的是（    ）

A．若直线a，b不共面，则a，b为异面直线

B．若直线平面，则a与内任何直线都平行

C．若直线平面，平面平面β，则

D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

【答案】BCD

【分析】由空间中线线，线面，面面间的位置关系对各选项进行判断即可.

【详解】A.直线a，b不共面，即不平行，不相交，则a，b为异面直线，故正确；

B. 直线平面，则a与内的直线平行或异面，故错误；

C. 直线平面，平面平面β，则或，故错误；

D. 空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；

故选：BCD

11．在中，角，，所对的边分别为，，，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则

B．若，则是等腰三角形

C．若为锐角三角形，则

D．若，则是钝角三角形

【答案】ACD

【分析】A：由大角对大边，及正弦定理判定；利用正弦定理及二倍角公式判断B；根据正弦函数的性质及诱导公式判断C；根据余弦定理判断D；

【详解】解：对于A：在中，若，则，

则，则，故正确；

对于B：，，

，，或即，

为等腰或直角三角形，故不正确．

对于C：当为锐角三角形时，，，

，可得成立，故正确．

对于D：若，则，

即，即，即所以，

即为钝角，故是钝角三角形,故D正确；

故选：ACD.

12．如图所示，在正方体中，点、、、分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是（    ）

A．直线平面 B．直线平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】ABC

【分析】作出过点、、的截面，由、、与截面相交可判断ABC选项，利用面面平行的判定定理可判断D选项.

【详解】过点、、的截面如图所示（、、均为中点），

所以直线与截面交于点点，故A项错误；

直线与直线在平面必定相交，故B项错误；

直线与直线相交，故平面与平面不平行，C项错误；

因为、分别为、的中点，则，

因为平面，平面，则平面，

同理可证平面，

因为，、平面，故平面平面，D对.

故选：ABC.

三、填空题

13．在中，角所对应的边分别为．若，则__________．

【答案】

【分析】根据正弦定理即可求解.

【详解】因为，所以．

故答案为：.

14．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为_________.

【答案】150°

【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.

【详解】由，得，即，

因为，所以，

所以，又，

所以向量与的夹角为150°.

故答案为：150°

15．一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要__________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．

【答案】324

【分析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，可求得截面的面积，由柱体的体积公式即可求得预制件的体积.

【详解】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．

所以（平方米），

设该预制件的高为h，则该预制件的体积（立方米）．

故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．

故答案为：324.

16．已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为______．

【答案】

【分析】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG.则EF＋FG＋GC＋CH＋HE为平面CEF截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解．

【详解】延长EF交DA的延长线于N，连接CN交AB于点G，连接FG；延长FE交的延长线于点M，连接CM交点H，连接EH；

则正方体被平面CEF截得的截面为CHEFG．

∵E、F分别是、的中点，则易知AN＝，

∴AN＝，∴，

∴，，；

同理，，，；

∴平面CEF截正方体所得截面的周长为：

EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．

故答案为：.

四、解答题

17．已知是虚数单位，复数，．

(1)当复数为实数时，求的值；

(2)当复数为纯虚数时，求的值；

【答案】(1)或

(2)

【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果.

【详解】（1）为实数，，解得：或.

（2）为纯虚数，，解得：.

18．已知，，，．当k为何值时：

(1)

(2)

【答案】(1)或2

(2)

【分析】（1）根据，利用共线向量定理求解；

（2）根据，利用数量积运算求解.

【详解】（1）解：因为，，，，

所以，

．

因为，所以，

整理为，

解得或2；

（2）因为，

所以，

整理为，

解得：.

19．已知的内角A，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若，求周长的最大值．

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）由结合三角形面积公式可化简得到，即可求得答案；

（2）利用余弦定理得到，进而化为，结合基本不等式求得，即可得周长的最大值.

【详解】（1），

，                                   

则，                                                              

，，

又，；

（2），，

由余弦定理得，                                           

即，，

所以,（当且仅当时取“＝”），                      

故，，                                                        

的最大值为8，的最大值为12，

周长的最大值为12．

20．在正方体中，S是的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

(1)平面；

(2)平面平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）连AC，BD交于点O，连SB，D1O，证明，利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）证明都平行于平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可.

【详解】（1）证明：连AC，BD交于点O，连SB，D1O，

G，E分别是SC，BC的中点，，

又，则四边形为平行四边形，

，，

平面，平面，

平面；

（2）由题连接OF，A1F，

OF是的中位线，，

四点共面，

由（1）可知，，平面，平面，

则平面

又,平面，平面，

则平面，又，

平面,平面,

平面平面.

21．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．

(1)求角A的大小；

(2)若D为线段延长线上的一点，且，求的面积．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得方程，求解即可.

选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.

选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.

（2）设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.

【详解】（1）若选择①，∵．∴，

∵，∴，

即，

∵∴；

若选择②，∵，

∴，

∴，

∴，

，

∵∴；

若选择③，∵，

∴，

∴，

∴，

∴，又∵．∴，

∴，∵，∴；

（2）设，，，

在中，用余弦定理可得，

即 ①，

又∵在中，，

即.即，即 ②，

在中，用余弦定理可得，

即 ③，③+①可得，

将②式代入上式可得，．

22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且．

(1)求角B的大小；

(2)若的面积为，求AC边上的中线长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得，代入得到三边关系，由余弦定理求得后得到大小，从而求得大小；

（2） 由条件可求得的各边与各角，在中由余弦定理求AC边上的中线长．

【详解】（1）∵，∴，

由正弦定理得，

由，得，

又由，得，，，

由余弦定理得，

又∵，∴，

由，，，得，

∴，；

（2）由（1）得，，，，，，，

所以，

设AC的中点为D，则，

在中，由余弦定理得，

所以AC边上的中线长为．