2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高一下学期期中数学试题含解析
展开2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1.已知,其中为虚数单位,则( )
A.5 B. C.2 D.
【答案】B
【分析】由复数的除法运算,化简求复数的代数形式,再利用复数模的计算公式,即可求解.
【详解】由复数满足,则,
则,
故选:B.
2.已知,则( )
A. B.3 C. D.
【答案】D
【分析】根据正切的两角差公式直接求解即可.
【详解】
故选:D
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=45°,a=6,b=3,则B的大小为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
【答案】A
【分析】先由正弦定理求出sinB=,可得B=30°或B=150°,再由a>b,得A>B,从而可求出B=30°.
【详解】由正弦定理得,
即,
解得sinB=,
又B为三角形内角,所以B=30°或B=150°,
又因为a>b,所以A>B,即B=30°.
故选:A.
4.已知,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先由同角的三角函数关系求得,再利用余弦的和角公式求解即可.
【详解】因为,,所以,
所以,
故选:C
5.已知向量,,,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】求出向量的坐标,利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式,求解即可.
【详解】由已知,因为,则,解得.
故选:D.
6.用一个平面去截一个几何体,截面的形状是矩形,那么这个几何体不可能是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.长方体
【答案】A
【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.
【详解】用一个平面去截圆锥得到的截面可能为三角形、圆等,不可能出现矩形,
用一个平面去截圆柱,三棱柱,长方体,截面的形状都有可能是矩形,
故选:A.
7.设O为△ABC的外心,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若b=3,c=5,则=( )
A.8 B. C.6 D.
【答案】A
【分析】根据给定条件,利用数量积的定义结合圆的性质求解作答.
【详解】因为O为△ABC的外心,
则,同理,
所以.
故选:A
8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“勾股圆方图”,后人称其为“赵爽弦图”,类比赵爽弦图,用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边,若,则AC=( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】B
【分析】在中,设,根据题意利用正弦定理可得,然后利用余弦定理即可求解.
【详解】在中,,设,则,
由正弦定理可知,,即,则,
在中,,
,又,则,故,
故选:B.
二、多选题
9.在中,下列说法正确的有( )
A.若,则一定是锐角三角形
B.若,则一定是等边三角形
C.若,则一定是等腰三角形
D.若,,则一定是等边三角形
【答案】BD
【分析】利用余弦定理即可判断A;利用正弦定理化边为角,从而可判断B;利用正弦定理化边为角结合倍角公式,从而可判断C;利用正弦定理化角为边,结合已知即可判断D.
【详解】解:对于A:若,
故,所以为锐角,
但并不能说明一定是锐角三角形,故A错误;
对于B:由于,
利用正弦定理:,整理得,
因为,所以,
所以为等边三角形,故B正确;
对于C:因为,
所以,
又,则,
所以,即,
所以或,
所以或,
所以是等腰三角形或直角三角形,故C错误;
对于D,因为,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,所以,
所以一定是等边三角形,故D正确.
故选:BD.
10.下列命题正确的是( )
A.
B.已知向量与的夹角是钝角,则的取值范围是
C.向量,能作为平面内所有向量的一组基底
D.若,则在上的投影向量为
【答案】AD
【分析】利用向量加法法则即可判断A;利用向量夹角是钝角,则向量数量积小于0,并去掉共线情况判断B;由向量共线的坐标公式计算判断C;根据两向量共线定义及投影向量的定义即可判断D.
【详解】对于A:,正确;
对于B:向量与的夹角是钝角,则,解得,且,错误;
对于C:因为向量,,所以,所以共线,不能构成平面向量的基底,错误;
对于D:因为,则与方向相同或者相反,
当与同向时,成立;
当与反向时,也成立,正确.
故选:AD.
11.下列说法正确的是
A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
【答案】BCD
【分析】根据圆锥的概念及性质,各选项逐一判断即可得到答案.
【详解】A不正确,直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;
B正确,以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;
C正确,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;
D正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).
故选:BCD.
【点睛】本题考查圆锥的概念及特征,考查对圆锥概念及性质的灵活应用,属于基础题.
12.已知向量,,函数,下列说法正确的是( )
A.的最小正周期是
B.的图像关于点对称
C.的图像关于直线对称
D.的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】根据题意,结合三角恒等变换求出的解析式,再结合正弦函数的图像性质一一判断即可.
【详解】由题意得,
.
由的最小正周期,故A正确;
由,得,
所以的单调增区间为,故D正确;
由,可知的图像关于点对称,故B正确;
由,可知的图像不关于直线对称,故C错.
故选:ABD.
三、填空题
13.若复数满足,则复数的值是______.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求出,再根据复数的乘方求解.
【详解】由可得,即,
所以,则,
故答案为: .
14.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且,,则________.
【答案】2
【分析】由向量加减法的几何意义,求得,由为线段的中点,得到,即可求解.
【详解】以为临边作平行四边形,如图所示,
由向量加减法的几何意义,可知,
因为,所以,
又由,且为线段的中点,
所以.
故答案为:.
15.如图所示,一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为______.
【答案】
【分析】作出直观图,结合斜二测画法概率计算
【详解】如图,,到轴的距离为.
故答案为:.
16.已知的三个角,,所对的边为,,,若,为边上一点,且,,则面积的最小值为 _____.
【答案】
【分析】设,则,利用面积关系可以得到,从而求得;再利用面积关系可以得到,再利用基本不等式求出的取值范围,再根据面积公式计算可得.
【详解】设,则,
∵,,
∴,
即,化简得,即,
又,解得或(舍去),
所以,
又,
所以,
即,即,
所以,当且仅当时取等号,
所以,即面积的最小值为.
故答案为:
四、解答题
17.实数m取什么值时,复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
【答案】(1)m1=0或m2=3时, z是实数; (2)m1≠0且m2≠3时, z是虚数;(3)m=2时z是纯数;
【详解】试题分析:(1)当m2-3m=0,即m1=0或m2=3时, z是实数; 4分
(2)当m2-3m≠0,即m1≠0且m2≠3时, z是虚数; 8分
(3)当即m=2时z是纯数; 12分
【解析】复数的概念.
点评:中档题,复数为实数,则虚部为0;复数为纯虚数,实部为0 ,虚部不为0.
18.计算下列各式的值:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)利用二倍角公式求得正确答案.
(2)利用两角和的正切公式求得正确答案.
(3)利用两角和的余弦公式、二倍角公式、降次公式、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】(1)
(2).
(3)
.
19.如图,在中,.设.
(1)用表示;
(2)若为内部一点,且.求证:三点共线.
【答案】(1),
(2)证明见解析
【分析】(1)由图中线段的位置及数量关系,用表示出,即可得结果;
(2)用表示,得到,根据向量共线的结论即证结论.
【详解】(1)由题图,,
.
(2)由,
又,所以,故三点共线.
20.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积S
【答案】(1) ;(2)
【分析】(1)利用正弦定理将条件中的边全部化为角,然后整理化简就可求出;
(2)根据条件,中已知的条件有,,,,要求的面积,就差一条边,根据正弦定理求出边c,进而就可以求出的面积S.
【详解】(1),,
得,
,,,为锐角,
(2)由(1)为锐角,,
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,一些比较重要的结论,比如,等,要能及时使用,本题比较基础.
21.已知,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)原式除以,分子分母再同时除以即可得解;(2)由及二倍角公式求出、,再由求出、,代入的展开式即可得解.
【详解】(1)原式;
(2)且,,则,
,
,
,,,
,
又,,
.
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值,重点考查转化与化归和计算能力,属于中档题型.
22.如图,已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
【答案】(1)见试题解析;(2)见试题解析
【分析】(1) 如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1),再求出和的坐标,再计算得=0即证
BE⊥CF.(2) 设P(x,y),再根据已知求出P,再求=4=,即证明AP=AB.
【详解】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标表示和坐标运算,考查向量垂直和平行的坐标表示,考查模的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)向量,则.
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