2022-2023学年河南省濮阳市华龙区第一高级中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河南省濮阳市华龙区第一高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的基本运算的概念，可知图中阴影部分表示的集合为，求解即可.

【详解】根据集合的基本运算的概念，可知图中阴影部分表示的集合为.

∵，∴或，

，

∴.

故选：D.

2．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】利用向量的定义、模以及向量共线基本定理判断命题的真假即可.

【详解】对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同；故正确；

对于②，当是零向量时，不能说 与 方向相同或相反，故不正确；

对于③，如果，则与可以不共线，所以不正确；

故选：B.

3．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】B

【详解】试题分析：：∵，

∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形状是等腰三角形

【解析】向量运算

4．已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，根据对数函数的性质可得，从而得解.

【详解】令，为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在区间上有最小值，

则在上先减后增，

所以，

解得.

故选：A.

5．如图，向量，则向量可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.

【详解】根据向量运算法则可得，

又，

所以，

故选：C.

6．定义在R上的奇函数满足，且时，，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】C

【解析】由条件可得是以4为周期的周期函数，然后可求出答案.

【详解】因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是以4为周期的周期函数

所以

故选：C

7．已知向量，，则以下说法正确的是（    ）

A． B．向量在向量上的投影向量为

C．与的夹角余弦值为 D．若，则

【答案】D

【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算出的坐标，根据向量共线的性质可判断A选项；根据投影向量的定义计算可判断B选项；根据平面向量数量积的定义可计算判断C选项；根据两向量垂直的坐标运算，可判断D选项.

【详解】，

A选项不正确；

又 ，

向量 在向量上的投影为

，故B不正确；

，设与的夹角为，

则 ，故C错误；

若 ，则

即 ，故D正确.

故选：D.

8．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C． D．5

【答案】B

【分析】利用复数在复平面内的几何意义，转化点到点的距离求解.

【详解】设，

复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动，

表示点与复数的对应点的距离，

故选：B.

二、多选题

9．函数，下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由不等式性质可判断A、B；利用特值法可判断C；利用指数函数的单调性可判断D.

【详解】因为，，所以，得，故A正确；

因为，，所以，故B正确；

若，，故C不正确，

因为，所以，故D正确.

故选：ABD.

10．下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】BCD

【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判断即可；

【详解】解：根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，

故选：BCD．

11．已知在△ABC中，，，点沿运动，则的可能值（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】BC

【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量数量积，根据自变量的取值范围求二次函数的值域来求解.

【详解】以点为坐标原点，以为轴，建立平面直角坐标系如图所示：

则，，，

当点在上时，设，，

，，

，

可求得取值范围为，

当点在上时，设，，

，，

，

可求得取值范围为，

综上，取值范围为，

故选：BC.

12．已知函数且方程的6个解分别为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据十字相乘法得到或，画出的图象，数形结合得到，，，，，，从而对四个选项一一作出判断.

【详解】，整理得到，

故或，

画出的图象，如下：

显然有三个根，分别为，

有三个根，分别为，，，，

A选项，数形结合得到，A错误；

B选项，由于，，故，故B错误；

C选项，由得，由，得到，故，C正确；

D选项，因为，，故，D正确.

故选：CD

三、填空题

13．是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________.

【答案】

【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.

【解析】复数的运算.

14．已知，，，，则的值为______.

【答案】

【分析】由，可得，再利用两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算即可得出．

【详解】解：因为，，，，

所以即，所以，即，所以

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量的数量积及同角三角函数的基本关系，属于基础题.

15．关于函数有下列命题，其中正确的是_______.（填序号）①是以为最小正周期的周期函数；②的图象关于直线对称；③的图象关于点对称；④的表达式可改写为.

【答案】③④

【解析】根据周期公式可得①不正确.

【详解】是以为最小正周期的周期函数,故①不正确；

因为,所以②不正确；

因为,所以③正确；

因为,所以④正确.

故答案为:③④

【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.

16．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为________.

【答案】

【分析】化简已知等式得，再利用正弦定理得，求出即得解.

【详解】由题得,

因为,

所以，

所以,

因为，所以.

由正弦定理得.

所以

,

所以的最大值为，此时.

故答案为：

四、解答题

17．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．

(1)若且与垂直，求与的夹角；

(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由向量垂直的数量积运算得出，进而由得出与的夹角；

（2）由数量积的坐标运算得出，解不等式得出实数的取值范围．

【详解】（1）解：由得，即，所以，

得，又，所以；

（2）解：因为，，所以

所以，则，

由 得，即，

因为与的夹角为锐角，所以

18．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）解关于t的不等式：．

【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析（2）

【分析】（1）首先求函数的定义域，再判断与的关系；

（2）首先判断函数的单调性，再根据（1）的结果，可知函数为奇函数，所以不等式化简为，利用函数的单调性解不等式.

【详解】（1）因为函数的定义域为R，且，

所以函数是奇函数．

（2）由易得，函数是定义域为R的增函数，

而不等式可化为，

再由可得，

所以，解得．

所以，不等式的解集为

【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，并解抽象不等式，意在考查转化与变形，属于中档题型.

19．在中，角所对的边分别为，.

(1)判断的形状，并加以证明；

(2)如图，外存在一点D，使得且，求.

【答案】(1)直角三角形，证明见解析

(2)5

【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；

（2）根据正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，结合中垂线性质即可得解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得

又，所以

化简得：，，

所以，，

所以，是直角三角形

方法二：

在中，由余弦定理得

整理得，

所以， 是直角三角形

（2）方法一：

在中，由正弦定理得.

由题设知，，所以.

由题（1）知，.

在中，由余弦定理得

.

所以.

方法二：

作 ，垂足为 ， ，垂足为,则，

在中

所以，为的中垂线

所以

20．已知，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象.

（1）若，，求的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，转化条件得，再由的取值范围即可得，再由两角差的正切公式即可得解；

（2）由三角函数的图象变换得，转化条件得对任意恒成立，设，结合二次函数的性质令即可得解.

【详解】由题意

，

（1）由得，

又，所以，

所以，解得，

则；

（2）因为将的图象向右平移得到函数的图象，

所以，

所以，

所以恒成立，

原不等式等价于对任意恒成立，

令，，则在上恒成立，

设，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于中档题.

21．某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；

(1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式；

(2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值．

【答案】(1)，

(2)当， 取得最大值10千米

【分析】（1）根据角度关系，由知，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式；

（2）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值．

【详解】（1）由已知得，，

故，

所以，；

（2）

，

所以当，时，取得最大值10千米．

22．如图，过△ABC的重心任作一条直线，分别交边，于点，（不含端点），若，，，，记△ADE，△ABC，△ADG，△CEG的面积分别为，，，，试探究：

(1)的值；

(2)用分别表示，，并且求出的最小值．

【答案】(1)3

(2) ；，

【分析】（1）设出基底，由， ，三点共线的基本性质，利用共线向量的性质列出等式，求出即可；

（2）利用三角形重心的性质，三角形面积比的基本模型即可表示出，，利用换元法及不等式的性质求出最小值.

【详解】（1）设，，则向量，

由， ，三点共线，可设，则，

即，整理得，

可得，

消去得，其中.

（2），

由为的重心，可得、、的面积相等，

所以，，

令，则，

当且仅当时，有最小值.