2021-2022学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一下学期期末考试数学试题含解析

  青铜峡市宁朔中学 吴忠中学青铜峡分校

 2021-2022学年第二学期

高一年级数学期末考试测试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1. 若直线和没有公共点，则与的位置关系是（    ）

A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线与直线的位置关系即可判断

【详解】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，

故选：D.

2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆台

【答案】D

【解析】

【详解】由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，

从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，

则该几何体可以是圆台．

故选D．

3. 已知正数满足 ，则的最大值（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.

【详解】因为正数满足 ，

所以有，当且仅当时取等号，

故选：B

4. 在中，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知利用正弦定理即可求解．

【详解】解：在中，，，，

则由正弦定理，可得．

故选：C ．

5. 等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　）

A.  B.  C. 2 D. -

【答案】A

【解析】

【分析】由条件，可得，又可得答案.

【详解】等差数列中，，则

，所以，则

故选：A

6. 若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.

【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；

对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；

对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；

对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.

7. 已知为数列的前n项和，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用得到公比，利用求出首项，利用求和公式求出答案.

【详解】因为，所以数列为等比数列，公比，

所以，解得：，

所以

故选：D

8. 如图，在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接，可得为与平面所成角，在中，即可求解.

【详解】连接，则为与平面所成角，

设正方体的边长为，则

在中，

故选：D

【点睛】本题考查了线面角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.

9. 以下命题（其中a，b表示直线，表示平面），其中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面位置关系依次判断即可求解.

【详解】解:对于A选项，若，则或，故错误；

对于B选项，若，则或相交或异面，故错误；

对于C选项，若，则或，故错误；

对于D选项，若，则，为线面平行的性质，故正确.

故选：D

10. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则△ABC的形状是（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断△ABC的形状是等边三角形

【详解】△ABC中，，则

又，则

由，可得，代入

则有，则，则

又，则△ABC的形状是等边三角形

故选：C

11. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为 （    ）

A. [0,4] B. [0,4)

C. (0,4) D.

【答案】B

【解析】

【分析】讨论或，利用一元二次不等式恒成立即可求解.

详解】当时，恒成立；

当时，则，解得，

综上所述，实数a的取值范围为[0,4).

故选：B

12. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 不等式的解集是___________________.

【答案】或.

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】解：因为，即，

所以或，

所以不等式的解集是或，

故答案为：或.

14. 若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用圆锥的底面面积求出底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，进而利用圆锥的体积公式进行求解.

【详解】圆锥的底面面积为，则底面半径r=1，由勾股定理可得：，所以圆锥的体积为

故答案为：

15. 若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【解析】

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

故答案为：1．

【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

16. 已知数列首项，且，则数列的通项公式是=_________________

【答案】

【解析】

【分析】根据，取倒数整理得到，再利用等差数列定义求解.

【详解】因为数列首项，且，

所以，

所以数列是以1为首项，以2为公比的等差数列，

所以，

则，

故答案为：

三、解答题（本大题共6个小题，其中17题为10分，其它小题为12分，共70分）

17. 如图，已知正方体

（1）哪些棱所在直线与直线是异面直线？

（2）直线和和的夹角是多少？

（3）哪些棱所在的直线与直线垂直？

【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；   

（2）45°    （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

【解析】

【分析】（1）根据异面直线的定义即可求解；

（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，即可得出结论；

（3）根据线线垂直的判定定理即可求解.

【小问1详解】

由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；

【小问2详解】

由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；

【小问3详解】

直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

18. （1）已知，求的最小值；

（2）已知是正实数，且，求的最小值．

【答案】（1）7；（2）．

【解析】

【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；

（2）利用基本不等式“1妙用”即可求解.

【详解】（1）∵，即，

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值为7．

，，．

当且仅当，即，时取等号．

∴的最小值为．

19. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.

（1）求证：平面BDE；

（2）求证：PC⊥BD.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据中位线的性质先证线线平行，再证明线面平行.

（2）先证BD⊥平面PAC，再证PC⊥BD.

【小问1详解】

证明：连接AC交BD于O点，连接EO，

如图所示：

∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点

∵点E为PC的中点，∴

∵平面BDE，且平面BDE

∴平面BDE

【小问2详解】

证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，

∴PA⊥BD

∵，平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，

∴BD⊥PC.

20. 在公差为的等差数列{}和公比为的等比数列{} 中

（1）求数列{}与的通项公式；

（2）令，求数列{}的前项和．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可；

（2）将通项公式分成等差数列和等比数列分别求和即可.

【小问1详解】

根据题意，得，解得，则；

又得，解得，由得，，

则．

【小问2详解】

，

∴．

.

21. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角；

（2）当时，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合余弦定理，即可求出结果；

（2）由（1）可知，利用余弦定理，结合基本不等式即可求出，进而求出面积的最大值.

【小问1详解】

解：由，即，，

又，故；

【小问2详解】

解：由（1）知，，

∴．

由余弦定理得，

即，当且仅当时等号成立，

∴，

∴面积的最大值为．

22. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．

（1）若为边的中点，求证：平面；

（2）若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面⊥平面？并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析   

（2）当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得BG⊥AD，根据面面垂直的性质可证；

（2）先证平面DEF∥平面PGB，再说明平面PGB⊥平面ABCD即可．

【小问1详解】

在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边中点，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以BG⊥平面PAD．

【小问2详解】

当F为PC边的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，证明如下：

取PC 的中点F，连接DE、EF、DF，

在△PBC中，FE∥PB，FE平面PGB，PB平面PGB

∴FE∥平面PGB

在菱形ABCD中，DG∥BE且DGBE

BEDG为平行四边形，则DE∥BG，DE平面PGB，BG平面PGB

∴DE∥平面PGB

EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB，

因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG，

又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，

∴PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD．