2022-2023学年江苏省南通市西亭高级中学高一下学期期中模拟数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南通市西亭高级中学高一下学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．已知i是虚数单位，若，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简，进而即可求出答案.

【详解】因为，

所以．

故选：C.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合诱导公式和二倍角公式求得正确答案.

【详解】由，得，

所以.

故选：C

3．记的内角的对边分别为，则边上的高为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果.

【详解】由，得.

设边上的高为，

因为，所以，

即边上的高为.

故选：D

4．利用公式：，，可得：．则化简的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题目所给公式计算化简即可求值.

【详解】由可得，

，

，

所以

，

故选:A.

5．如图在中，．，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由及，将．由三点共线可求的值，再用、表示，进而求即可.

【分析】，，即，，

因为、、共线，设，即，

所以，，所以，，故，

所以，，而，

由平面向量数量积的定义可得，

.

故选：C.

6．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.

【详解】，

，

.

因为函数在上是增函数，所以.

故选：C.

7．的三个内角，，的对边分别为，，，若三角形中，，且，则（    ）

A．3 B． C．2 D．4

【答案】D

【分析】易知，利用两角差的正弦公式化简原等式，可推出，从而知和的值，再结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．

【详解】，且，

，

，

，即，

，

，

，，，

，

由正弦定理知，，

，即，

，

．

故选：D

8．中，若，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得，利用基本不等式得，利用两角和的正切公式表示，结合以上条件即可求解的取值范围．

【详解】∵，∴，

∵，即，

∴，

两边同时除以，得，

∵，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，即，

，

∵，∴，

∴，

∴，即的取值范围是．

故选：A．

二、多选题

9．在复平面内，复数，正确的是（    ）

A．复数的模长为1

B．复数在复平面内对应的点在第二象限

C．复数是方程的解

D．复数满足

【答案】AC

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而可判断AB,将代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D.

【详解】由得，则

对于A,，故A正确，

对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，

对于C, ,故是的复数根，故C正确，

对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，

故选：AC

10．在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则（    ）

A． B．向量，夹角的最小值为

C．内角A的最大值为 D．面积的最小值为

【答案】AC

【分析】根据向量的运算法则结合余弦定理得到，根据均值不等式得到，计算，得到AC正确，B错误，利用面积公式得到，得到答案.

【详解】，，故A对；

，，当且仅当时取等，，，即，故B错，C对；

，故D错.

故选：AC

11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（    ）

A． B．与的夹角为

C． D．在上的投影向量为

【答案】BC

【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D.

【详解】，,

,解得,故A错误

,，

由于，与的夹角为，故B正确,

,故C正确

在上的投影向量为，故D错误,

故选：BC

三、单选题

12．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式

（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；

对于B，，所以B错误；

对于C，由，，所以,得出,选项C正确；

对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.

故选：C.

四、填空题

13．复数与复数在复平面上对应点分别是，则tan∠AOB＝______．

【答案】1

【分析】根据复数运算法则可得两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出.

【详解】根据复数运算法则可得，

所以与对应的点的坐标为，如下图所示：

易知；

则.

故答案为：1

14．已知，，，，则________．

【答案】

【分析】通过构角，再利用正弦的两角差的公式得，利用已知条件，通过进一步缩小和的范围，再利用同角三角函数关系和二倍角公式求出，，的值，进而可求出

【详解】因为，由正弦的两角差的公式得．

又因为，，又，所以，

又因为，，，

所以，．

又，，又，所以，

，

故答案为：．

15．设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．

【答案】（填也对，答案不唯一）

【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出，再分别讨论和为钝角时，边的取值范围，根据题意即可得到答案.

【详解】首先由，，构成三角形有，

若为钝角所对边，有，，

若为钝角所对边，有，，

由，不可能为钝角所对边，

综上，的取值范围是,

由题意，取整数值，故的大小可取或.

故答案为：（填也对，答案不唯一）.

16．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出，由可得，代入中求其模，利用基本不等式可求出其最小值.

【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

可知，，分别在线段、上，

设（），

则，

所以，

所以，

，

所以

，

设，则，

当且仅当时，取等号，

所以的最小值为．

故答案为：

五、解答题

17．已知，

(1)求和的值

(2)若，，求的大小．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；

（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.

【详解】（1），

；

（2），

，

∵，∴.

18．已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z.

（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；

（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；

（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.

【详解】点A，B对应的复数分别为，

对应的复数为z，，

（1）复数z是纯虚数，，

解得，

；

（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，

位于第四象限，，即，

.

【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.

19．某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米.

（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长；

（2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值.

【答案】(1) 万米. 万平方米.

(2) 所求面积的最大值为万平方米，此时点为弧ABC的中点.

【详解】试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．

试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.

在△ADC中，由余弦定理，得

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.

又cos∠ABC＝－cos∠ADC，

∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2万米，

又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方万米)．

(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，

且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．

设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝xy.

在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，

又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，

当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.

∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，

故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为弧ABC的中点．

20．在中，角A，，所对的边分别为，，，且．

(1)若，，求角

(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.

（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.

【详解】（1）解：因为，

依据正弦定理，

所以，

即，

由余弦定理变形知，

因为，所以．

因为，，

则在中，由正弦定理得：

又，

因为，所以．

（2）法一：因为，

是的角平分线，

而，

所以，

即，

所以，

因为，，，且，故AD

当且仅当取等，

所以最大值为．

答：当时，最大值为．

法二：因为,

设，，

在，中由正弦定理知：

①，

②，

因为，所以①②得，

，

令，，

由于，

所以，易得此函数在为单调递增函数，

所以当时，最大值为．

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．

21．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.①；②；③.

（1）在上述三个条件中任选一个，求B；

（2）在（1）所选定的条件下，若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.

【分析】（1）选①，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可得；

选②，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；

选③，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角；

（2）求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦公式，同角关系式化为的代数式，再由角范围得结论．

【详解】（1）选①

由正弦定理得：

在三角形中得，

选②.由正弦定理得：

在三角形中，

选③.

在三角形中，

（2）由正弦定理，

由锐角三角形，，，所以.

．

22．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．

(1)试用表示．

(2)求的值；

(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）通过拆角，再利用和差角和倍角公式，即可求出结果；

（2）通过方程，利用（1）中条件和倍角公式，建立关于的方程，从而求出结果；

（3）通过换元，利用（1）中条件，求出的三个根，再通过构角，借助余弦的和差角公式即可求出结果.

【详解】（1）因为

（2）因为

由诱导公式知，，所以由（1）及正弦的二倍角公式得

又因为，所以，所以

整理得解得或，

又，所以.

（3）因，令，

故由可得：

（*）

由（1）得：，

因．，故，

故或或，

即方程（*）的三个根分别为，，，  

又，故，

所以

.