2022-2023学年河南省濮阳市第一高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省濮阳市第一高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，若，，则等于

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据题意得到，=，故得到=.

故答案为D.

2．已知为第三象限角，则为（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】采用一般与特殊的思想，因为是第三象限角，所以令，即可判断所在的象限．

【详解】因为是第三象限角，故可令，则，是第四象限角．

故选：D．

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解不等式即可求解.

【详解】由题意可得：可得：且，

所以函数的定义域为，

故选：D.

4．设，则a，b，c的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.

【详解】因为单调递增，所以，

因为单调递减，所以，，

即，

因为，所以，即，

综上：.

故选：A

5．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性求解即可.

【详解】解：令，解得，

所以，函数的定义域为，值域为，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

函数在定义域内为增函数，

所以，根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减，

故选：D

6．已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据命题的否定为真命题，然后分，讨论，根据一元二次不等式恒成立求解.

【详解】命题为假命题，即命题为真命题，

当时，恒成立，符合题意；

当时，则且，即；

综上可知，.

故选：C.

7．已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，

因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上是单调递减，且.

所以，当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

故满足的的取值范围是

故选：B

8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由当时，的关于原点对称的函数与有交点求解.

【详解】解：由题意得：点是曲线的“优美点”，

则点也在曲线上，

当时，关于原点对称的函数与有交点，

当时，，其关于原点对称的函数为，

由与联立得，

在时有解；

而，

当且仅当，即时，等号成立，

则实数的取值范围为

故选：B

二、多选题

9．下列不等式中不成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据特值，不等式的性质及作差法逐项分析即得.

【详解】A. 若，当时，，故A满足题意；    

B. 若，则，即，故B不满足题意；

C. 若，则，即，故C满足题意；

D. 若，则，即，故D不满足题意.

故选：AC.

10．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据取不同类型的值,结合函数的图象以及性质分类讨论即可.

【详解】时,,图象为A,故A正确;

时,,

当时,由对勾函数的性质可知,

函数在单调递减, 单调递增,

当时,函数为减函数,且,图象为D,故D正确;

时,,

当时,函数为增函数, 且,

当时,由对勾函数的性质可知,

在单调递增,单调递减, 且图象在第三象限,

所以函数在单调递减,单调递增,且图象在第二象限,

,图象为C,故C正确;

故选:ACD.

11．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABCD

【分析】根据基本不等式结合条件逐项分析即得.

【详解】因为，，，又，

所以，即，当且仅当取等号，故B正确；

因为，，所以，而，

所以，当且仅当取等号，故A正确；

因为，，所以，又，

所以，即，

所以，当且仅当取等号，故C正确；

因为，，所以，又，

所以，即，当且仅当取等号，故D正确.

故选：ABCD.

12．已知函数，函数，其中，若函数恰有2个零点，则b的值可以是（    ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】BD

【分析】求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.

【详解】∵，

∴ ，

∵函数恰好有两个零点，

∴方程有两个解，即有两个解，

即函数与的图象有两个交点，

，

作函数与的图象如下，

当和，即 ，

结合图象可知，当时，有不止两个交点，

当或时，满足函数与的图象有两个交点，

当时，无交点，

综上，或时满足题意，

故选：BD.

三、填空题

13．不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．

【答案】

【分析】根据，即可知恒过定点.

【详解】因为，故当，即时，，

即函数恒过定点.

故答案为：.

14．设函数，__________．

【答案】9

【分析】分段函数求函数值，代入对应的解析式求解即可.

【详解】

故答案为：9

15．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：

（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.

请写出满足条件的一个的解析式，___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题干要求，结合常见函数的单调性，直接写出结果即可.

【详解】根据题意，不唯一，不妨取，

因为，且是上的单调增函数，

故满足题意.

故答案为：.

16．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据双变量不等式转化为函数最值问题，即，先确定，再 讨论的取值，得的最大值，即可得实数的取值范围.

【详解】解：若对任意的，总存在使得成立，则，

当时，，

当时，，满足，符合题意；

当时，在上单调递减，故，解得；

当时，在上单调递增，故，解得；

综上，的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数（且）的图象经过点．

(1)求a的值及在区间上的最大值；

(2)若，求证：在区间内存在零点．

【答案】(1)，最大值；

(2)证明见解析.

【分析】（1）将点代入解析式可得，然后根据函数单调性求解最大值；

（2）根据零点存在性定理结合条件即得.

【详解】（1）因为函数，且的图象经过点，

所以，即，

所以，

所以在区间上单调递减，

所以在区间上的最大值是；

（2）因为，

所以.，

因为，，

所以，

又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，

由零点存在定理可得在区间内存在零点．

18．已知幂函数在上单调递增，.

(1)求实数m的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或.

又因为在上单调递增，

所以即，故.

（2）又(1)知，

因为在上单调递增，

所以当时，，，

所以在上的值域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以的值域为，

因为命题q是命题p的必要不充分条件，

所以A⫋B，所以或，解得，

所以实数t的取值范围是.

19．（1）已知，且，求的最小值；

（2）已知，求的最小值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

（2）设 ，，变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1），.

因为，所以 ，，所以

当且仅当 ，即，时取等号，

所以，故的最小值为.

(2) 解法一（换元法）：设 ，，

则，，且．

所以，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值是.

解法二（配凑法）：

因为，所以，，

所以

，

当且仅当时等号成立，所以的最小值是.

20．是定义在上的函数

（1）用定义证明f (x)在上是增函数；

（2）解不等式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由题意设x1，x2为内任意两实数，且x1<x2，通过作差法证明即可得证；

（2）由题意结合奇函数的定义可得函数为定义在上的奇函数，转化条件为，结合函数的单调性即可得解.

【详解】（1）证明：设x1，x2为内任意两实数，且x1<x2，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以函数f (x)在上是增函数；

（2）因为，

所以函数为定义在上的奇函数，

由得，

又由（1）可知函数f (x)是定义在的增函数，

所以有，解得，

所以原不等式的解集为.

【点睛】本题考查了函数单调性的证明及应用，考查了函数奇偶性的应用及转化化归思想，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.

21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)求函数的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．

【答案】(1)

(2)车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时

【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数的解析式，再写出分段函数即可；

(2)先分别求出每段函数的最大值，然后再比较取最大的一个即可.

【详解】（1）当时，，当时，设，

当时，；

由已知得解得，

故函数的表达式为；

（2）依题意并由(1)可得，

当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；

当时，，

∴当时，在区间上取得最大值，

∵3333＞1200，

∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

22．已知函数y=f(x)的定义域为R，且对一切xR都有f(x)+2f(-x)=-(+1)x+3a恒成立.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意有，消去，即可得出答案；

（2），分类讨论，即可得出答案.

【详解】（1）解：由题，

消去，得；

（2）解：由(1)有，

①当时，；

②当时，

1)若，即时，解为或；

2)若，即时，解为或；

③当时，

1）若，即时，解为；

2）若，即时，解为；

综合有：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或；

当时，解集为或.